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數(shù)值分析第三章解線性方程組的直接方法演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)優(yōu)選數(shù)值分析第三章解線性方程組的直接方法Ppt目前二頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)求解高斯消元法:思路首先將A化為上三角陣/*upper-triangularmatrix*/,再回代求解/*backwardsubstitution*/。=目前三頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)消元記Step1:設(shè),計(jì)算因子將增廣矩陣/*augmentedmatrix*/第i行mi1
第1行,得到其中Stepk:設(shè),計(jì)算因子且計(jì)算共進(jìn)行?步n
1目前四頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk
?Nouniquesolutionexists.定理
若A的所有順序主子式
/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/
均不為0,則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底,得到唯一解。注:事實(shí)上,只要A
非奇異,即A1
存在,則可通過(guò)逐次消元及行交換,將方程組化為三角形方程組,求出唯一解。§1GaussianElimination–TheMethod目前五頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)目前六頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)選主元消去法例:?jiǎn)尉冉夥匠探M/*精確解為和*/8個(gè)8個(gè)用GaussianElimination計(jì)算:8個(gè)小主元/*Smallpivotelement*/
可能導(dǎo)致計(jì)算失敗。目前七頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)
全主元消去法/*CompletePivoting*/每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素,保證。Stepk:①選取②Ifik
k
then交換第k行與第ik
行;Ifjk
k
then交換第k列與第jk
列;③消元注:列交換改變了xi
的順序,須記錄交換次序,解完后再換回來(lái)。列主元消去法/*PartialPivoting,ormaximalcolumnpivoting*/省去換列的步驟,每次僅選一列中最大的元。目前八頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)例:注:列主元法沒(méi)有全主元法穩(wěn)定。例:注意:這兩個(gè)方程組在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)。標(biāo)度化列主元消去法/*ScaledPartialPivoting*/對(duì)每一行計(jì)算。為省時(shí)間,si
只在初始時(shí)計(jì)算一次。以后每一步考慮子列中最大的aik
為主元。注:穩(wěn)定性介于列主元法和全主元法之間?!?GaussianElimination–PivotingStrategies目前九頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2三角分解法/*MatrixFactorization*/高斯消元法的矩陣形式/*MatrixFormofG.E.*/:Step1:記L1=,則Stepn
1:其中
Lk=目前十頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.記為L(zhǎng)單位下三角陣/*unitarylower-triangularmatrix*/記
U=A
的
LU
分解/*LUfactorization*/Heyhasn’tGEgivenmeenoughheadache?WhydoIhavetoknowitsmatrixform??!WhenyouhavetosolvethesystemfordifferentwithafixedA.Couldyoubemorespecific,please?FactorizeAfirst,thenforeveryyouonlyhavetosolvetwosimpletriangularsystemsand.目前十一頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.定理
若A的所有順序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/
均不為0,則A
的
LU
分解唯一(其中L
為單位下三角陣)。證明:由§1中定理可知,LU分解存在。下面證明唯一性。若不唯一,則可設(shè)A=L1U1=L2U2
,推出Upper-triangularLower-triangularWithdiagonalentries1注:L
為一般下三角陣而U
為單位上三角陣的分解稱(chēng)為Crout分解。實(shí)際上只要考慮A*的LU
分解,即
,則即是A的Crout分解。目前十二頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–Doolittle道立特分解法/*DoolittleFactorization*/:
——
LU
分解的緊湊格式/*compactform*/反復(fù)計(jì)算,很浪費(fèi)哦……通過(guò)比較法直接導(dǎo)出L和
U的計(jì)算公式。思路目前十三頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–Choleski平方根法/*Choleski’sMethod*/:
——對(duì)稱(chēng)
/*symmetric*/
正定
/*positivedefinite*/
矩陣的分解法定義一個(gè)矩陣A=(aij)nn
稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣,如果aij=aji
。定義一個(gè)矩陣A
稱(chēng)為正定陣,如果對(duì)任意非零向量都成立?;仡櫍簩?duì)稱(chēng)正定陣的幾個(gè)重要性質(zhì)
A1
亦對(duì)稱(chēng)正定,且aii>0若不然,則存在非零解,即存在非零解。對(duì)任意,存在,使得,即。
其中第i
位
A
的順序主子陣/*leadingprincipalsubmatrices*/Ak
亦對(duì)稱(chēng)正定對(duì)稱(chēng)性顯然。對(duì)任意有
,其中。
A
的特征值/*eigenvalue*/i
>0
設(shè)對(duì)應(yīng)特征值的非零特征向量為,則。
A
的全部順序主子式
det(Ak
)>0因?yàn)槟壳笆捻?yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–Choleski將對(duì)稱(chēng)
正定陣
A
做LU
分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為
A對(duì)稱(chēng)即記D1/2=Whyisuii>0?Sincedet(Ak)>0則仍是下三角陣定理
設(shè)矩陣A對(duì)稱(chēng)正定,則存在非奇異下三角陣使得。若限定L對(duì)角元為正,則分解唯一。注:對(duì)于對(duì)稱(chēng)正定陣A,從可知對(duì)任意ki
有。即L
的元素不會(huì)增大,誤差可控,不需選主元。目前十五頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–CholeskiAlgorithm:Choleski’sMethodTofactorthesymmetricpositivedefinitennmatrixAintoLLT,whereL
islowertriangular.Input:thedimensionn;entriesaijfor1
i,j
nofA.Output:theentrieslijfor1
j
iand1
i
nofL.
Step1Set
;Step2Forj=2,…,n,
set;Step3Fori=2,…,n1,
dosteps4and5
Step4Set
;
Step5
Forj=i+1,…,n,
set
;Step6Set
;Step7Output(lijforj=1,…,iandi=1,…,n
);STOP.因?yàn)锳對(duì)稱(chēng),所以只需存半個(gè)A,即其中運(yùn)算量為O(n3/6),比普通LU分解少一半,但有n次開(kāi)方。用A=LDLT
分解,可省開(kāi)方時(shí)間(p.50-51)。HW:p.54#2,#5,#6目前十六頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem追趕法解三對(duì)角方程組
/*CroutReductionforTridiagonalLinearSystem*/Step1:對(duì)A作Crout分解直接比較等式兩邊的元素,可得到計(jì)算公式(p.52)。Step2:追——即解:Step3:趕——即解:與G.E.類(lèi)似,一旦i=0
則算法中斷,故并非任何三對(duì)角陣都可以用此方法分解。目前十七頁(yè)\總數(shù)三十三頁(yè)\編于二十一點(diǎn)§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem定理
若A
為對(duì)角占優(yōu)
/*diagonallydominant*/的三對(duì)角陣,且滿足,則追趕法可解以A
為系數(shù)矩陣的方程組。Hey,whatdoesdiagonallydominantmean???
ItmeansthatthediagonalentriesofthematrixareveryLARGE.Well,howlargeisLARGE?
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