屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第三十四講基本不等式及其應(yīng)用》課件

第三十四講基本不等式及其應(yīng)用回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”).均值定理可以敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).5.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“一正二定三相等”,即:①各項(xiàng)或各因式為正;②和或積為定值;③各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值.考點(diǎn)陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()答案:A答案:C答案:B答案:D類型一 證明不等式解題準(zhǔn)備:證明不等式是均值不等式的一個(gè)基本應(yīng)用,注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類問題時(shí)注意以下幾點(diǎn):(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項(xiàng)的方法配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3)注意“1”的代換;(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用.【典例1】證明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求證即可.[證明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.類型二求最值解題準(zhǔn)備:1.利用基本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.2.應(yīng)用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:類型汽三逃利用垃均值股不等播式解斃應(yīng)用走題解題哭準(zhǔn)備:均值警不等透式作醋為求桂最值匙的常坡用工老具,經(jīng)常晉在有超關(guān)最蹤蝶優(yōu)解興的實(shí)度際問痕題中慚應(yīng)用.應(yīng)用股均值棋不等伍式解懲決實(shí)撓際問朵題的炭基本俊步驟觸是:①仔細(xì)具閱讀豪題目,透徹玩理解后題意;②分析孕實(shí)際她問題叨中的域數(shù)量童關(guān)系,引入侄未知待數(shù),并用俯它表質(zhì)示其遍它的男變量,把要始求最吸值的其變量乘設(shè)為園函數(shù);③應(yīng)用燈均值鉛不等初式求井出函巧數(shù)的露最值;④還原稍實(shí)際私問題,作出攝解答.【典例3】某工掩廠擬靠建一飄座平按面圖砌為矩砍形且像面積皂為20命0驅(qū)m2的三掙級(jí)污獄水處旱理池(平面妙圖如驕圖所脈示).如果談池四福周圍桿墻建槐造單蝴價(jià)為40旦0元/m箭,中間凍兩道菌隔墻己建造扔單價(jià)津?yàn)?4鐘8元/m繩,池底祥建造緒單價(jià)末為80元/m2,水池屈所有篇墻的仆厚度床忽略齒不計(jì).(1亮)試設(shè)榮計(jì)污餓水處黑理池菌的長(zhǎng)搞和寬,使總沿造價(jià)搭最低,并求慚出最謊低總霉造價(jià);(2稀)若由虧于地熔形限訊制,該池扇的長(zhǎng)廉和寬品都不分能超綁過16搖m宣,試設(shè)沖計(jì)污彎水池渴的長(zhǎng)文和寬,使總膨造價(jià)在最低,并求洲出最冷低總雹造價(jià).[反思閱感悟]不等博式應(yīng)圈用的晚特點(diǎn)板是:(勝1)問題個(gè)的背定景是攪人們咸關(guān)心往的社他會(huì)熱釣點(diǎn)問啊題,如“糊物價(jià)?稅收?銷售?市場(chǎng)滅信息戰(zhàn)”等,題目闖往往所篇幅獅較長(zhǎng).(典2)建立燒函數(shù)質(zhì)模型旨常見看的有環(huán)“正(反)比例久函數(shù)?一次您函數(shù)?二次城函數(shù)?指數(shù)事函數(shù)?對(duì)數(shù)和函數(shù)?三角口函數(shù),以及培”等考形式.解函朽數(shù)應(yīng)輝用題兼中的張最值隸問題套一般攔利用臭二次廣函數(shù)小的性蹄質(zhì)或雕基本布不等躬式來虹解決.錯(cuò)源閣一腐忽濤視等周號(hào)成侮立的解條件[剖析]解法懲一和頃解法差二的寄錯(cuò)誤獅原因深是等江號(hào)同止時(shí)成直立的坊條件涌不具棄備,因此臣使用獨(dú)基本敬不等殼式一撇定要幻玉驗(yàn)證凱等號(hào)火成立鏈的條傻件,只有海等號(hào)蹄成立踩時(shí),所求灶出的唐最值蜓才是汗正確棄的.錯(cuò)源烏二聽忽徹視均盒值不答等式朵應(yīng)用哨條件難致誤[答案](切-∞身,-雪1]電∪[唉3,拋+∞搭)技法扭一疏快速耕解題(三角拜換元)【典例1】已知a、b、c、d∈遺R,脆x、y∈色R+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xy才≥a渠c+煙bd.[快解]聯(lián)想弓到圓披的參歷數(shù)方戰(zhàn)程,設(shè)a=xc縱os惜θ,立b=xs趁in晴θ,閘c=yc田os隨φ,努d=ys返in蜻φ,則ac咸+b部d=xy絞co皂sθ其co會(huì)sφ劣+x皂ys洪in笑θs補(bǔ)in捎φ=xy釣co贏s(孩θ-裙φ)編≤x乓y.[另解箱切入犧點(diǎn)]有a2+b2、c2+d2的形猛式出穿現(xiàn),就可猾以用a2+b2≥2早ab待.由于a、b、c、d∈鍛R,故ac飄+b峽d可能萬為正,也可史能為慶負(fù).當(dāng)ac鬼+b怒d<0時(shí),顯然停不需禽證明,只需凈考慮ac甜+b鐘d>0的情遼況.[證明]證法孩一:當(dāng)ac翼+b狡d<0時(shí),顯然困有xy化≥a檔c+怨bd成立.當(dāng)ac露+b郊d≥志0時(shí),x2y2=(濾a2+b2)(玻c2+d2)=品a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2勻ab礙cd溝=(段ac茂+b蚊d)2,即xy焦≥a鼠c+抄bd.證法役二:當(dāng)ac猛+b茅d<0時(shí),顯然努有xy杠≥a轎c+陽bd成立;當(dāng)ac旦+b憑d≥播0時(shí),欲證xy散≥a準(zhǔn)c+悶bd,只需幸證x2y2≥a2c2+b2d2+2告ab蒙cd灘.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(鍵a2+b2)(籌c2+d2)=拿a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2臺(tái)ab齡cd鞋.即x2y2≥a2c2+b2d2+2矮ab疫cd成立,因此,原不婚等式流成立.[方法桿與技圖巧]證法方一與蓋證法蓋二基撇本相椅同,只是弦形式譽(yù)不同訪而已.而快丙解聯(lián)良想到娛圓的炎參數(shù)豈方程,進(jìn)行說三角飯代換,又不棄必考想慮ac勾+b炒d的正慌負(fù)問除題,僅注棒意到xy>0、-1蓮≤c罰os捎(θ保-φ員)≤床1就行拖了.[得分慈主要掩步驟]本題帆證明吹步驟耕簡(jiǎn)單,但需愈考慮ac勵(lì)+b煙d或正漆或負(fù)重的兩校種情皺況.若ac宮+b恒d<0屆,則(a狼c+聯(lián)bd漢)2與x2y2的大掠小不盾能確泳定,證題源時(shí)需跌注意召此處.[易丟夸分原白因]沒有療考慮稿到ac哪+b顫d≥酬0還是ac執(zhí)+b硬c<0顛.技法侵二躍如何拖解決曾含有松多個(gè)楚變量饒的條突件最鬼值問意題求解涌含有爪多個(gè)撲變量敲的條頁件最蔬值問憐題,一般填方法訴是利絲式用給講出的筍條件,通過喬代換挪減少堂變量爐的個(gè)朗數(shù),將問謎題轉(zhuǎn)狡化為運(yùn)只含后有一死個(gè)變士量的邊函數(shù)主的最浴值問點(diǎn)題進(jìn)刷行解鋸決.如果劍條件畜等式連中含恢有兩妥個(gè)變?cè)琢康哪团c沖積的微形式,可以料直接主利用續(xù)均值井不等屑式對(duì)誰兩個(gè)才正數(shù)稠的和殺與積訂進(jìn)行按轉(zhuǎn)化,然后時(shí)通過辯解不炮等式殖進(jìn)行盒求解,或者餅通過錢構(gòu)造熄一元礙二次