離散數(shù)學(xué)第四章

第四章代數(shù)系統(tǒng)4.1運算4.2代數(shù)系統(tǒng)4.3同態(tài)和同構(gòu)2023/5/241本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點。它們將集合、集合上的運算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。2023/5/2422023/5/243什么是代數(shù)？愛因斯坦小時候曾好奇地問他的叔叔：「代數(shù)是什么？」（那時候他只學(xué)過算術(shù)）他的叔叔回答得很妙：「代數(shù)是一種懶惰人的算術(shù)，當(dāng)你不知道某些數(shù)時，你就暫時假設(shè)它為x、y，然后再想辦法去尋找他們?！沟览硪唤?jīng)點破，就好像「哥倫布立蛋」的故事一樣，人人都會做了。代數(shù)是什么？以符號代替數(shù)的解題方法就是代數(shù)。代數(shù)是從算術(shù)精煉出來的結(jié)晶，雖平凡但妙用無窮。因此它又叫做廣義算術(shù)(generalizedarithmetic)或進(jìn)階算術(shù)(advancedarithmetic)或普遍算術(shù)（universalarithmetic）。2023/5/244代數(shù)的由來Algebra一名來自阿拉伯文al-jabr，al為冠詞，jabr之意為恢復(fù)或還原，解方程式時將負(fù)項移至另一邊，變成正項，也可說是還原，也有接骨術(shù)的意思。中國在1859年正式使用代數(shù)這個名稱（李善蘭在《代微積拾級》一書中的序中指出“中法之四元，即西法之代數(shù)也”），在不同的時期有人用算術(shù)作為代數(shù)的名稱，中國古書《九章算術(shù)》其實是一本數(shù)書百科全書，代數(shù)問題分見于各章，特別是第八章方程，主要是論述線性（一次）聯(lián)立方程組的解法，秦九韶（1249）的《數(shù)書九章》中有“立天元一”的術(shù)語，天元就是代表未知數(shù)，用現(xiàn)在的術(shù)語來說就是“設(shè)未知數(shù)為x"。2023/5/245代數(shù)（Algebra）是數(shù)學(xué)的其中一門分支，可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。高斯在十八世紀(jì)證明了代數(shù)基本定理；挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（1802-1829）在十九世紀(jì)初（1824）證明了不能用根式求解一般五次方程；法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在1832年運用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出“群”的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運算結(jié)構(gòu)的科學(xué)。即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時期。2023/5/246初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性質(zhì)等問題。抽象代數(shù)學(xué)對于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)和一些其他科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。抽象代數(shù)的主要研究內(nèi)容是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu),它是在從較高層次上,撇開形式上很不相似的代數(shù)結(jié)構(gòu)的個性,抽象出其共性,用統(tǒng)一的方法描述、研究與推理,從而得到一些反映事物本質(zhì)的結(jié)論,再把它們應(yīng)用到那些系統(tǒng)中去。由于代數(shù)結(jié)構(gòu)中運算個數(shù)以及對運算要求的性質(zhì)的不同,從而產(chǎn)生了各種各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu),這就形成了抽象代數(shù)的不同分支,其中最基本、最重要的分支是群、環(huán)和域,這也是離散數(shù)學(xué)課程抽象代數(shù)部分的重要研究內(nèi)容。2023/5/247NielsAbel

AstatueofAbelinOslo2023/5/248EvaristeGalois

ThisistakenfromaFrenchstampAdrawingdonein1848frommemorybyEvariste'sbrother.2023/5/2494.1運算

定義1

設(shè)有非空集合A，函數(shù)f：An→A稱為A上的一個n

元運算。特別，函數(shù)f：A2→A稱為A上的二元運算，f：A→A稱為A上的一元運算。例１

設(shè)有函數(shù)f：N2→N，對于任意(n1,n2)N2,

f(n1,n2)=n1+n2

f(5,3)=8,f(3,5)=8,f(3,9)=12

2023/5/2410例２設(shè)有函數(shù)g:I2I，對于任意(i1,i2)I2

，g(i1,i2)=i1-i2g(5,3)=2,g(3,5)=-2,g(-3,9)=-12,但減法運算不是正整數(shù)集N上的二元運算.例如，求倒數(shù)的運算不能看作實數(shù)集R上的一元運算。例3

定義函數(shù)~:R-{0}R-{0}為。2023/5/2411

例４

集合的并、交運算可以看作是全集合U的冪集2U上的二元運算。求補集的運算可看作是2U上的一元運算。對任意Si,Sj2U,對任意Si2U

，2023/5/2412~雙射2023/5/2413一、一元運算和二元運算的表示方法

表達(dá)式：

x1x2=y~x=y表達(dá)方法：解析表達(dá)式運算表2023/5/2414例如設(shè)A={a,b},2A上的一元運算'和二元運算用運算表定義如下：{a}{a,b}{a}{a,b}{a}{a}{a,b}{a,b}{a}{a,b}{a,b}{a}sisi

{a,b}{a}{a}{a,b}2023/5/2415定義２設(shè)*是集合A上的一個二元運算，SA,若對于每一個序偶(ai,aj)S2,都有*(ai,aj)S,則稱運算*在S上是封閉的。二、運算的封閉性定義在集合A上的運算在A上一定是封閉的。定義在集合A上的運算在A的子集上是否封閉呢？20災(zāi)23刃/5刊/1探816例５批定瘡義函衡數(shù)*:N2N，使*(n1,n2)=n1·n2,令S1={患2k|kN}=格{2學(xué),22,23,24,25,…軍}顯然S1N傍,于是S12N2對于閥任意(2i,2j)S12，2i2j=2i+爬j,i+jN，2i+鑄jS1,這意煤味著袍正整盯數(shù)集N上的于運算*在N的子皂集S1上也桐是封則閉的.若(n1,n2)S12，則(n1,n2)N2，*(n1,n2)=n1·n2N，*(n1,n2)是否和屬于S1？20皇23煤/5相/1診817令S2={建1,豎2,鋤3,鋒…,撓10斗}，顯重然S2N，S22N2，任取(i,j)S22，且*是N上的癥二元億運算臥，因救此*(i,j)=ijN，但*(i,j)是否能屬于S2呢？我們位取(4硬,5駝)S22，則(4零,5漁)N2，*(4亂,5頃)=鍬45驅(qū)=2徒0逝N,但20S蘭22因此*運算秋在的蘆子集S22上不壟封閉巨。20燦23即/5荷/1站818定義秧３設(shè)A是非禽空集涼合，*和是A上的極二元犯運算平。(1滋)若對盟于任露意a,bA，有a*職b=朗b*易a，則辯稱*在A上是可交押換的枝。(2螺)若對沿于任設(shè)意a,b,cA，有a*(b*艙c)=鏡(a*b)*c,則稱*在A上是錯可結(jié)骨合。(3告)若對軋于任竄意的a,b,cA偏,有a*(bc)=激(a*b)(a*c)(bc)*a=(b*a)(c*a)則稱鴉運算*對運桿算是可航分配扣的。三、廟二元先運算抓的一貧些常顆見的活性質(zhì)20企23煎/5默/1循819例６

實數(shù)集R上的二元運算*定義為:因為所以*滿足交換律。

所以滿足結(jié)合律。20仆23擠/5烤/1教820例8設(shè)S=與{|是集僚合A上的得關(guān)系}，對陣于任抵意1,2S，12仍是A上的姜關(guān)系麥，所迅以關(guān)斬系的稼復(fù)合緣瑞運算全是S上的腳二元努運算成。該運扔算不歪滿足貴交換蒸律，來但滿杠足結(jié)爸合律.例７熊全霧集合U的冪斬集2U上的拘“”運凈算和碎“”運綿算都差是可交避換、憂可結(jié)掀合的睡運算包；“”嫁對“”,狼“”對“”均是搜可分木配的視。20廊23坊/5卷/1置821１．扁單位顛元若存憑在一雅元素erA，使古得對牙于任意aA，有a*er=a，則稱er是A中運東算*的右單燈位元；若存龍在一德元素eA，使摩得對盤于任意aA，俊有e*a=啞a*e=a，則稱e是A中運洪算*的單位鉛元。四、邪集合衰中與魚二元集運算桿相關(guān)騎的一緣瑞些特轟殊的等元素定義腹４批設(shè)*是集配合A上的猶二元露運算雀，若毯存在起一元至素elA，使得兔對于任意的aA，有el*a=墻a,則稱el是A中運孔算*的左單蛾位元；20悼23睬/5咬/1懇822a是運逆算的右異單位屢元。b和d都是由運算*的左貼單位夜元，例９設(shè)A=豈{a爬,b牛,c豆,d玻},*和是A上的隊兩個附二元墳運算.*abcdadabcbabcdcabccdabcdabcdaabdcbbacdccdabdddbc20甘23序/5冬/1孔823例10在例8中，依對任晨意關(guān)惕系S，有IA=超IA=，所以奴恒等飽關(guān)系IA是集蜓合A上關(guān)南系復(fù)吃合運脂算的單位里元。例8設(shè)S=豆{|是集毯合A上的漠關(guān)系}，對挖于任痕意1,2S，12仍是A上的革關(guān)系擔(dān)，所皺以關(guān)稠系的復(fù)預(yù)合運極算是S上的庫二元藍(lán)運算柏。20淘23直/5花/1譯824定理挽１設(shè)*是集左合A上的薦二元累運算疼，el和er分別持是*的左單跟位元速和右芳單位苦元，景則el=er=e，且e是*的唯一瞎的單政位元繞。證明因為el和er分別惜是*的左霉、右咽單位蹄元，因此蓬，el*er=el=er，令e=el=er，則e是*的單叫位元沃。設(shè)e也是*的單頌位元足，則e*e=e=e因此e是*的唯赴一的猛單位稱元。20少23獎/5祖/1切825定義5設(shè)*是集個合A上的蛛二元喉運算籃，若竭存在諸一元革素zlA，使餐得對皺于任逐意的aA,有zl*a犬=zl，則稱zl是A中運兇算*的左零蛋元；若兇存在密一元謀素zrA，使蜓得對昌于任咸意的aA,有a*zr=zr,則稱zr是A中運桿算*的右零繁元，若蛇存在駝一元汪素zA，使得握對于獄任意同的aA,z*a=a*z劈燕=z,則稱z是A中運算*的零木元。2．煉零劃元20玩23挽/5雙/1座826例11設(shè)A=睛{3來,4土,6免,9共,1尿7,趕22尺},定義A上的洋二元咐運算牧“mi雪n”為mi錢n(a,b)=a與b中之備小者圈。對于決任意a*A郵,mi嫁n(3,a季)=mi疑n(傍a,郊3)=3;對于武任意a*A打,mi普n(2細(xì)2,a)=mi膀n(a,2渣2)退=a;例12對于盛全集春合U的冪牙集2U上“”運算穴和“突”運算，煌對任銳意A2U,A=昨A=A，陶A=誰A=UA=培AU=棋U，UA=價AU＝A20滋23爬/5較/1包827定理?。苍O(shè)*是A上的塌二元庸運算吩，zl和zr分別是*的左削零元扭和右抬零元怒，則zl=zr=z,且z是*唯一卻的零唐元。20咽23退/5菊/1歐828定義王６設(shè)*是集懲合A中的業(yè)二元節(jié)運算摟，若aA且a*a=知a，則零稱a是A中關(guān)致于運曠算*的冪澆等元折。例13通常餡數(shù)的錘乘法凍運算蛋是實謠數(shù)集R上的噸二元出運算,其中0和1均是殼冪等摩元。例14對于林全集室合U的冪濫集2U上的覺并運賞算和印交運港算,2U中的鳥每一沒個元鎖素都吉是冪開等元下。3.冪等酬元即對贊于任芹意元乓素S2U,回S棵S宰=S，S至S=除S20策23吳/5習(xí)/1琴8294.元素夜的逆甘元定義浪７設(shè)*是集頓合A上具驚有單滑位元e的二寧元運磨算，碎對于元素aA，若存匆在al-1，使振得al-1*a=e，則揭稱a關(guān)于*是左巡壽可逆鞠的，稱al-1是a的左炒逆元勞；若存在ar-1，使梯得a*ar-1=e，則辟稱a關(guān)于*是右懷可逆腳的，溝稱ar-1是a的右逆元逝；若存在a-1A，使榆得a-1*a=a*a-1=e，則塑稱a關(guān)于*是可殃逆的蹲，棋稱a-1是a的逆掉元。20荒23拴/5妹/1身830例15在例蒼６中軋曾定雅義實徑數(shù)集R上的淘二元吸運算*：r1*r2=r1+r2-r1r2，考慮湊它是莊否存除在在希單位偵元。若el是左籃單位床元，則枕對任驕意rA，應(yīng)鐮有el*r=el+r-elr=欄r,于是el(1丟-r)=騰0,由于r是任典意的枝，只拜有el=0同理賢，若er是右泄單位販元，稻則er=0因此苦，0是*的單們位元笨。R中的單元素堤是否瓜有逆僑元呢殺？設(shè)s是r的左逆元，則應(yīng)有s*r=s+r-sr=0，于是s(r-1)=r,則因此，只要r1，R中任意元素r均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是20隸23考/5倍/1箭831定理腰３設(shè)*是集抹合A上具弊有單合位元e且可寧結(jié)合餃的二責(zé)元運遭算，壩若元決素aA有左密逆元al-1和右映逆元ar-1，則al-1=ar-1=a-1,且a-1是a唯一銜的逆腿元。證明改：因為al-1和ar-1分別證是a的左眨逆元逝和右拾逆元碰，則al-1*a=a*ar-1=e。因此盟，al-1*a*ar-1=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1,=(al-1*(a*ar-1)=al-1*e=al-1于是al-1=ar-1，令a-1=al-1=ar-1,則a-1是a的逆薪元。設(shè)a還有午逆元b，則b*a=a*b=e于是b*e=b=b*(a*a-1)=棄(b*a)*a-1=e*a-1=a-1.20談23互/5幼/1奴832例16設(shè)F=槽{f|f:NN}，函凝數(shù)的訴復(fù)合漢運算欲是F上的廢二元很運算親，對旋任意fF，IN使得INf=哀fIN，所揮以IN是F上運嫁算的單典位元電。現(xiàn)有姥函數(shù)h:NN，定碎義為兆對任筑意nN，h(n)=掀2n,試問h是否護(hù)有左旋逆元草？右吐逆元幸或逆階元？解問h是否搶有左掃逆元伯即問竟是否污存在柜函數(shù)g:謊NN，使裂得gh怨=IN？123456781234567812345678hggh可以發(fā)如下獸定義紹函數(shù)因此gh(n)=n,gh=IN20名23羅/5譯/1亡833但是h沒有康右逆役元。123456781234567812345678hghg無論移如何貼定義律函數(shù)g:NN，均混無法爸使得hg是滿亮射。緩因此h沒有框右逆?zhèn)稍?0凍23要/5浩/1旱834定理4設(shè)*是集細(xì)合A上的妖二元石運算謠，且#A倦>1。若運舅算*有單字位元e和零聾元z，則ez。證明牙（反徐證法趴）設(shè)e=餡z，因驢為#A替>1，所寨以至貢少還有垃一元榮素aA疑,打a逃z，但a=英e*彩a=疼z矛盾鴉。故必延有ez。20扣23削/5到/1盞835YYYY且e＝2YYN2設(shè)有符整數(shù)秧集I，對I中任紹意元憂素，都定義勤運算填為：ab館=a旺+b吳-2（1）運洗算在I上是趴否封復(fù)閉？(旋)（2）運騙算是否滋可交隙換？(太)（3）運娘算是否趁可結(jié)植合？(麻)（4）運尚算在I中是棋否有做單位皂元？(尼)（5）御對運么算是否庫所有如的元戀素都鋪有逆緞元？(強(qiáng))（6）運調(diào)算在I中是勾否有救冪等習(xí)元？(聰)（7）運宵算在I中是孩否有牛零元收？(志)(1漠)節(jié)A=鄉(xiāng)豐{1晚,2乖}（確）(2侍)拍B=圓{1炮,-兄1}（追）(3舟)礦C=藝{2錢n-奏1|舉nN}（滴）在相菠應(yīng)的木括號災(zāi)中鍵鋼入“Y”或“N”分別趣表示梨肯定垂和否椒定。1通常央數(shù)的拳乘法壞運算也是否港可看蘿作下殊列集譜合上還的二占元運液算？練習(xí)NYY20女23淘/5段/1歪836實數(shù)亡集R上的飛二元辜運算*定義樂為：r1*r2=r1+r2/2。集雀合R中關(guān)歉于運惱算*存在龜單位農(nóng)元、蔑零元濁和冪嚇等元伙嗎？解：(1丙)運算*不可為交換抹，因婆此我籍們分抓別考撿慮它最是否虧有左眼單位紙元和右召單位艷元若r1是左爆單位碼元，杯則對攪于任辜意rR，應(yīng)別有r1*r=r1+r/2米=r,于是r1=r/2由于r是任拌意的諒，因釣此不繡存在釘元素搬能成毫為運佛算*的左救單位醫(yī)元。刊由此翻可知輛，運煉算*不存性在單朋位元后。若r1是右貴單位賴元，擔(dān)則對攔于任釋意rR，應(yīng)踢有r*r1=r+r1/2尖=r。要使口得上綿式成偽立，熟只有r1=0，因漢此0是運算*的右房誠單位雕元。20速23掠/5浙/1晝837若r1是左漿零元獵，則遮對于市任意rR，應(yīng)昌有r1*r=r1+r/2佛=r1,要是蒼上式頃成立股，必粱須r=0，但是r是任凳意的去，因肆此運于算*不存耗在左保零元倚。由此林可知鐵，運垃算*不存射在零繭元。若rr是右然零元駁，則茄對于驚任意rR，應(yīng)士有r*rr=r+rr/2序=rr。于是r1=2r。由顏于r的任寬意性標(biāo)，因侮此運算*沒有癥右零至元。(2苗)(3屢)若rR是冪笛等元丑，則應(yīng)有r*r=r+r/2建=r，r/2劇=0。于是r=0。因貸此0是運算*的冪艷等元預(yù)。20排23營/5利/1淡838設(shè)*為自恐然數(shù)印集N上的裹由x*y=x給出頃的二奶元運葡算。嫩試證拘明*是可肢結(jié)合濤的，火但不牧是可天交換氣的。末哪些洋元素駐是冪祖等元膀？哪披些元色素是嶄左單蜜位元擁、右高單位澤元？進(jìn)哪些語元素暢是左崇零元擔(dān)、右炭零元鑒？20真23肆/5雹/1吵8394.犁2代數(shù)榴系統(tǒng)一、乎代數(shù)謎系統(tǒng)定義衛(wèi)一雕個非烏空集仙合S和定庭義在在該集音合上頸的一急個或杯多個次運算1,2,…籠,n所組洪成的虹系統(tǒng)悲稱為份代數(shù)給系統(tǒng)坦。用便記號<S裹;1,2,…妙,n>表示奴，其中S是非暴空集共合，善稱為禽該代賴數(shù)系碼統(tǒng)的旱域。例1通常攏數(shù)的乓加法沾運算免、乘礙法運循算和敲減法泳運算劫都可醫(yī)看作挖是實碌數(shù)集R上的薯二元猶運算雪，它春們構(gòu)另成代造數(shù)系條統(tǒng)<R犧;+隔,×,-耀>。例2設(shè)SA={|是集擋合A上的疾關(guān)系}，是求底復(fù)合拳關(guān)系諷的運含算。它們棒構(gòu)成穴代數(shù)魂系統(tǒng)<SA;>。例3全集樹合U的冪衣集2U和集滋合的詠并、結(jié)交以溜及補糕運算際構(gòu)成死代數(shù)系統(tǒng)<2U;,近>20雞23冷/5僻/1氧840定義設(shè)J是一循非空承集合賭，+和·是J上的層二元超運算陪，如遲果+和·滿足員下述攀性質(zhì)巨：對任趙意i,j,k∈J,有（1）交逮換律i+j=j+iij巴=j暴i（2）結(jié)壟合律(i+j)+k=i+(j+k)陳(ij)k=i(j靜k)（3）分遠(yuǎn)配律i(j+k)=ij+jk（4）單膚位元i+0=0+i管=ii1=1i=i（5）加沙法的端可逆牽性i+(蝴-i)=委(-i)+i=0（6）乘州法的島相約攏性憲若i0，則靠由i培j=戰(zhàn)i仍k可得j=因k則稱暢代數(shù)腎系統(tǒng)<J露;脆+,于·剖>為整環(huán)疑。20飯23膀/5饒/1攤841定義4-艱10設(shè)<S脊;1,2,3>是一左個代赴數(shù)系口統(tǒng)，掠其中占運算i(i=1隱,2訓(xùn),3拴)均是德一元鞠或二維元運很算，H是S的一傘個非索空子和集，掠如果S上的織這三際個運抽算在H上也壁都是黑封閉蟲的，擱則稱<H辨;1,翼2,3>是<S旅;1,2,3>的子勢代數(shù)投或子賞系統(tǒng)惑。如果i是一瞎元運除算，謙所謂i在子奏集H上封別閉，安意味著推在H中任周取一兇元素b，其精運算訴結(jié)果i(b太)蹄H.若i是二勞元運誦算，雹所謂i在子嚇集H上封蟻閉，覆意味羽著在H中任臭取兩紋元素a,前b，其盒運算多結(jié)果aib仍屬仆于H.二、贊子代愈數(shù)20炭23舌/5怎/1煙842例5設(shè)有世代數(shù)馬系統(tǒng)<Z檢;+英,>，其霜中Z表示柜非負(fù)養(yǎng)整數(shù)希集，臟＋和?是通蒼常數(shù)的武運算佩。對于舍任意6z1,6座z2A寸,有6z1+6遮z2=6底(z1+z2)A齊,叼6纏z16坐z2=6跨(6竊z1z2)鎖A<A島;+邁,>是代低數(shù)系糊統(tǒng)<Z嗚;+駱,>的子乒代數(shù)對于眾任意z12,z22B使,有z12z22=貼(z1z2)2B但是z12+z22就不筑一定吩在B中，油例如22+32=1水3B只能扒得出<B澇;>是的著代數(shù)密系統(tǒng)<Z紡;>的子擾系統(tǒng)頑，而B與+，不庫能構(gòu)供成<Z寒;+斷,套>的子棚代數(shù)20盜23艙/5愈/1茫843練習(xí)1．通圓常數(shù)鼠的減妻法運扣算能窯否和宴下列凍集合富構(gòu)成喜一個掌代數(shù)禾系統(tǒng).（1）非影負(fù)整屠數(shù)集Z貪(凡)（2）整肥數(shù)集I（程）（3）有才理數(shù)仿集Q（拌）NYY2．設(shè)類代數(shù)獲系統(tǒng)V=信<I反;+乓,>，其煙中I表示填整數(shù)深集，客＋和·分別睛表示推通?？实募臃ń呛统烁ㄟ\途算，尋下面棕的各防個子盡集，吸它是雨否能裁構(gòu)成V的子儀代數(shù)南？（1）(隆)（2）(魚)NY3．設(shè)眼代數(shù)留系統(tǒng)V=者<{甚1,垃2,床3}奏;>，其圍中二線元運勿算定義注為xy箭=x與y中較窗大的數(shù),則V有個子妨代數(shù)英。A．3蹤蝶B．6皮C．7勻D．8C20殖23粒/5額/1競8444.俘3代數(shù)宋系統(tǒng)襯的同額態(tài)與斧同構(gòu)一、更代旱數(shù)系傍統(tǒng)的塔同態(tài)1．同泥態(tài)的憑概念定義不設(shè)V1=<碑S1;*1,1,~1>和V2=<抹S2;*2,2,~2;>是兩刪個代數(shù)樂系統(tǒng)感，h是從S1到S2的一早個函蔽數(shù)，廈若對板于任意腫的x,yS1，有對任福意xS1，有漫則稱h是從代數(shù)耕系統(tǒng)V1到V2的一車個同溉態(tài)。20撫23蔬/5猛/1沃845先運偶算后虹取象葬等同鑼于先取散象后孤運算.兩集命合中“對應(yīng)砍元素索的運算脊結(jié)果蹤蝶仍然饅對應(yīng)”。S1x

yx*1yS2h(x)h(y)h(x*1y)=h(x)*2h(y)hS1x~1(x)S2h(x)~2(h(x))h20可23銜/5尊/1附846例1設(shè)V=粱{a糖,b悲,c溉,…腦,x嫁,y攏,z逗}是字箱母的殃集合蓋，稱孩為字或母表愈。由V中有摘限個盛字母社組成慢的序彎列稱六為字沃母表V上的攔句子邁或行客。例巖如aa襲,b插cd艦b等.對任診意行，中字夜母的誓個數(shù)繪稱為的長樓度，像記作||。不包保含任客何字盒母的鄰行稱地作空姻行，斜記作,今||=呆0。字母怖表V上所統(tǒng)有行臘的集遲合用V*表示燒。定義V*上的舞二元首運算，對晃任意,A，是把側(cè)行鏈接成在行的后跑面。例如扇，設(shè)=c授ds自he，=a鼓bg蛛gf，則=c幟ds缸he午ab從gg部f構(gòu)成穗代數(shù)削系統(tǒng)<V*;>。20傭23槍/5女/1基847對于劫代數(shù)腎系統(tǒng)<V*;>和<Z鞋;+啟>，定慕義函椅數(shù)f:V*Z，對任兄意V*,f()幣=||。則f是<V*;>到<Z稿;+婚>的一傅個同時態(tài)。因為對于任意

20外23研/5肆/1降848例2設(shè)有侄代數(shù)崇系統(tǒng)V1=<凝I;楚+,>和代嘆數(shù)系惱統(tǒng)V2=<寬Z6;6,⊙6>，Z6={熊0,金1,府2,羅3,非4,希5}汽,6和⊙6分別渡表示善模6的加同法和善模6的乘刊法。z16z2=re淚s6(z1+z2)z1⊙6z2=re捏s6(z1z2)例如463=re畏s6(7陵)=煙1,4⊙63=re奸s6(1調(diào)2)鵲=0定義翻函數(shù)h:IZ6，對猴于任靠意iI，有h(i)=re灰s6(i)例如h(2集0)比=re訂s6(2籌0)疊=2希,h(-謹(jǐn)15槽)=re藍(lán)s6(-滑15襪)=惰3可以視證明h是從V1到V2的一松個同銷態(tài)。20辱23躬/5脹/1服849對于沖任意朽的i1,i2I，有h(靜i1+i2)=h(i1)6h(i2)h(i1i2)=h(i1)朝⊙6h(i2)即對粥任意么的i1,i2I，有re票s6(i1+i2)=re猾s6(i1)6re嚇s6(i2)交(預(yù)1)re廉s6(i1i2)=re邪s6(i1)緞⊙6re釋s6(i2)背(懇2)為此睬，設(shè)i1=6q1+r1，i2=6q2+r2則(i1+i2)=的6(q1+q2)荷+r1+r2，因訓(xùn)此re侄s6(i1+i2)=re已s6(r1+r2)另一犧方面re哭s6(i1)6re腰s6(i2)=r16r2=re皆s6(r1+r2)因此re雞s6(i1+i2)=re疑s6(i1)+re般s6(i2)必須驚證明方如下否兩個笑等式悔：20暈23摘/5概/1略850對于擱等式殊（2），謝因為i1i2=(皇6q1+r1)+蓬(6q2+r2)=骨6滿(6q1q2)+雄6q1r2+6q2r1+r1r2所以re莊s6(i1i2)=re版s6(r1r2)另一棉方面re映s6(i1)搭⊙6re申s(i2)=r1⊙6r2=re尋s6(r1r2)因此re憑s6(i1i2)=re黑s6(i1)揪⊙6re晝s6(i2)由此鋤可知h是從V1到V2的一象個同武態(tài)。#20前23訂/5鞏/1英8512．商由特桑殊函昏數(shù)定嗎義的骨特殊目的同廢態(tài)。定義維設(shè)h:S1S2是從辛代數(shù)錯系統(tǒng)V1=<堆S1;*1,1,~1>到V2=<炕S2;*2,2,~2>的同撒態(tài)。(1鋼)如果h是內(nèi)必射，虜則稱h是從V1到V2的單國一同紀(jì)態(tài)。(2掃)如果h是滿換射，四則稱h是從V1到V2的滿奏同態(tài)珠。(3否)如果h是雙蘋射，妹則稱h是從V1到V2的同稈構(gòu)。20袖23偶/5超/1協(xié)852例3對于醫(yī)代數(shù)片系統(tǒng)V=兆{I乘;+爬}，定逗義函丸數(shù)h:II，對于槍任意的iI約,h(i)=勇3i，對于吃任意設(shè)的i1,i2Ih(i1+i2)=協(xié)3(i1+i2)=轟3i1+3i2=h(i1)+h(i2)因此h是從V到V的同聽?wèi)B(tài)。h是單境一同爪態(tài)，遭但不勺是滿堤同態(tài)慈。例4例1中從<V*;>到<Z躲;+將>的同寬態(tài)h是滿另同態(tài)汽，但慮不是單一仁同態(tài)謙。例襲如h()=水0,h(a)=亭1,h(a冶b)乘=2柳,h(a畝ba距)=作3,鋒…例如h(a穗bc緣瑞)=h(b精ac眉)=h(b賴cc蛋)=妥320照23恩/5頸/1糖853例5對于劍代數(shù)屋系統(tǒng)V1=<供Z;>寬,V2=<挨I;>和V3=<選A;>桃,A披={數(shù)x2|xZ}即A=月{02,12,22,32,42,…悠}=刪{0傻,1砌,4關(guān),9攤,1鄉(xiāng)豐6,騾…}定義臨函數(shù)f:ZA,對任統(tǒng)意zZ芒,f(z)=z2,定義如函數(shù)g:I祥A竿,對任橡意iI辭,f(i)=i2因為悅對任角意z1，z2Z，有f(z1z2)=權(quán)(z1z2)2=z12z22=f(z1)2f(z2)2因為捎對任貢意i1，i2I，有g(shù)(i1i2)=有(i1i2)2=i12i22=g(i1)2g(i2)2所以f是由<Z萌;>到<A溝;>的同叉態(tài)，g是由<I攻;>到<A坦;>的同舌態(tài)。f是V1到V3的同廟構(gòu),g不是V2到V3的同歸構(gòu)。20暖23旱/5鋸/1寒854問題同態(tài)恥的系沉統(tǒng)之風(fēng)間有冶何關(guān)鄙系?為什膨么要財研究閉同態(tài)幫、同債構(gòu)？20塵23直/5亡/1及855二、滿同搬態(tài)的膝性質(zhì)定理抄設(shè)h是從疼代數(shù)與系統(tǒng)V1=<綱S1;*1,1,~1>到V2=<排S2;*2,2,~2>的一啟個滿墳同態(tài)袋，則（1）若*1(1)是可殿交換講的，遙則*2(2)也是祥可交粥換的粥；（2）若*1(1)是可若結(jié)合揉的，攏則*2(2)也是符可結(jié)行合的噸；（3）若*1對1是可汪分配敘的，稠則*2對2也是之可分佛配的督；（4）在V1中若*1(1)具有靈單位神元e，則V2中*2(2)也具有擊單位干元h(e)；（5）在V1中若*1(1)具有吳零元z，則V2中*2(2)也具有曉零元h(z)；（6）若迷對于*1(1),S1中元報素x具有聾逆元x-1，則鉛對于*2(2)，x的像h(x)也有牲逆元h(x-1)20吐23趣/5晨/1印856關(guān)于(1侵),已知拖對于鎮(zhèn)任意x1,x2S1，有x1*1x2=x2*1x1，要證泡明對私于任昌意y1,y2S2，有y1*2y2=y2*2y1證明差任取y1,y2S2，因算為h是滿福射，啟所以補必存風(fēng)在x1,x2S1，使臂得h(x1)=y1,h(x2)=y2因為*1可交覺換,所以x1*1x2=x2*1x1，于是h(x1*1x2)=h(x2*1x1)，因為h是同擇態(tài)，果所以h(x1)*2h(x2)=h(x2)*2h(x1)此即y1*2y2=y2*2y1。#20鉆23管/5晴/1躍857關(guān)于(4瓣),已知*1有單封位元e，對亮于任園意的xS1，有e*1x=x*1e=x要證魯明對潮于任緣瑞意的yS2,有h(e)*2y=y*2h(e)=y證明對任欠意yS2，因犯為h是滿熊射，潤所以絲式必存輔在xS1,使得h(x)=y，又因舊為e*1x=x*1e=x所以h(e*1x)=h(x*1e)=h(x)由h是同裂態(tài)，弱于是古有h(e)*2h(x)=h(x)*2h(e)=h(x)即h(e)*2y=y*2h(e)=y。#20攻23辮/5勸/1撒858要證地明S2中x的像h(x)對于*2也存鉗在逆祥元，匙且其姐逆元紋是h(x-1)，即丑要證閉明h(x)*2h(x-1)=h(x-1)*2h(x)=h(e)證明險因設(shè)為x*1x-1=x-1*1x=e所以h(x*1x-1)=h(x-1*1x)=h(e)由同涉態(tài)的喜定義稼有h(x)*2h(x-1)=h(x-1)*2h(x)=h(e)。#關(guān)于(6衫),已知S1中某援一元腰素x對于*1存在便逆元x-1，xx-1h(x)h(x-1)=(h(x))-1S1S2h20紛23述/5莫/1晴859三、隱同構(gòu)設(shè)h是從沸代數(shù)很系統(tǒng)V1=<獵S1;*1,1,~1>,到V2=<潛S2;*2,2,~2>的同橋構(gòu)，怖那么h是從S1到S2的雙啄射，鄰此時h存在獸有逆萄函數(shù)h-1?？梢苑圩C明h-1也必戴是從V2到V1的同蒸構(gòu).即對娃于任騾意(y1,y2）S22,h-1(y1*2y2)=h-1(y1)*1h-1(y2)h-1(y12y2)=h-1(y1)1h-1(y2)對于細(xì)任意德的yS2,h-1(~2(y))潤=~1(h-1(y))這樣粒一來島，代料數(shù)系那統(tǒng)V1和V2彼此揉同構(gòu)伯。從抽北象的皮觀點械來看類，兩溝個同通構(gòu)的醫(yī)代數(shù)脊系統(tǒng)撕可以損看作購?fù)缓€代呆數(shù)系是統(tǒng)來愚加以液研究耀。這樣猶研究默一個脅就代童表一培類！藏為什印么？20買23框/5莖/1那860例6設(shè)V1=<嫂R;>戶,V2=<恥R+;>踩,現(xiàn)定載義函制數(shù)（1）f1:RR+,f1(x)=純|x|（2）f2:R+R+,f2(x)=棟|x|（3）f3:R+R+,f3(x)=警2x試問計，以應(yīng)上這酒些函泛數(shù)是層否V1到V2的同侮構(gòu)或V2到V2的自粒同構(gòu)飯？解杏（1）關(guān)魯于f1:RR+，對篇任意x,yR睬,f1(xy)=姥|xy|=鄭|x||y|=f1(x)f1(y)所以f1是由V1到V2的同選態(tài)，但f1不是腹內(nèi)射,因為f1(x)=f1(-x)=仿|x|，例如f1(2去.5崗)=f1(-葵2.臺5)便=2伙.5故f1不是返由V1到V2的同播構(gòu)。20愈23博/5輝/1瓶861（2）哭關(guān)于f2:R+R+，f2是由V2到V2的同長態(tài)，對于炕任意xR+，f2(x)=沿|x|=x,所以f2=IR+,它是栽雙射縣，因拿此f2是由V2到V2的自平同構(gòu)境。（3）關(guān)巾于f3:R+R+，對養(yǎng)任意x,yR+，f3(xy)=旬2xy,f3(x)f3(y)=臂2x2y=4xy因此f3(xy)f3(x)f3(y)，故f3不是獸由V2到V2的自同絞態(tài)，篩也不拜是同絕構(gòu)。20逗23揮/5艇/1跡862例７代數(shù)貨系統(tǒng)<R均;>與<R個;+>是否忠同構(gòu)兔？解孝如果<R扛;>與<R置;+嫂>同構(gòu)捎，則蹲這兩短個代賭數(shù)系甚統(tǒng)應(yīng)速具有界完全哪相同遼的性殼質(zhì)，稿但事近實上,側(cè)<R肉;>中運相算·有零慕元０筋，使湯得任商意xR厚,輝x爽0=拴0約x=兇0，但<R救;+鵝>中運女算+沒有秒零元獅，因萬此<R虹;>與<R否;+巡壽>不同汁構(gòu)。20柱23唉/5競/1碼863練習(xí)１．留設(shè)V=研<I侵;+紡>，令f:II娘,f(x)=x+5舍,g:I磚I顆,g(x)=巡壽8x,h:I同I撐,h(x)=培-x,這些曠函數(shù)壩中,哪些遙是V上的跡自同集態(tài)？解：筑對于胸任意x,yI街,f(懷x+且y)=將(x+y)+帝5f(x)+f(詳y)=x+5予+y+5廚=(x+y)+嘆10所以搏，f(x+赴y)f(x)+f(y)g(x+倒y)=酷8(x+y)=榮8x+8y=g(x)+g(死y)h(x+y)=狐-(x+y)=愛(-x)+更(-y)=h(x)+h(y)由上終可知預(yù)，g和h是V上的用自同彎態(tài)。20陜23冶/5棕/1飄8641．在蔥下列N的子仙集中商，哪距些在投加法嗽下是洗封閉蹄的？申證明液你的飛回答銳：（1）{n|n與5互素}；（2）{n|6整除n，而24整除n2}.解蠶（1）著令A(yù)=憂{n|n和5互質(zhì)}，則污在加客法下剩不是扔封閉旗的，省例如3A塵,農(nóng)2總A，但3+捎2=亦5蹦A（2）令A(yù)=貢{n|6整除n,而24整除n2}。集逼合A在加壯法下呈是封紐奉閉的待。因為廊若設(shè)n1,n2A，則n1=6k1,n2=田6k2,kN除,所以n1+n2=6艷(k1+k2),能被6整除霧。(n1+n2)2=(n1)2+2饅(n1n2)+枝(n2)2因為n12,能被24整除,n22能被24整除世，2(n1n2)=考26k16k2=2棉4(3k1k2)也能色被24整除,因此洲能被24整除,由此智可知(n1+n2)2A。例題20曾23菜/5德/1醒8652．證柱明在眼減法允下封至閉的在整數(shù)艦的集薯合在頭加法躬下一定鑼也是強(qiáng)封閉伴的。證明移：設(shè)J是在寸減法塊下封嗓閉的仗整數(shù)每集。呢并設(shè)a,梢bJ則因難為J在減煎法下頁封閉駝。所真以(b問-b攝)=滲0J又0-鼻b=穩(wěn)-bJ。因此a+姨b=劣a-鹿(-摧b)J。改故J在加異法下使也是測封閉現(xiàn)的。劈燕例如I=頂{4i|iI}就是飄本題圣一例睬。20岡23處/5廈/1蠶8663．下鍵面是施實數(shù)誰集合R上的猴二元象運算*的不抗同定飯義。勾在每酬一情捏況下滋，判春定*是否拋是可背交換改的，吊是否尊是可謀結(jié)合誦的，R對于*是否兼有單漢位元洲？如懷果有辰單位表元的州話，R中的誓每一執(zhí)元素員對于*是否樹都是素可逆伍的？(1圣)r1*r2=|r1-r2|絡(luò)(煌2)r1*r2=(r12+r22)1/藍(lán)2解:脅(1徑)r1*r2=|r1-r2|①因為|r1-r2|=荷|r2-r1|,所以可交救換。②又(r1*r2)*r3=|家|r1-r2|-r3|,r1*(r2*r3)=礎(chǔ)|r1-|r2