第九章第節(jié)全微分

第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1第九章*三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)近似計(jì)算估計(jì)誤差主要內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一元函數(shù)

的微分二、可微的條件2由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義對(duì)二元函數(shù)3引例:設(shè)有一圓柱體,受壓后變形,它的底面半徑由問(wèn)圓柱體體積解:圓柱體的體積與一元函數(shù)類似稱上式為函數(shù)V的全微分.4可表示成稱為函數(shù)若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.注:對(duì)的偏增量的偏微分定義:如果函數(shù)

在定義域D的內(nèi)點(diǎn)

在點(diǎn)可微，在點(diǎn)的全微分,記作其中A,B不依賴于

,僅與

有關(guān)，56二、可微的條件定理1(必要條件)則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有因此有若函數(shù)

在點(diǎn)可微,得到對(duì)

的偏增量78一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？例如，9注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即10(證明略)定理2(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.11說(shuō)明:(1)微分的充分必要條件是,這一結(jié)論常用來(lái)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可微性.(2)由定理2可知如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微12多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)13推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是14解所求全微分15解16解例4.已知17解1819證令則同理20不存漫在.21下面虹證明可微:說(shuō)明:此題任表明,偏導(dǎo)稅數(shù)連瞧續(xù)只港是可遇微的奇充分銅條件.令則2223例9.設(shè)解:利用箭輪換蠅對(duì)稱灑性,可得24三.全微恢分在魚(yú)近似德計(jì)算血中的盲應(yīng)用也可賄寫(xiě)成25解由公終式得26１、光多元表函數(shù)脊全微埋分的扶概念飽；２、其多元斥函數(shù)焰全微臉?lè)值哪闱蠓ɑ?；３、語(yǔ)多元姑函數(shù)扛連續(xù)屋、可鼻導(dǎo)、舌可微墾