高中數(shù)學(xué)2-1學(xué)案：3.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．1。1空間向量及其線性運(yùn)算[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示.2。掌握空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律，理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的幾何意義．知識點(diǎn)一空間向量的概念在空間中，我們把像位移、力、速度、加速度這樣既有大小又有方向的量叫做空間向量，向量的大小叫向量的長度或模．知識點(diǎn)二空間向量的加減法（1）加減法定義空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．（如圖）eq\o(OB,\s\up6（→））＝eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\o(AB,\s\up6(→)）＝a＋b;eq\o(CA，\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→)）－eq\o（OC，\s\up6(→）)＝a－b。(2)運(yùn)算律交換律:a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．知識點(diǎn)三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（1）定義實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍是一個向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ〉0時，λa與a方向相同；當(dāng)λ〈0時，λa與a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.λa的長度是a的長度的｜λ|倍．如圖所示．（2)運(yùn)算律分配律：λ（a＋b）＝λa＋λb；結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ）a.知識點(diǎn)四共線向量定理（1)共線向量的定義與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b.（2）充要條件對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使b＝λa。思考（1）若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同．對嗎？（2)零向量沒有方向．對嗎？（3）空間兩個向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法完全一致．對嗎?答案(1）正確．起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同的兩個向量相等．(2)錯誤．不是沒有方向，而是方向任意．（3）正確．題型一空間向量的概念例1判斷下列命題的真假．(1）空間中任意兩個單位向量必相等;（2)方向相反的兩個向量是相反向量；(3)若｜a｜＝|b｜,則a＝b或a＝－b；（4)向量eq\o（AB,\s\up6(→)）與eq\o（BA,\s\up6(→))的長度相等．解（1)假命題．因?yàn)閮蓚€單位向量,只有模相等，但方向不一定相同．（2）假命題．因?yàn)榉较蛳喾吹膬蓚€向量模不一定相等．(3）假命題．因?yàn)閮蓚€向量模相等時，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．（4）真命題．因?yàn)閑q\o(BA,\s\up6（→))與eq\o(AB，\s\up6(→))僅是方向相反,但長度是相等的．反思與感悟空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，(1）試寫出與eq\o(AB，\s\up6(→））相等的所有向量;(2)試寫出eq\o（AA1,\s\up6(→））的相反向量；（3）若AB＝AD＝2，AA1＝1,求向量eq\o（AC1,\s\up6（→))的模．解(1）與向量eq\o（AB，\s\up6(→）)相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o（A1B1，\s\up6（→）),eq\o（DC，\s\up6(→））及eq\o（D1C1,\s\up6（→））共3個．(2）向量eq\o(AA1，\s\up6（→))的相反向量為eq\o(A1A，\s\up6(→）），eq\o(B1B,\s\up6（→）），eq\o(C1C，\s\up6(→）),eq\o(D1D，\s\up6（→）).(3）｜eq\o（AC1，\s\up6(→)）｜＝3.題型二空間向量的線性運(yùn)算例2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中,下列各式運(yùn)算結(jié)果為eq\o（BD1，\s\up6(→）)的是________．（填序號)①eq\o(A1D1，\s\up6（→)）－eq\o(A1A,\s\up6（→））－eq\o(AB，\s\up6（→));②eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o(BB1，\s\up6(→））－eq\o(D1C1,\s\up6(→）)；③eq\o(AD，\s\up6(→))－eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o（DD1,\s\up6(→）);④eq\o(B1D1,\s\up6(→））－eq\o(A1A,\s\up6（→))＋eq\o(DD1，\s\up6(→))。答案①②解析(1)eq\o(A1D1，\s\up6（→））－eq\o（A1A，\s\up6(→））－eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→））－eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o（BD1,\s\up6（→)）;（2)eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（BB1，\s\up6(→)）－eq\o（D1C1，\s\up6（→））＝eq\o(BC1,\s\up6(→）)＋eq\o（C1D1,\s\up6(→)）＝eq\o(BD1,\s\up6（→))；(3）eq\o(AD,\s\up6(→））－eq\o（AB,\s\up6（→))－eq\o（DD1,\s\up6（→））＝eq\o(BD,\s\up6(→)）－eq\o（DD1，\s\up6(→)）＝eq\o（BD,\s\up6(→））－eq\o（BB1，\s\up6（→)）＝eq\o（B1D,\s\up6（→)）≠eq\o（BD1,\s\up6(→））；(4）eq\o(B1D1,\s\up6（→)）－eq\o(A1A,\s\up6(→)）＋eq\o（DD1，\s\up6(→））＝eq\o（BD，\s\up6(→））＋eq\o（AA1,\s\up6（→))＋eq\o(DD1，\s\up6（→))＝eq\o(BD1，\s\up6（→）)＋eq\o(AA1，\s\up6(→))≠eq\o（BD1，\s\up6（→））.反思與感悟運(yùn)用法則進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時要注意關(guān)鍵的要素：(1)向量加法的三角形法則:“首尾相接，指向終點(diǎn)”；(2）向量減法的三角形法則:“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；(3）平行四邊形法則：“起點(diǎn)重合”；(4)多邊形法則：“首尾相接，指向終點(diǎn)”．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o（AC1，\s\up6（→）)的是________．（填序號)①（eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6(→）））＋eq\o（CC1，\s\up6（→)）;②(eq\o(AA1,\s\up6（→)）＋eq\o（A1D1，\s\up6(→)）)＋eq\o（D1C1,\s\up6(→））；③(eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o（B1C1,\s\up6(→)）；④(eq\o(AA1,\s\up6（→））＋eq\o（A1B1，\s\up6（→))）＋eq\o(B1C1,\s\up6（→))。答案①②③④解析①（eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→）））＋eq\o(CC1，\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o（CC1,\s\up6（→)）＝eq\o(AC1,\s\up6（→)）；②（eq\o(AA1，\s\up6（→)）＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)））＋eq\o(D1C1，\s\up6(→）)＝eq\o（AD1，\s\up6（→）)＋eq\o(D1C1,\s\up6(→）)＝eq\o(AC1,\s\up6（→));③（eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（BB1,\s\up6(→））)＋eq\o（B1C1，\s\up6（→））＝eq\o（AB1,\s\up6(→)）＋eq\o(B1C1,\s\up6（→)）＝eq\o(AC1，\s\up6(→）)；④（eq\o(AA1，\s\up6(→））＋eq\o(A1B1，\s\up6(→））)＋eq\o(B1C1，\s\up6(→））＝eq\o（AB1,\s\up6（→））＋eq\o（B1C1，\s\up6(→)）＝eq\o（AC1,\s\up6(→)）.所以所給四個式子的運(yùn)算結(jié)果都是eq\o（AC1，\s\up6(→）).題型三空間向量的共線問題例3設(shè)e1、e2是平面上不共線的向量，已知eq\o（AB，\s\up6（→))＝2e1＋ke2，eq\o（CB,\s\up6(→)）＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→)）＝2e1－e2，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值．解∵eq\o(BD,\s\up6(→)）＝eq\o（CD,\s\up6(→))－eq\o(CB，\s\up6（→））＝e1－4e2，eq\o(AB，\s\up6(→)）＝2e1＋ke2,又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得eq\f（1,2）＝eq\f(－4，k），∴k＝－8。反思與感悟靈活應(yīng)用共線向量定理,正確列出比例式．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)兩非零向量e1、e2不共線,eq\o（AB，\s\up6（→））＝e1＋e2，eq\o（BC，\s\up6（→）)＝2e1＋8e2，eq\o(CD，\s\up6(→)）＝3（e1－e2)．試問：A、B、D是否共線,請說明理由．解∵eq\o(BD，\s\up6（→））＝eq\o（BC,\s\up6(→））＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝（2e1＋8e2)＋3（e1－e2）＝5（e1＋e2），∴eq\o(BD，\s\up6(→）)＝5eq\o（AB,\s\up6（→))，又∵B為兩向量的公共點(diǎn)，∴A、B、D三點(diǎn)共線．1．兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的________條件．答案必要不充分解析a＝b?|a|＝｜b｜;|a｜＝｜b｜a＝b.2．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′的各條棱所在的向量中，模與向量eq\o(A′B′，\s\up6（→））的模相等的向量有________個．答案7解析｜eq\o（D′C′，\s\up6（→））|＝|eq\o（C′D′,\s\up6（→)）|＝｜eq\o(DC,\s\up6（→）)|＝｜eq\o（CD,\s\up6（→））|＝|eq\o(BA,\s\up6(→）)|＝｜eq\o(AB,\s\up6(→））|＝|eq\o（B′A′，\s\up6(→)）|＝｜eq\o(A′B′,\s\up6(→））|。3．下列說法中正確的是________．(填序號）①若|a｜＝|b|，則a,b的長度相等,方向相同或相反;②若向量a是向量b的相反向量，則｜a|＝|b|；③空間向量的減法滿足結(jié)合律；④在四邊形ABCD中，一定是eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6（→)）＝eq\o（AC,\s\up6(→)）.答案②解析若｜a|＝｜b|，則a，b的長度相等，方向不確定，故①不正確;相反向量是指長度相同，方向相反的向量,故②正確；空間向量的減法不滿足結(jié)合律,故③不正確；在?ABCD中，才有eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD，\s\up6（→））＝eq\o（AC,\s\up6(→)）,故④不正確．4.如圖,在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o（AD,\s\up6（→)）＝b，eq\o（AA1，\s\up6(→））＝c，則下列向量中與eq\o(BM，\s\up6（→)）相等的向量是________．（填序號)①－eq\f（1,2)a＋eq\f(1,2）b＋c②eq\f（1，2）a＋eq\f(1,2）b＋c③－eq\f(1，2）a－eq\f（1，2）b＋c④eq\f(1,2)a－eq\f(1，2)b＋c答案①解析eq\o（BM,\s\up6（→)）＝eq\o(BB1，\s\up6(→））＋eq\o（B1M，\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)(eq\o（AD，\s\up6（→））－eq\o(AB，\s\up6(→)))＋eq\o（AA1,\s\up6(→)）＝－eq\f(1,2）a＋eq\f(1，2）b＋c.5．下列命題中正確的個數(shù)是________．①如果a,b是兩個單位向量，則｜a|＝|b｜;②兩個空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同；③若a，b，c為任意向量，則(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）;④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一個平面內(nèi)．答案3解析由單位向量的定義知|a｜＝|b｜＝1，故①正確；因相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)