離散數(shù)學(xué)第四章

第四章代數(shù)系統(tǒng)4.1運(yùn)算4.2代數(shù)系統(tǒng)4.3同態(tài)和同構(gòu)2023/5/241本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對(duì)象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點(diǎn)。它們將集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。2023/5/2422023/5/243什么是代數(shù)？愛(ài)因斯坦小時(shí)候曾好奇地問(wèn)他的叔叔：「代數(shù)是什么？」（那時(shí)候他只學(xué)過(guò)算術(shù)）他的叔叔回答得很妙：「代數(shù)是一種懶惰人的算術(shù)，當(dāng)你不知道某些數(shù)時(shí)，你就暫時(shí)假設(shè)它為x、y，然后再想辦法去尋找他們?！沟览硪唤?jīng)點(diǎn)破，就好像「哥倫布立蛋」的故事一樣，人人都會(huì)做了。代數(shù)是什么？以符號(hào)代替數(shù)的解題方法就是代數(shù)。代數(shù)是從算術(shù)精煉出來(lái)的結(jié)晶，雖平凡但妙用無(wú)窮。因此它又叫做廣義算術(shù)(generalizedarithmetic)或進(jìn)階算術(shù)(advancedarithmetic)或普遍算術(shù)（universalarithmetic）。2023/5/244代數(shù)的由來(lái)Algebra一名來(lái)自阿拉伯文al-jabr，al為冠詞，jabr之意為恢復(fù)或還原，解方程式時(shí)將負(fù)項(xiàng)移至另一邊，變成正項(xiàng)，也可說(shuō)是還原，也有接骨術(shù)的意思。中國(guó)在1859年正式使用代數(shù)這個(gè)名稱（李善蘭在《代微積拾級(jí)》一書中的序中指出“中法之四元，即西法之代數(shù)也”），在不同的時(shí)期有人用算術(shù)作為代數(shù)的名稱，中國(guó)古書《九章算術(shù)》其實(shí)是一本數(shù)書百科全書，代數(shù)問(wèn)題分見于各章，特別是第八章方程，主要是論述線性（一次）聯(lián)立方程組的解法，秦九韶（1249）的《數(shù)書九章》中有“立天元一”的術(shù)語(yǔ)，天元就是代表未知數(shù)，用現(xiàn)在的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是“設(shè)未知數(shù)為x"。2023/5/245代數(shù)（Algebra）是數(shù)學(xué)的其中一門分支，可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。高斯在十八世紀(jì)證明了代數(shù)基本定理；挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（1802-1829）在十九世紀(jì)初（1824）證明了不能用根式求解一般五次方程；法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在1832年運(yùn)用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問(wèn)題。他是第一個(gè)提出“群”的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)。即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時(shí)期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時(shí)期。2023/5/246初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題。抽象代數(shù)學(xué)對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)和一些其他科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。抽象代數(shù)的主要研究?jī)?nèi)容是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu),它是在從較高層次上,撇開形式上很不相似的代數(shù)結(jié)構(gòu)的個(gè)性,抽象出其共性,用統(tǒng)一的方法描述、研究與推理,從而得到一些反映事物本質(zhì)的結(jié)論,再把它們應(yīng)用到那些系統(tǒng)中去。由于代數(shù)結(jié)構(gòu)中運(yùn)算個(gè)數(shù)以及對(duì)運(yùn)算要求的性質(zhì)的不同,從而產(chǎn)生了各種各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu),這就形成了抽象代數(shù)的不同分支,其中最基本、最重要的分支是群、環(huán)和域,這也是離散數(shù)學(xué)課程抽象代數(shù)部分的重要研究?jī)?nèi)容。2023/5/247NielsAbel

AstatueofAbelinOslo2023/5/248EvaristeGalois

ThisistakenfromaFrenchstampAdrawingdonein1848frommemorybyEvariste'sbrother.2023/5/2494.1運(yùn)算

定義1

設(shè)有非空集合A，函數(shù)f：An→A稱為A上的一個(gè)n

元運(yùn)算。特別，函數(shù)f：A2→A稱為A上的二元運(yùn)算，f：A→A稱為A上的一元運(yùn)算。例１

設(shè)有函數(shù)f：N2→N，對(duì)于任意(n1,n2)N2,

f(n1,n2)=n1+n2

f(5,3)=8,f(3,5)=8,f(3,9)=12

2023/5/2410例２設(shè)有函數(shù)g:I2I，對(duì)于任意(i1,i2)I2

，g(i1,i2)=i1-i2g(5,3)=2,g(3,5)=-2,g(-3,9)=-12,但減法運(yùn)算不是正整數(shù)集N上的二元運(yùn)算.例如，求倒數(shù)的運(yùn)算不能看作實(shí)數(shù)集R上的一元運(yùn)算。例3

定義函數(shù)~:R-{0}R-{0}為。2023/5/2411

例４

集合的并、交運(yùn)算可以看作是全集合U的冪集2U上的二元運(yùn)算。求補(bǔ)集的運(yùn)算可看作是2U上的一元運(yùn)算。對(duì)任意Si,Sj2U,對(duì)任意Si2U

，2023/5/2412~雙射2023/5/2413一、一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的表示方法

表達(dá)式：

x1x2=y~x=y表達(dá)方法：解析表達(dá)式運(yùn)算表2023/5/2414例如設(shè)A={a,b},2A上的一元運(yùn)算'和二元運(yùn)算用運(yùn)算表定義如下：{a}{a,b}{a}{a,b}{a}{a}{a,b}{a,b}{a}{a,b}{a,b}{a}sisi

{a,b}{a}{a}{a,b}2023/5/2415定義２設(shè)*是集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，SA,若對(duì)于每一個(gè)序偶(ai,aj)S2,都有*(ai,aj)S,則稱運(yùn)算*在S上是封閉的。二、運(yùn)算的封閉性定義在集合A上的運(yùn)算在A上一定是封閉的。定義在集合A上的運(yùn)算在A的子集上是否封閉呢？20災(zāi)23刃/5刊/1探816例５批定瘡義函衡數(shù)*:N2N，使*(n1,n2)=n1·n2,令S1={患2k|kN}=格{2學(xué),22,23,24,25,…軍}顯然S1N傍,于是S12N2對(duì)于閥任意(2i,2j)S12，2i2j=2i+爬j,i+jN，2i+鑄jS1,這意煤味著袍正整盯數(shù)集N上的于運(yùn)算*在N的子皂集S1上也桐是封則閉的.若(n1,n2)S12，則(n1,n2)N2，*(n1,n2)=n1·n2N，*(n1,n2)是否和屬于S1？20皇23煤/5相/1診817令S2={建1,豎2,鋤3,鋒…,撓10斗}，顯重然S2N，S22N2，任取(i,j)S22，且*是N上的癥二元億運(yùn)算臥，因救此*(i,j)=ijN，但*(i,j)是否能屬于S2呢？我們位取(4硬,5駝)S22，則(4零,5漁)N2，*(4亂,5頃)=鍬45驅(qū)=2徒0逝N,但20S蘭22因此*運(yùn)算秋在的蘆子集S22上不壟封閉巨。20燦23即/5荷/1站818定義秧３設(shè)A是非禽空集涼合，*和是A上的極二元犯運(yùn)算平。(1滋)若對(duì)盟于任露意a,bA，有a*職b=朗b*易a，則辯稱*在A上是可交押換的枝。(2螺)若對(duì)沿于任設(shè)意a,b,cA，有a*(b*艙c)=鏡(a*b)*c,則稱*在A上是錯(cuò)可結(jié)骨合。(3告)若對(duì)軋于任竄意的a,b,cA偏,有a*(bc)=激(a*b)(a*c)(bc)*a=(b*a)(c*a)則稱鴉運(yùn)算*對(duì)運(yùn)桿算是可航分配扣的。三、廟二元先運(yùn)算抓的一貧些常顆見的活性質(zhì)20企23煎/5默/1循819例６

實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算*定義為:因?yàn)樗?滿足交換律。

所以滿足結(jié)合律。20仆23擠/5烤/1教820例8設(shè)S=與{|是集僚合A上的得關(guān)系}，對(duì)陣于任抵意1,2S，12仍是A上的姜關(guān)系麥，所迅以關(guān)斬系的稼復(fù)合緣瑞運(yùn)算全是S上的腳二元努運(yùn)算成。該運(yùn)扔算不歪滿足貴交換蒸律，來(lái)但滿杠足結(jié)爸合律.例７熊全霧集合U的冪斬集2U上的拘“”運(yùn)凈算和碎“”運(yùn)綿算都差是可交避換、憂可結(jié)掀合的睡運(yùn)算包；“”嫁對(duì)“”,狼“”對(duì)“”均是搜可分木配的視。20廊23坊/5卷/1置821１．扁單位顛元若存憑在一雅元素erA，使古得對(duì)牙于任意aA，有a*er=a，則稱er是A中運(yùn)東算*的右單燈位元；若存龍?jiān)谝坏略豦A，使摩得對(duì)盤于任意aA，俊有e*a=啞a*e=a，則稱e是A中運(yùn)洪算*的單位鉛元。四、邪集合衰中與魚二元集運(yùn)算桿相關(guān)騎的一緣瑞些特轟殊的等元素定義腹４批設(shè)*是集配合A上的猶二元露運(yùn)算雀，若毯存在起一元至素elA，使得兔對(duì)于任意的aA，有el*a=墻a,則稱el是A中運(yùn)孔算*的左單蛾位元；20悼23睬/5咬/1懇822a是運(yùn)逆算的右異單位屢元。b和d都是由運(yùn)算*的左貼單位夜元，例９設(shè)A=豈{a爬,b牛,c豆,d玻},*和是A上的隊(duì)兩個(gè)附二元墳運(yùn)算.*abcdadabcbabcdcabccdabcdabcdaabdcbbacdccdabdddbc20甘23序/5冬/1孔823例10在例8中，依對(duì)任晨意關(guān)惕系S，有IA=超IA=，所以奴恒等飽關(guān)系IA是集蜓合A上關(guān)南系復(fù)吃合運(yùn)脂算的單位里元。例8設(shè)S=豆{|是集毯合A上的漠關(guān)系}，對(duì)挖于任痕意1,2S，12仍是A上的革關(guān)系擔(dān)，所皺以關(guān)稠系的復(fù)預(yù)合運(yùn)極算是S上的庫(kù)二元藍(lán)運(yùn)算柏。20淘23直/5花/1譯824定理挽１設(shè)*是集左合A上的薦二元累運(yùn)算疼，el和er分別持是*的左單跟位元速和右芳單位苦元，景則el=er=e，且e是*的唯一瞎的單政位元繞。證明因?yàn)閑l和er分別惜是*的左霉、右咽單位蹄元，因此蓬，el*er=el=er，令e=el=er，則e是*的單叫位元沃。設(shè)e也是*的單頌位元足，則e*e=e=e因此e是*的唯赴一的猛單位稱元。20少23獎(jiǎng)/5祖/1切825定義5設(shè)*是集個(gè)合A上的蛛二元喉運(yùn)算籃，若竭存在諸一元革素zlA，使餐得對(duì)皺于任逐意的aA,有zl*a犬=zl，則稱zl是A中運(yùn)兇算*的左零蛋元；若兇存在密一元謀素zrA，使蜓得對(duì)昌于任咸意的aA,有a*zr=zr,則稱zr是A中運(yùn)桿算*的右零繁元，若蛇存在駝一元汪素zA，使得握對(duì)于獄任意同的aA,z*a=a*z劈燕=z,則稱z是A中運(yùn)算*的零木元。2．煉零劃元20玩23挽/5雙/1座826例11設(shè)A=睛{3來(lái),4土,6免,9共,1尿7,趕22尺},定義A上的洋二元咐運(yùn)算牧“mi雪n”為mi錢n(a,b)=a與b中之備小者圈。對(duì)于決任意a*A郵,mi嫁n(3,a季)=mi疑n(傍a,郊3)=3;對(duì)于武任意a*A打,mi普n(2細(xì)2,a)=mi膀n(a,2渣2)退=a;例12對(duì)于盛全集春合U的冪牙集2U上“”運(yùn)算穴和“突”運(yùn)算，煌對(duì)任銳意A2U,A=昨A=A，陶A=誰(shuí)A=UA=培AU=棋U，UA=價(jià)AU＝A20滋23爬/5較/1包827定理?。苍O(shè)*是A上的塌二元庸運(yùn)算吩，zl和zr分別是*的左削零元扭和右抬零元怒，則zl=zr=z,且z是*唯一卻的零唐元。20咽23退/5菊/1歐828定義王６設(shè)*是集懲合A中的業(yè)二元節(jié)運(yùn)算摟，若aA且a*a=知a，則零稱a是A中關(guān)致于運(yùn)曠算*的冪澆等元折。例13通常餡數(shù)的錘乘法凍運(yùn)算蛋是實(shí)謠數(shù)集R上的噸二元出運(yùn)算,其中0和1均是殼冪等摩元。例14對(duì)于林全集室合U的冪濫集2U上的覺(jué)并運(yùn)賞算和印交運(yùn)港算,2U中的鳥每一沒(méi)個(gè)元鎖素都吉是冪開等元下。3.冪等酬元即對(duì)贊于任芹意元乓素S2U,回S棵S宰=S，S至S=除S20策23吳/5習(xí)/1琴8294.元素夜的逆甘元定義浪７設(shè)*是集頓合A上具驚有單滑位元e的二寧元運(yùn)磨算，碎對(duì)于元素aA，若存匆在al-1，使振得al-1*a=e，則揭稱a關(guān)于*是左巡壽可逆鞠的，稱al-1是a的左炒逆元?jiǎng)冢蝗舸嬖赼r-1，使梯得a*ar-1=e，則辟稱a關(guān)于*是右懷可逆腳的，溝稱ar-1是a的右逆元逝；若存在a-1A，使榆得a-1*a=a*a-1=e，則塑稱a關(guān)于*是可殃逆的蹲，棋稱a-1是a的逆掉元。20荒23拴/5妹/1身830例15在例蒼６中軋?jiān)ㄑ帕x實(shí)徑數(shù)集R上的淘二元吸運(yùn)算*：r1*r2=r1+r2-r1r2，考慮湊它是莊否存除在在希單位偵元。若el是左籃單位床元，則枕對(duì)任驕意rA，應(yīng)鐮有el*r=el+r-elr=欄r,于是el(1丟-r)=騰0,由于r是任典意的枝，只拜有el=0同理賢，若er是右泄單位販元，稻則er=0因此苦，0是*的單們位元笨。R中的單元素堤是否瓜有逆僑元呢殺？設(shè)s是r的左逆元，則應(yīng)有s*r=s+r-sr=0，于是s(r-1)=r,則因此，只要r1，R中任意元素r均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是20隸23考/5倍/1箭831定理腰３設(shè)*是集抹合A上具弊有單合位元e且可寧結(jié)合餃的二責(zé)元運(yùn)遭算，壩若元決素aA有左密逆元al-1和右映逆元ar-1，則al-1=ar-1=a-1,且a-1是a唯一銜的逆腿元。證明改：因?yàn)閍l-1和ar-1分別證是a的左眨逆元逝和右拾逆元碰，則al-1*a=a*ar-1=e。因此盟，al-1*a*ar-1=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1,=(al-1*(a*ar-1)=al-1*e=al-1于是al-1=ar-1，令a-1=al-1=ar-1,則a-1是a的逆薪元。設(shè)a還有午逆元b，則b*a=a*b=e于是b*e=b=b*(a*a-1)=棄(b*a)*a-1=e*a-1=a-1.20談23互/5幼/1奴832例16設(shè)F=槽{f|f:NN}，函凝數(shù)的訴復(fù)合漢運(yùn)算欲是F上的廢二元很運(yùn)算親，對(duì)旋任意fF，IN使得INf=哀fIN，所揮以IN是F上運(yùn)嫁算的單典位元電?，F(xiàn)有姥函數(shù)h:NN，定碎義為兆對(duì)任筑意nN，h(n)=掀2n,試問(wèn)h是否護(hù)有左旋逆元草？右吐逆元幸或逆階元？解問(wèn)h是否搶有左掃逆元伯即問(wèn)竟是否污存在柜函數(shù)g:謊NN，使裂得gh怨=IN？123456781234567812345678hggh可以發(fā)如下獸定義紹函數(shù)因此gh(n)=n,gh=IN20名23羅/5譯/1亡833但是h沒(méi)有康右逆役元。123456781234567812345678hghg無(wú)論移如何貼定義律函數(shù)g:NN，均混無(wú)法爸使得hg是滿亮射。緩因此h沒(méi)有框右逆?zhèn)稍?0凍23要/5浩/1旱834定理4設(shè)*是集細(xì)合A上的妖二元石運(yùn)算謠，且#A倦>1。若運(yùn)舅算*有單字位元e和零聾元z，則ez。證明牙（反徐證法趴）設(shè)e=餡z，因驢為#A替>1，所寨以至貢少還有垃一元榮素aA疑,打a逃z，但a=英e*彩a=疼z矛盾鴉。故必延有ez。20扣23削/5到/1盞835YYYY且e＝2YYN2設(shè)有符整數(shù)秧集I，對(duì)I中任紹意元憂素，都定義勤運(yùn)算填為：ab館=a旺+b吳-2（1）運(yùn)洗算在I上是趴否封復(fù)閉？(旋)（2）運(yùn)騙算是否滋可交隙換？(太)（3）運(yùn)娘算是否趁可結(jié)植合？(麻)（4）運(yùn)尚算在I中是棋否有做單位皂元？(尼)（5）御對(duì)運(yùn)么算是否庫(kù)所有如的元戀素都鋪有逆緞元？(強(qiáng))（6）運(yùn)調(diào)算在I中是勾否有救冪等習(xí)元？(聰)（7）運(yùn)宵算在I中是孩否有牛零元收？(志)(1漠)節(jié)A=鄉(xiāng)豐{1晚,2乖}（確）(2侍)拍B=圓{1炮,-兄1}（追）(3舟)礦C=藝{2錢n-奏1|舉nN}（滴）在相菠應(yīng)的木括號(hào)災(zāi)中鍵鋼入“Y”或“N”分別趣表示梨肯定垂和否椒定。1通常央數(shù)的拳乘法壞運(yùn)算也是否港可看蘿作下殊列集譜合上還的二占元運(yùn)液算？練習(xí)NYY20女23淘/5段/1歪836實(shí)數(shù)亡集R上的飛二元辜運(yùn)算*定義樂(lè)為：r1*r2=r1+r2/2。集雀合R中關(guān)歉于運(yùn)惱算*存在龜單位農(nóng)元、蔑零元濁和冪嚇等元伙嗎？解：(1丙)運(yùn)算*不可為交換抹，因婆此我籍們分抓別考撿慮它最是否虧有左眼單位紙?jiān)陀艺賳挝黄G元若r1是左爆單位碼元，杯則對(duì)攪于任辜意rR，應(yīng)別有r1*r=r1+r/2米=r,于是r1=r/2由于r是任拌意的諒，因釣此不繡存在釘元素搬能成毫為運(yùn)佛算*的左救單位醫(yī)元?？纱朔芍v，運(yùn)煉算*不存性在單朋位元后。若r1是右貴單位賴元，擔(dān)則對(duì)攔于任釋意rR，應(yīng)踢有r*r1=r+r1/2尖=r。要使口得上綿式成偽立，熟只有r1=0，因漢此0是運(yùn)算*的右房誠(chéng)單位雕元。20速23掠/5浙/1晝837若r1是左漿零元獵，則遮對(duì)于市任意rR，應(yīng)昌有r1*r=r1+r/2佛=r1,要是蒼上式頃成立股，必粱須r=0，但是r是任凳意的去，因肆此運(yùn)于算*不存耗在左保零元倚。由此林可知鐵，運(yùn)垃算*不存射在零繭元。若rr是右然零元駁，則茄對(duì)于驚任意rR，應(yīng)士有r*rr=r+rr/2序=rr。于是r1=2r。由顏于r的任寬意性標(biāo)，因侮此運(yùn)算*沒(méi)有癥右零至元。(2苗)(3屢)若rR是冪笛等元丑，則應(yīng)有r*r=r+r/2建=r，r/2劇=0。于是r=0。因貸此0是運(yùn)算*的冪艷等元預(yù)。20排23營(yíng)/5利/1淡838設(shè)*為自恐然數(shù)印集N上的裹由x*y=x給出頃的二奶元運(yùn)葡算。嫩試證拘明*是可肢結(jié)合濤的，火但不牧是可天交換氣的。末哪些洋元素駐是冪祖等元膀？哪披些元色素是嶄左單蜜位元擁、右高單位澤元？進(jìn)哪些語(yǔ)元素暢是左崇零元擔(dān)、右炭零元鑒？20真23肆/5雹/1吵8394.犁2代數(shù)榴系統(tǒng)一、乎代數(shù)謎系統(tǒng)定義衛(wèi)一雕個(gè)非烏空集仙合S和定庭義在在該集音合上頸的一急個(gè)或杯多個(gè)次運(yùn)算1,2,…籠,n所組洪成的虹系統(tǒng)悲稱為份代數(shù)給系統(tǒng)坦。用便記號(hào)<S裹;1,2,…妙,n>表示奴，其中S是非暴空集共合，善稱為禽該代賴數(shù)系碼統(tǒng)的旱域。例1通常攏數(shù)的乓加法沾運(yùn)算免、乘礙法運(yùn)循算和敲減法泳運(yùn)算劫都可醫(yī)看作挖是實(shí)碌數(shù)集R上的薯二元猶運(yùn)算雪，它春們構(gòu)另成代造數(shù)系條統(tǒng)<R犧;+隔,×,-耀>。例2設(shè)SA={|是集擋合A上的疾關(guān)系}，是求底復(fù)合拳關(guān)系諷的運(yùn)含算。它們棒構(gòu)成穴代數(shù)魂系統(tǒng)<SA;>。例3全集樹合U的冪衣集2U和集滋合的詠并、結(jié)交以溜及補(bǔ)糕運(yùn)算際構(gòu)成死代數(shù)系統(tǒng)<2U;,近>20雞23冷/5僻/1氧840定義設(shè)J是一循非空承集合賭，+和·是J上的層二元超運(yùn)算陪，如遲果+和·滿足員下述攀性質(zhì)巨：對(duì)任趙意i,j,k∈J,有（1）交逮換律i+j=j+iij巴=j暴i（2）結(jié)壟合律(i+j)+k=i+(j+k)陳(ij)k=i(j靜k)（3）分遠(yuǎn)配律i(j+k)=ij+jk（4）單膚位元i+0=0+i管=ii1=1i=i（5）加沙法的端可逆牽性i+(蝴-i)=委(-i)+i=0（6）乘州法的島相約攏性憲若i0，則靠由i培j=戰(zhàn)i仍k可得j=因k則稱暢代數(shù)腎系統(tǒng)<J露;脆+,于·剖>為整環(huán)疑。20飯23膀/5饒/1攤841定義4-艱10設(shè)<S脊;1,2,3>是一左個(gè)代赴數(shù)系口統(tǒng)，掠其中占運(yùn)算i(i=1隱,2訓(xùn),3拴)均是德一元鞠或二維元運(yùn)很算，H是S的一傘個(gè)非索空子和集，掠如果S上的織這三際個(gè)運(yùn)抽算在H上也壁都是黑封閉蟲的，擱則稱<H辨;1,翼2,3>是<S旅;1,2,3>的子勢(shì)代數(shù)投或子賞系統(tǒng)惑。如果i是一瞎元運(yùn)除算，謙所謂i在子奏集H上封別閉，安意味著推在H中任周取一兇元素b，其精運(yùn)算訴結(jié)果i(b太)蹄H.若i是二勞元運(yùn)誦算，雹所謂i在子嚇集H上封蟻閉，覆意味羽著在H中任臭取兩紋元素a,前b，其盒運(yùn)算多結(jié)果aib仍屬仆于H.二、贊子代愈數(shù)20炭23舌/5怎/1煙842例5設(shè)有世代數(shù)馬系統(tǒng)<Z檢;+英,>，其霜中Z表示柜非負(fù)養(yǎng)整數(shù)希集，臟＋和?是通蒼常數(shù)的武運(yùn)算佩。對(duì)于舍任意6z1,6座z2A寸,有6z1+6遮z2=6底(z1+z2)A齊,叼6纏z16坐z2=6跨(6竊z1z2)鎖A<A島;+邁,>是代低數(shù)系糊統(tǒng)<Z嗚;+駱,>的子乒代數(shù)對(duì)于眾任意z12,z22B使,有z12z22=貼(z1z2)2B但是z12+z22就不筑一定吩在B中，油例如22+32=1水3B只能扒得出<B澇;>是的著代數(shù)密系統(tǒng)<Z紡;>的子擾系統(tǒng)頑，而B與+，不庫(kù)能構(gòu)供成<Z寒;+斷,套>的子棚代數(shù)20盜23艙/5愈/1茫843練習(xí)1．通圓常數(shù)鼠的減妻法運(yùn)扣算能窯否和宴下列凍集合富構(gòu)成喜一個(gè)掌代數(shù)禾系統(tǒng).（1）非影負(fù)整屠數(shù)集Z貪(凡)（2）整肥數(shù)集I（程）（3）有才理數(shù)仿集Q（拌）NYY2．設(shè)類代數(shù)獲系統(tǒng)V=信<I反;+乓,>，其煙中I表示填整數(shù)深集，客＋和·分別睛表示推通?？实募臃ń呛统烁ㄟ\(yùn)途算，尋下面棕的各防個(gè)子盡集，吸它是雨否能裁構(gòu)成V的子儀代數(shù)南？（1）(隆)（2）(魚)NY3．設(shè)眼代數(shù)留系統(tǒng)V=者<{甚1,垃2,床3}奏;>，其圍中二線元運(yùn)勿算定義注為xy箭=x與y中較窗大的數(shù),則V有個(gè)子妨代數(shù)英。A．3蹤蝶B．6皮C．7勻D．8C20殖23粒/5額/1競(jìng)8444.俘3代數(shù)宋系統(tǒng)襯的同額態(tài)與斧同構(gòu)一、更代旱數(shù)系傍統(tǒng)的塔同態(tài)1．同泥態(tài)的憑概念定義不設(shè)V1=<碑S1;*1,1,~1>和V2=<抹S2;*2,2,~2;>是兩刪個(gè)代數(shù)樂(lè)系統(tǒng)感，h是從S1到S2的一早個(gè)函蔽數(shù)，廈若對(duì)板于任意腫的x,yS1，有對(duì)任福意xS1，有漫則稱h是從代數(shù)耕系統(tǒng)V1到V2的一車個(gè)同溉態(tài)。20撫23蔬/5猛/1沃845先運(yùn)偶算后虹取象葬等同鑼于先取散象后孤運(yùn)算.兩集命合中“對(duì)應(yīng)砍元素索的運(yùn)算脊結(jié)果蹤蝶仍然饅對(duì)應(yīng)”。S1x

yx*1yS2h(x)h(y)h(x*1y)=h(x)*2h(y)hS1x~1(x)S2h(x)~2(h(x))h20可23銜/5尊/1附846例1設(shè)V=粱{a糖,b悲,c溉,…腦,x嫁,y攏,z逗}是字箱母的殃集合蓋，稱孩為字或母表愈。由V中有摘限個(gè)盛字母社組成慢的序彎列稱六為字沃母表V上的攔句子邁或行客。例巖如aa襲,b插cd艦b等.對(duì)任診意行，中字夜母的誓個(gè)數(shù)繪稱為的長(zhǎng)樓度，像記作||。不包保含任客何字盒母的鄰行稱地作空姻行，斜記作,今||=呆0。字母怖表V上所統(tǒng)有行臘的集遲合用V*表示燒。定義V*上的舞二元首運(yùn)算，對(duì)晃任意,A，是把側(cè)行鏈接成在行的后跑面。例如扇，設(shè)=c授ds自he，=a鼓bg蛛gf，則=c幟ds缸he午ab從gg部f構(gòu)成穗代數(shù)削系統(tǒng)<V*;>。20傭23槍/5女/1基847對(duì)于劫代數(shù)腎系統(tǒng)<V*;>和<Z鞋;+啟>，定慕義函椅數(shù)f:V*Z，對(duì)任兄意V*,f()幣=||。則f是<V*;>到<Z稿;+婚>的一傅個(gè)同時(shí)態(tài)。因?yàn)閷?duì)于任意

20外23研/5肆/1降848例2設(shè)有侄代數(shù)崇系統(tǒng)V1=<凝I;楚+,>和代嘆數(shù)系惱統(tǒng)V2=<寬Z6;6,⊙6>，Z6={熊0,金1,府2,羅3,非4,希5}汽,6和⊙6分別渡表示善模6的加同法和善模6的乘刊法。z16z2=re淚s6(z1+z2)z1⊙6z2=re捏s6(z1z2)例如463=re畏s6(7陵)=煙1,4⊙63=re奸s6(1調(diào)2)鵲=0定義翻函數(shù)h:IZ6，對(duì)猴于任靠意iI，有h(i)=re灰s6(i)例如h(2集0)比=re訂s6(2籌0)疊=2希,h(-謹(jǐn)15槽)=re藍(lán)s6(-滑15襪)=惰3可以視證明h是從V1到V2的一松個(gè)同銷態(tài)。20辱23躬/5脹/1服849對(duì)于沖任意朽的i1,i2I，有h(靜i1+i2)=h(i1)6h(i2)h(i1i2)=h(i1)朝⊙6h(i2)即對(duì)粥任意么的i1,i2I，有re票s6(i1+i2)=re猾s6(i1)6re嚇s6(i2)交(預(yù)1)re廉s6(i1i2)=re邪s6(i1)緞⊙6re釋s6(i2)背(懇2)為此睬，設(shè)i1=6q1+r1，i2=6q2+r2則(i1+i2)=的6(q1+q2)荷+r1+r2，因訓(xùn)此re侄s6(i1+i2)=re已s6(r1+r2)另一犧方面re哭s6(i1)6re腰s6(i2)=r16r2=re皆s6(r1+r2)因此re雞s6(i1+i2)=re疑s6(i1)+re般s6(i2)必須驚證明方如下否兩個(gè)笑等式悔：20暈23摘/5概/1略850對(duì)于擱等式殊（2），謝因?yàn)閕1i2=(皇6q1+r1)+蓬(6q2+r2)=骨6滿(6q1q2)+雄6q1r2+6q2r1+r1r2所以re莊s6(i1i2)=re版s6(r1r2)另一棉方面re映s6(i1)搭⊙6re申s(i2)=r1⊙6r2=re尋s6(r1r2)因此re憑s6(i1i2)=re黑s6(i1)揪⊙6re晝s6(i2)由此鋤可知h是從V1到V2的一象個(gè)同武態(tài)。#20前23訂/5鞏/1英8512．商由特桑殊函昏數(shù)定嗎義的骨特殊目的同廢態(tài)。定義維設(shè)h:S1S2是從辛代數(shù)錯(cuò)系統(tǒng)V1=<堆S1;*1,1,~1>到V2=<炕S2;*2,2,~2>的同撒態(tài)。(1鋼)如果h是內(nèi)必射，虜則稱h是從V1到V2的單國(guó)一同紀(jì)態(tài)。(2掃)如果h是滿換射，四則稱h是從V1到V2的滿奏同態(tài)珠。(3否)如果h是雙蘋射，妹則稱h是從V1到V2的同稈構(gòu)。20袖23偶/5超/1協(xié)852例3對(duì)于醫(yī)代數(shù)片系統(tǒng)V=兆{I乘;+爬}，定逗義函丸數(shù)h:II，對(duì)于槍任意的iI約,h(i)=勇3i，對(duì)于吃任意設(shè)的i1,i2Ih(i1+i2)=協(xié)3(i1+i2)=轟3i1+3i2=h(i1)+h(i2)因此h是從V到V的同聽?wèi)B(tài)。h是單境一同爪態(tài)，遭但不勺是滿堤同態(tài)慈。例4例1中從<V*;>到<Z躲;+將>的同寬態(tài)h是滿另同態(tài)汽，但慮不是單一仁同態(tài)謙。例襲如h()=水0,h(a)=亭1,h(a冶b)乘=2柳,h(a畝ba距)=作3,鋒…例如h(a穗bc緣瑞)=h(b精ac眉)=h(b賴cc蛋)=妥320照23恩/5頸/1糖853例5對(duì)于劍代數(shù)屋系統(tǒng)V1=<供Z;>寬,V2=<挨I;>和V3=<選A;>桃,A披={數(shù)x2|xZ}即A=月{02,12,22,32,42,…悠}=刪{0傻,1砌,4關(guān),9攤,1鄉(xiāng)豐6,騾…}定義臨函數(shù)f:ZA,對(duì)任統(tǒng)意zZ芒,f(z)=z2,定義如函數(shù)g:I祥A竿,對(duì)任橡意iI辭,f(i)=i2因?yàn)閻倢?duì)任角意z1，z2Z，有f(z1z2)=權(quán)(z1z2)2=z12z22=f(z1)2f(z2)2因?yàn)樯訉?duì)任貢意i1，i2I，有g(shù)(i1i2)=有(i1i2)2=i12i22=g(i1)2g(i2)2所以f是由<Z萌;>到<A溝;>的同叉態(tài)，g是由<I攻;>到<A坦;>的同舌態(tài)。f是V1到V3的同廟構(gòu),g不是V2到V3的同歸構(gòu)。20暖23旱/5鋸/1寒854問(wèn)題同態(tài)恥的系沉統(tǒng)之風(fēng)間有冶何關(guān)鄙系?為什膨么要財(cái)研究閉同態(tài)幫、同債構(gòu)？20塵23直/5亡/1及855二、滿同搬態(tài)的膝性質(zhì)定理抄設(shè)h是從疼代數(shù)與系統(tǒng)V1=<綱S1;*1,1,~1>到V2=<排S2;*2,2,~2>的一啟個(gè)滿墳同態(tài)袋，則（1）若*1(1)是可殿交換講的，遙則*2(2)也是祥可交粥換的粥；（2）若*1(1)是可若結(jié)合揉的，攏則*2(2)也是符可結(jié)行合的噸；（3）若*1對(duì)1是可汪分配敘的，稠則*2對(duì)2也是之可分佛配的督；（4）在V1中若*1(1)具有靈單位神元e，則V2中*2(2)也具有擊單位干元h(e)；（5）在V1中若*1(1)具有吳零元z，則V2中*2(2)也具有曉零元h(z)；（6）若迷對(duì)于*1(1),S1中元報(bào)素x具有聾逆元x-1，則鉛對(duì)于*2(2)，x的像h(x)也有牲逆元h(x-1)20吐23趣/5晨/1印856關(guān)于(1侵),已知拖對(duì)于鎮(zhèn)任意x1,x2S1，有x1*1x2=x2*1x1，要證泡明對(duì)私于任昌意y1,y2S2，有y1*2y2=y2*2y1證明差任取y1,y2S2，因算為h是滿福射，啟所以補(bǔ)必存風(fēng)在x1,x2S1，使臂得h(x1)=y1,h(x2)=y2因?yàn)?1可交覺(jué)換,所以x1*1x2=x2*1x1，于是h(x1*1x2)=h(x2*1x1)，因?yàn)閔是同擇態(tài)，果所以h(x1)*2h(x2)=h(x2)*2h(x1)此即y1*2y2=y2*2y1。#20鉆23管/5晴/1躍857關(guān)于(4瓣),已知*1有單封位元e，對(duì)亮于任園意的xS1，有e*1x=x*1e=x要證魯明對(duì)潮于任緣瑞意的yS2,有h(e)*2y=y*2h(e)=y證明對(duì)任欠意yS2，因犯為h是滿熊射，潤(rùn)所以絲式必存輔在xS1,使得h(x)=y，又因舊為e*1x=x*1e=x所以h(e*1x)=h(x*1e)=h(x)由h是同裂態(tài)，弱于是古有h(e)*2h(x)=h(x)*2h(e)=h(x)即h(e)*2y=y*2h(e)=y。#20攻23辮/5勸/1撒858要證地明S2中x的像h(x)對(duì)于*2也存鉗在逆祥元，匙且其姐逆元紋是h(x-1)，即丑要證閉明h(x)*2h(x-1)=h(x-1)*2h(x)=h(e)證明險(xiǎn)因設(shè)為x*1x-1=x-1*1x=e所以h(x*1x-1)=h(x-1*1x)=h(e)由同涉態(tài)的喜定義稼有h(x)*2h(x-1)=h(x-1)*2h(x)=h(e)。#關(guān)于(6衫),已知S1中某援一元腰素x對(duì)于*1存在便逆元x-1，xx-1h(x)h(x-1)=(h(x))-1S1S2h20紛23述/5莫/1晴859三、隱同構(gòu)設(shè)h是從沸代數(shù)很系統(tǒng)V1=<獵S1;*1,1,~1>,到V2=<潛S2;*2,2,~2>的同橋構(gòu)，怖那么h是從S1到S2的雙啄射，鄰此時(shí)h存在獸有逆萄函數(shù)h-1。可以粉證明h-1也必戴是從V2到V1的同蒸構(gòu).即對(duì)娃于任騾意(y1,y2）S22,h-1(y1*2y2)=h-1(y1)*1h-1(y2)h-1(y12y2)=h-1(y1)1h-1(y2)對(duì)于細(xì)任意德的yS2,h-1(~2(y))潤(rùn)=~1(h-1(y))這樣粒一來(lái)島，代料數(shù)系那統(tǒng)V1和V2彼此揉同構(gòu)伯。從抽北象的皮觀點(diǎn)械來(lái)看類，兩溝個(gè)同通構(gòu)的醫(yī)代數(shù)脊系統(tǒng)撕可以損看作購(gòu)?fù)缓€(gè)代呆數(shù)系是統(tǒng)來(lái)愚加以液研究耀。這樣猶研究默一個(gè)脅就代童表一培類！藏為什印么？20買23框/5莖/1那860例6設(shè)V1=<嫂R;>戶,V2=<恥R+;>踩,現(xiàn)定載義函制數(shù)（1）f1:RR+,f1(x)=純|x|（2）f2:R+R+,f2(x)=棟|x|（3）f3:R+R+,f3(x)=警2x試問(wèn)計(jì)，以應(yīng)上這酒些函泛數(shù)是層否V1到V2的同侮構(gòu)或V2到V2的自粒同構(gòu)飯？解杏（1）關(guān)魯于f1:RR+，對(duì)篇任意x,yR睬,f1(xy)=姥|xy|=鄭|x||y|=f1(x)f1(y)所以f1是由V1到V2的同選態(tài)，但f1不是腹內(nèi)射,因?yàn)閒1(x)=f1(-x)=仿|x|，例如f1(2去.5崗)=f1(-葵2.臺(tái)5)便=2伙.5故f1不是返由V1到V2的同播構(gòu)。20愈23博/5輝/1瓶861（2）哭關(guān)于f2:R+R+，f2是由V2到V2的同長(zhǎng)態(tài)，對(duì)于炕任意xR+，f2(x)=沿|x|=x,所以f2=IR+,它是栽雙射縣，因拿此f2是由V2到V2的自平同構(gòu)境。（3）關(guān)巾于f3:R+R+，對(duì)養(yǎng)任意x,yR+，f3(xy)=旬2xy,f3(x)f3(y)=臂2x2y=4xy因此f3(xy)f3(x)f3(y)，故f3不是獸由V2到V2的自同絞態(tài)，篩也不拜是同絕構(gòu)。20逗23揮/5艇/1跡862例７代數(shù)貨系統(tǒng)<R均;>與<R個(gè);+>是否忠同構(gòu)兔？解孝如果<R扛;>與<R置;+嫂>同構(gòu)捎，則蹲這兩短個(gè)代賭數(shù)系甚統(tǒng)應(yīng)速具有界完全哪相同遼的性殼質(zhì)，稿但事近實(shí)上,側(cè)<R肉;>中運(yùn)相算·有零慕元０筋，使湯得任商意xR厚,輝x爽0=拴0約x=兇0，但<R救;+鵝>中運(yùn)女算+沒(méi)有秒零元獅，因萬(wàn)此<R虹;>與<R否;+巡壽>不同汁構(gòu)。20柱23唉/5競(jìng)/1碼863練習(xí)１．留設(shè)V=研<I侵;+紡>，令f:II娘,f(x)=x+5舍,g:I磚I顆,g(x)=巡壽8x,h:I同I撐,h(x)=培-x,這些曠函數(shù)壩中,哪些遙是V上的跡自同集態(tài)？解：筑對(duì)于胸任意x,yI街,f(懷x+且y)=將(x+y)+帝5f(x)+f(詳y)=x+5予+y+5廚=(x+y)+嘆10所以搏，f(x+赴y)f(x)+f(y)g(x+倒y)=酷8(x+y)=榮8x+8y=g(x)+g(死y)h(x+y)=狐-(x+y)=愛(ài)(-x)+更(-y)=h(x)+h(y)由上終可知預(yù)，g和h是V上的用自同彎態(tài)。20陜23冶/5棕/1飄8641．在蔥下列N的子仙集中商，哪距些在投加法嗽下是洗封閉蹄的？申證明液你的飛回答銳：（1）{n|n與5互素}；（2）{n|6整除n，而24整除n2}.解蠶（1）著令A(yù)=憂{n|n和5互質(zhì)}，則污在加客法下剩不是扔封閉旗的，省例如3A塵,農(nóng)2總A，但3+捎2=亦5蹦A（2）令A(yù)=貢{n|6整除n,而24整除n2}。集逼合A在加壯法下呈是封紐奉閉的待。因?yàn)槔热粼O(shè)n1,n2A，則n1=6k1,n2=田6k2,kN除,所以n1+n2=6艷(k1+k2),能被6整除霧。(n1+n2)2=(n1)2+2饅(n1n2)+枝(n2)2因?yàn)閚12,能被24整除,n22能被24整除世，2(n1n2)=考26k16k2=2棉4(3k1k2)也能色被24整除,因此洲能被24整除,由此智可知(n1+n2)2A。例題20曾23菜/5德/1醒8652．證柱明在眼減法允下封至閉的在整數(shù)艦的集薯合在頭加法躬下一定鑼也是強(qiáng)封閉伴的。證明移：設(shè)J是在寸減法塊下封嗓閉的仗整數(shù)每集。呢并設(shè)a,梢bJ則因難為J在減煎法下頁(yè)封閉駝。所真以(b問(wèn)-b攝)=滲0J又0-鼻b=穩(wěn)-bJ。因此a+姨b=劣a-鹿(-摧b)J。改故J在加異法下使也是測(cè)封閉現(xiàn)的。劈燕例如I=頂{4i|iI}就是飄本題圣一例睬。20岡23處/5廈/1蠶8663．下鍵面是施實(shí)數(shù)誰(shuí)集合R上的猴二元象運(yùn)算*的不抗同定飯義。勾在每酬一情捏況下滋，判春定*是否拋是可背交換改的，吊是否尊是可謀結(jié)合誦的，R對(duì)于*是否兼有單漢位元洲？如懷果有辰單位表元的州話，R中的誓每一執(zhí)元素員對(duì)于*是否樹都是素可逆伍的？(1圣)r1*r2=|r1-r2|絡(luò)(煌2)r1*r2=(r12+r22)1/藍(lán)2解:脅(1徑)r1*r2=|r1-r2|①因?yàn)閨r1-r2|=荷|r2-r1|,所以可交救換。②又(r1*r2)*r3=|家|r1-r2|-r3|,r1*(r2*r3)=礎(chǔ)|r1-|r2