第十一章圖與網絡模型

第十一章

圖與網絡模型1

圖與網絡的基本概念

最短路問題最小生成樹問題

網絡系統(tǒng)最大流問題

網絡系統(tǒng)的最小費用最大流問題本章內容重點2引言圖論應用非常廣泛：控制論，信息論，工程技術，交通運輸，經濟管理，電子計算機等領域；科學研究，市場和社會生活中的許多問題，可以用圖論的理論和方法來加以解決。例如，通信線路的架設，輸油管道的鋪設，鐵路或者公路交通網絡的合理布局。3

將復雜的工程系統(tǒng)和管理問題用圖的理論加以描述，可以解決許多工程項目和管理決策的優(yōu)化問題。圖論越來越受到工程技術人員和經營管理人員的重視。4圖論中圖是由點和邊構成，可以反映一些對象之間的關系。

第一節(jié)圖與網絡的基本概念例如：在一個人群中，對相互認識這個關系我們可以用圖來表示，圖11-1就是一個表示這種關系的圖。(v1)趙(v2)錢(v3)孫(v4)李(v5)周(v6)吳(v7)陳e2e1e3e4e5圖11-15當然圖論不僅僅是要描述對象之間關系，還要研究特定關系之間的內在規(guī)律

第一節(jié)圖與網絡的基本概念一般情況下圖中點的相對位置如何、點與點之間聯線的長短曲直，對于反映對象之間的關系并不是重要的如對趙等七人的相互認識關系我們也可以用圖11-2來表示，可見圖論中的圖與幾何圖、工程圖是不一樣的。(v1)趙(v2)錢孫(v3)李(v4)周(v5)吳(v6)陳(v7)e2e1e3e4e5圖11-26如果我們把上面例子中的“相互認識”關系改為“認識”的關系，那么只用兩點之間的聯線就很難刻畫他們之間的關系了，這時我們引入一個帶箭頭的聯線，稱為弧。

第一節(jié)圖與網絡的基本概念圖11-3就是一個反映這七人“認識”關系的圖。相互認識用兩條反向的弧表示。a1a2a3a4a14a7a8a9a6a5a10a12a11a13a15(v1)趙(v2)錢(v3)孫(v4)李(v5)周(v6)吳(v7)陳圖11-37

第一節(jié)圖與網絡的基本概念無向圖：由點和邊構成的圖，記作G=（V，E）有向圖：由點和弧構成的圖，記作D=（V，A）8圖的連通性：鏈：在無向圖G中由兩兩相鄰的點及其相關聯的邊構成的點邊序列;如:v0,e1,v1,e2,v2,e3,v3,…,vn-1,en,vn

;記作（v0,v1,v2,v3,…,vn-1,vn

）v0，vn分別為鏈的起點和終點；若v0=vn，則稱之為圈；連通圖：對無向圖G，若任何兩個不同的點之間，至少存在一條鏈，則G為連通圖。第一節(jié)圖與網絡的基本概念9圖的連通性：路：在有向圖D中由兩兩相鄰的點及其相關聯的弧構成的點弧序列;如:v0,a1,v1,a2,v2,a3,v3,…,vn-1,an,vn

;記作（v0,v1,v2,v3,…,vn-1,vn

）v0，vn分別為路的起點和終點；若v0=vn，則稱之為回路；第一節(jié)圖與網絡的基本概念10

第一節(jié)圖與網絡的基本概念賦權圖：對一個無向圖G的每一條邊(vi,vj)，相應地有一個數wij，則稱圖G為賦權圖，wij稱為邊(vi,vj)上的權。同樣的對一個有向圖D的每一條弧(vi,vj)，相應地有一個數wij，則稱圖D為賦權圖，wij稱為弧(vi,vj)上的權。網絡：

在賦權的有向圖D中指定一點，稱為發(fā)點，指定另一點稱為收點，其它點稱為中間點，并把D中的每一條弧的賦權數稱為弧的容量，D就稱為網絡。11

第二節(jié)最短路問題最短路問題：對一個賦權的有向圖D中的指定的兩個點Vs和Vt找到一條從Vs到Vt

的路，使得這條路上所有弧的權數的總和最小，這條路被稱之為從Vs到Vt的最短路。這條路上所有弧的權數的總和被稱為從Vs到Vt的距離。12

第二節(jié)最短路問題一、求解最短路的Dijkstra算法(雙標號法）步驟：1.給起點v1以標號(0,s)2.找出已標號的點的集合I，沒標號的點的集合J以及弧的集合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}3.如果上述弧的集合是空集，則計算結束。如果vt已標號（lt,vt），則vs到vt的最短距離為lt，而從vs到vt的最短路徑，則可以從vt反向追蹤到起點vs

而得到。如果vt

未標號，則可以斷言不存在從vs到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，則轉下一步。13

第二節(jié)最短路問題一、求解最短路的Dijkstra算法(雙標號法）步驟：4.對上述弧的集合中的每一條弧，計算sij=li+cij。在所有的sij中，找到其值為最小的弧。不妨設此弧為（Vc,Vd），則給此弧的終點以雙標號（scd,c）,返回步驟2。14

第二節(jié)最短路問題例1求下圖中v1到v6的最短路v1v2v3v4v5v63521275153（1）給起始點v1標號(0,s)，表示從v1到v1的距離為0.(0,s)（2）已標定點集合I={v1}，未標定點集合J={v2，v3,v4,v5,v6}，弧集合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}={(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),}，并有15第二雁節(jié)兩最哈短路市問題v1v2v3v4v5v63521275153(0送,s都)s12=l1+c12=0回+3映=3s13=l1+c13=0倆+2耳=2s14=l1+c14=0悄+5寒=3mi狡n{s12,s13,s14}=s13=2給v3標號(2蔑,1羞)，表欠示從v1到v3的距趨離為2.并在v1到v3的最暗短路繡徑中v3的前欄面一話個點律是v3。(2用,1骨)16第二扣節(jié)型最緣瑞短路休問題v1v2v3v4v5v63521275153(0娘,s豈)(2威,1己)（3）這西時I={v1,v3}，J={v2,v4,v5,v6}，弧集尼合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=立{曾(v1,v2),繩(v1,v4),侵(v3,v4)}并有s34=l3+c34=2糊+1蛋=3mi蓋n{s12,s14,s34}=s12=s34=限3給v2標號(3擇,1器),(3竄,1球)給v4標號(3存,3全)(3混,3挨)17第二怎節(jié)穩(wěn)最京短路圾問題v2（4）這傍時I={v1,v2,v3,v4}，J={v5,v6}，弧集狐合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=傾{塊(v2,v6),表(v4,v6)}并有s26=l2+c26=3冠+7搶=1葉0，s46=l4+c46=3求+5久=8，mi療n{s26,s46}=s46=媽8給v6標號(8海,4高)v1v3v4v5v63521275153(0,s)(2,1)(3,1)(3,3)(8似,4休)18第二門節(jié)竹最眾短路倍問題v2（5）這縱時I={v1,v2,v3,v4,v6}，J={v5}，弧集勵合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=空集計算前結束v1到v6的最剃短距讀離是8，最決短路獎徑為挑：v1→v3→v4→v6v1v3v4v5v63521275153(0,s)(2,1)(3,1)(3,3)(8惠,4汪)19第二雜節(jié)遭最熊短路葬問題例2電信窯公司料準備軍在甲膚、乙吼兩地刊沿路聞架設確一條援光纜捕線，櫻問如暑何架闖設使被其光閥纜線鉤路最撇短？補下圖差給出打了甲叨乙兩環(huán)地間停的交敢通圖劈燕。權瘡數表田示兩酬地間樸公路俯的長駛度（瓜單位愈：公貌里）沖。V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v620第二兔節(jié)賢最弊短路吉問題解：脫這是泊一個脈求無皮向圖們的最榨短路蠅的問魄題?？涂梢詳腊褵o逮向圖陶的每航一邊殘（vi,vj）都閥用方耀向相承反的藝兩條傳弧（vi,vj）和刊（vj,vi）代如替，震就化體為有聞向圖味，即脖可用Di零jk間st賭ra算法派來求淚解。翼也可凳直接伙在無鴨向圖吃中用Di螞jk秀st蒜ra算法絹來求棋解。瞎只要滾在算慰法中辟把從喜已標陶號的經點到亦未標爛號的體點的西弧的傍集合認改成張已標班號的蒼點到掩未標話號的泡點的嬌邊的冬集合窮即可資。V1（甲地）15176244431065v2V7（乙地）v3v4v5v621第二戚節(jié)喝最礦短路部問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6（1）水給起阻始點v1標號(0限,s)（2）I={v1}，J={v2,v3,v4,v5,v6,v7}邊集廉合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=卸{告[v1,v2],美[v1,v3]}，并喊有(0顧,s柳)22第二走節(jié)沉最腳短路貍問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)s12=l1+c12=0店+1腸5=默15s13=l1+c13=0衰+1爆0=宿10mi械n{s12,s13}=s13=1令0給v3標號(1田0,邁1)，(1受0,伶1)23第二鳥節(jié)祥最冊短路壺問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（3）這菠時I={v1,v3}，J={v2,v4,v5,v6,v7}邊集坑合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=歸{繭[v1,v2],既[v3,v2],哨[v3,v5]}并有s32=l3+c32=1寄0+呈3=至13雨,s35=l3+c35=1侄0+癥4=寸14伶,mi么n{s12,s32,s35}=s32=1兄3給v2標號(1視3,槐3),(1凈3,配3)24第二桐節(jié)久最養(yǎng)短路多問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（4）這練時I={v1,v2,v3}，J={v4,v5,v6,v7}邊集側合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=枯{五[v2,v7],托[v2,v4],異[v3,v5]}并有s24=l2+c24=1欺3+騾6=塑19叮,s27=l2+c27=1田3+向17隔=3宏0,mi薦n{s35,s24,s27}=s35=1洞4給v5標號(1籍4,狐3),(1雁3,攜3)(1庭4,省3)25第二尋節(jié)壺最酬短路幣問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（5）這忙時I={v1,v2,v3,v5}，J={v4,v6,v7}邊集端合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=辦{專[v2,v7],敬[v2,v4],[v5,v4],獵[v5,v6]}并有s54=l5+c54=1謠4+棒4=襲18蓬,s56=l5+c56=1只4+終2=孩16炊,mi烘n{s24,s27,s54,s56}=s56=1敘6給v6標號(1欠6,振5),(1限3,摧3)(1馳4,仔3)(1蜂6,帖5)26第二經節(jié)它最雁短路草問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（6）這北時I={v1,v2,v3,v5,v6}，J={v4,v7}邊集哭合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=禿{做[v2,v7],幻玉[v2,v4],[v5,v4],簽[v6,v7]}并有s67=l6+c67=1快6+羞6=訴22mi暢n{s24,s27,s54,s67}=s54=1喜8給v4標號(1聲8,轟5),(1征3,朵3)(1鞋4,中3)(1諸6,濃5)(1笑8,休5)27第二逆節(jié)逆最定短路芬問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（7）這白時I={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，J={v7}邊集狹合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=鼻{叔[v2,v7],伶[v4,v7],咽[v6,v7]}并有s47=l4+c47=1陶8+志5=脖23mi番n{s27,s47,s67}=s67=2記2給v7標號(2衣2,拜6),(1學3,兆3)(1諸4,款3)(1望6,遇5)(1攻8,它5)(2亦2,逃6)28第二秩節(jié)鞋最右短路銹問題V1（甲地）1517624431065v2V7（乙地）v3v4v5v6(0,s)(10,1)（8）這攤時I={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}，J=空集邊集者合{[vi,vj]|vi∈I,vj∈J}=空集計算捐結束.由v1到v7的最助短距性離是22奸.最短瞎路徑召是：v1→v3→v5→v6→v7(1奔3,恭3)(1練4,報3)(1劃6,械5)(1所8,返5)(2便2,晝6)2930§2最短督路問召題例3設備醒更新航問題棗。某究公司虎使用乖一臺獅設備順，在柴每年慘年初帆，公傾司就馳要決君定是杠購買芳新的畜設備擺還是沙繼續(xù)彼使用洽舊設誕備。將如果夜購置紫新設危備，立就要梢支付妙一定箭的購艱置費保，當殘然新拌設備久的維氏修費齒用就音低。發(fā)如果券繼續(xù)番使用傲舊設泡備，副可以灣省去綢購置益費，榴但維學修費或用就逃高了縣。請殘設計逃一個蹦五年姻之內出的更撒新設侮備的衣計劃坐，使篩得五諷年內戀購置拘費用濤和維先修費置用總沈的支闖付費跳用最擴小。已知堅：設頑備每視年年墳初的晶價格螺表設備草維修會費如燈下表年份12345年初價格1111121213使用年數0-11-22-33-44-5每年維修費用56811183031§2最短歇路問股題例3的解胡：將問錫題轉陶化為糕最短巴路問臘題，拜如下系圖：用vi表示衰“第i年年囑初購只進一險臺新奶設備械”,?。╲i,vj）表系示第i年年謊初購婚進的設備深一直繁使用秩到第j年年摩初。把所斃有弧蠅的權親數計雕算如譯下表竹：123456116223041592162230413172331417235186v1v2v3v4v5v63132§2最短輛路問鋼題(繼上攝頁)把權杯數賦辜到圖芳中，脫再用Di肝jk服st券ra算法仇求最煙短路判。v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323（1）朋給起接始點v1標號(0魯,s)(0或,s旋)（2）I={v1}，J={v2,v3,v4,v5,v6}弧集層合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=逼{勉(v1,v2),慕(v1,v3),歲(v1,v4),建(v1,v5),屑(v1,v6)}，并刻有3233§2最短悼路問執(zhí)題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0套,s炕)s12=l1+c12=0殿+1漆6=瞇16s13=l1+c13=0百+2公2=京22s14=l1+c14=0怠+3艷0=腳30s15=l1+c15=0陵+4洽1=怎41s16=l1+c16=0哪+5袖9=沙59mi億n{s12,s13,s14,s15,s16}=s12=1甜6給v2標號(1飯6,逝1)(1反6,婦1)3334§2最短跟路問朋題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0虧,s喬)(1閘6,雨1)（3）I={v1,v2}，J={v3,v4,v5,v6}弧集筋合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=蹄{雨(v1,v3),撒(v1,v4),障(v1,v5),罰(v1,v6)主,神(v2,v3),周(v2,v4),牢(v2,v5),搜(v2,v6)與}，并災有34s23=l2+c23=1秩6+柔16夏=3榴2s24=l2+c24=1磨6+收22彼=3字8s25=l2+c25=1掩6+雷30鍵=4番6s26=l2+c26=1乏6+旬41枝=5猜7mi探n{s13,s14,s15,s16,s23,s24,s25,s26}=s13=2己2給v3標號(2敢2,夢1)(2撇2,娘1)3435§2最短招路問拜題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0急,s律)(1恰6,請1)（4）I={v1,v2,v3}，J={v4,v5,v6}弧集弓合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=橡{卻(v1,v4),膚(v1,v5),營(v1,v6)飾,恩(v2,v4),從(v2,v5),糊(v2,v6),統(tǒng)(v3,v4),須(v3,v5),披(v3,v6)}并有35s34=l3+c34=2萌2+麻17采=3拳9s35=l3+c35=2屆2+壯23拿=4喝5s34=l3+c36=2料2+歲31伍=5諒3mi匯n{s14,s15,s16,s24,s25,s26,s34,s35,s36}=s14=3賺0給v4標號(3電0,謙1)(2款2,上1)(3布0,昨1)3536§2最短村路問待題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0風,s杜)(1撿6,尋1)（5）I={v1,v2,v3,v4}，J={v5,v6}弧集克合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=伙{頭(v1,v5),線(v1,v6),石(v2,v5),它(v2,v6),財(v3,v5),裁(v3,v6),蝴(v4,v5),偽(v4,v6)}并有36s45=l4+c45=3備0+惑17愉=4深7s46=l4+c46=3容0+菜23芒=5烘3mi邊n{s15,s16,s25,s26,s35,s36,s45,s46}=s15=4稈1給v5標號(4撕1,威1)(2蕉2,銷1)(3京0,桑1)(4介1,功1)3637§2最短憲路問疾題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0念,s色)(1系6,絨1)（6）I={v1,v2,v3,v4,v5}，J={v6}弧集忘合{(vi,vj)|vi∈I,vj∈J}=項{予(v1,v6),拔(v2,v6),和(v3,v6),(v4,v6)喪,(v5,v6)}并有37s56=l5+c56=4內1+臟18沙=5且9mi耗n{s16,s26,s36,s46,s56}=s36=s46=5蛇3給v6標號(5杜3,彈3)和(5送3,各4)(2姥2,周1)(3購0,娛1)(4外1,莖1)(5歪3,暈3)(5對3,紀4)3738§2最短陶路問裁題v1v2v3v4v5v616223041591622304131231718172323(0耍,s銹)(1喘6,茫1)最短須距離買為53橡.最短愿路徑選有兩啄條：v1→v3→v6和v1→v4→v6只.38也就刻是說檢，一僵個方鏟案為親第一劣年初農購置嫂新設繁備使令用到蹦第二戴年底挖，第涉三年凳初再腹購置夸新設候備使少用到蛾第五渣年底.第二欄個方董案為捕第一櫻年初云購置冷新設科備使彩用到坦第三洪年底衰，第改四年傲初再輔購置外新設識備使影用到哄第五均年底.這兩戲個方痕案都豎使得團總支狠付最甩小，凈均為53油.(2流2,言1)(3碼0,屑1)(4靠1,舍1)(5及3,韻3)(5咽3,紙4)3839§3最小桿生成經樹問捉題樹是謝圖論叛中的酸重要敏概念緊，所離謂樹花就是啄一個材無圈胞的連河通圖唉。圖11棗-1產1中，(a喚)就是陸一個抹樹，由而(b液)因為飄圖中判有圈刮所以棵就不旅是樹王，(c槐)因為末不連截通所聽以也退不是漂樹。圖11-11v1v2v3v4v5v6v7v8v9v1v2v3v5v8v7v6v4v1v2v3v4v5v7v6v8v9(a)(b)(c)3940§3最小竟生成性樹問介題給了漏一個宏無向愚圖G=耕(V務,E掠)，我摩們保只留G的所赴有點算，而門刪掉捕部分G的邊劣或者扎說保垃留一暫部分G的邊吉，所帖獲得盟的圖G，稱真之為G的生級成子叢圖。榆在圖11續(xù)-1橡2中，(b下)和(c歉)都是(a艙)的生局成子漲圖。如果乖圖G的一兼?zhèn)€生并成子跟圖還高是一浴個樹妄，則求稱這命個生壺成子悅圖為題生成楚樹，挽在圖11赴-1掉2中，(c券)就是(a盟)的生酬成樹餃。最小芳生成杰樹問塌題就端是指侵在一燈個賦活權的共連通搜的無翼向圖G中找象出一精個生賺成樹閃，并叉使得恒這個迷生成借樹的冬所有訊邊的姨權數蒸之和用為最閣小。圖11-12(a即)(b雞)(c戀)4041§3最小械生成節(jié)樹問陪題一、巧求解伐最小閥生成響樹的廢破圈睬算法算法籠的步鞋驟：1、在群給定檢的賦刪權的議連通簡圖上質任找荷一個桶圈。2、在遍所找自的圈豬中去急掉一濱個權封數最伙大的鈴邊（示如果殊有兩堵條或遇兩條熟以上蹈的邊岔都是暑權數翠最大戴的邊挎，則何任意窩去掉輩其中康一條僻）。3、如面果所罵余下純的圖碗已不也包含揉圈，管則計餃算結敏束，趁所余命下的漸圖即澤為最閃小生粉成樹聯，否弦則返版回第1步。4142§3最小榮生成漠樹問歇題例4用破弦圈算姜法求礎圖（a）中剛的一岸個最拴小生煌成樹v1331728541034v7v6v5v4v27v6v5v4v2v133725434v7v6v5v4v2v3v3v31v13372434v7v6v5v4v2v31v1337234v7v6v5v4v2v31v133723v7v6v5v4v2v31(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖11渣-1轟34243§3最小衫生成形樹問晴題例5、某綠大學晝準備繩對其勻所屬劣的7個學鑄院辦壓公室鋤計算來機聯突網，樓這個堪網絡搖的可籃能聯北通的共途徑可如下雙圖，投圖中v1,…兄,v7表示7個學蘋院辦真公室班，請爬設計絨一個挪網絡壩能聯如通7個學錯院辦斜公室銳，并戰(zhàn)使總砍的線仰路長名度為澇最短鍋。解：溫此問矩題實螺際上素是求怎圖11溪-1兼4的最軋小生叮成樹蘇，這器在例4中已宴經求鞋得，懼也即約按照暖圖11焦-1適3的(f評)設計視，可霧使此弄網絡矮的總粉的線收路長劇度為誼最短迫，為19百米效?！肮茑嵗磉\您籌學漂軟件臥”有禍專門滋的子淡程序前可以碧解決駐最小追生成毒樹問賽題。v1331728541034v7v6v5v4v2v3圖11-1443一壯引伏言在許戒多實宗際的芽網絡諷系統(tǒng)爬中都饅存在曾著流濫量和峰最大侮流問職題。例如昏鐵路貍運輸朱系統(tǒng)斯中的萌車輛風流，土城市隆給排嘴水系灑統(tǒng)的喇水流趕，金悅融機苦構的叼現金趨流問蕉題等邀等。而網賞絡系評統(tǒng)最枕大流驚問題詢是圖駝與網困絡流趕理論勿中十蟻分重找要的香最優(yōu)夜化問裹題，勞它對選于解拳決生撈產實陜際問嗽題起刑著十憤分重浴要的匹作用府?！?最大慮流問字題44二啟、基齡本概代念定義1設賦狠權有牧向圖D=(V,敘A),在V中指綱定一料個發(fā)點vs和一表個收點vt,其他牢的點跟叫做淘中間冤點。對于D中的豆每一自個弧(vi,vj)∈A,都有箏一個呼權cij叫做弧的狠容量。我們深把這宮樣的渣圖D叫做驢一個網絡潤系統(tǒng)，簡警稱網頁絡，則記做D=（V，A，C）?！?最大鼠流問蠻題45圖1vtv3v2v1v4vs1735108611453Cij圖1是一核個網字絡。覽弧旁娘邊的掌權就撥是對灘應的義容量滅（最沸大通粉過能唯力）。要求惠指定梢一個盼運輸灑方案米，使退得從vs到vt的貨臨運量貧最大醬，這汗是尋敲求網京絡系揀統(tǒng)的傭最大招流問欄題?！?最大乒流問坐題46網絡D上的遺流指定景義在便弧集稠合A上的器一個瘡函數f=毛{f(vi,vj)企}興=獲{fij};f(vi,vj)=fij叫做楚流{fij}在弧(vi,vj)上的半流量?！?最大感流問中題47v3v2v1v4vs（2浙）（3香）（2蘭）（5集）（3壩）（3伐）（6仁）（1子）（1遇）（2蜘）fij圖2表示克了網濱絡上利的一棕個流共（運霸輸方護案）沉弧上藥的流盞量fij就是廈運輸晌量例火如fs1=5指,fs2=3牽,f13=2等等翠。vt圖2§4最大偽流問饑題48網絡耗系統(tǒng)侵上流封的特柿點：(1怖)發(fā)點卡的總浮流出藍量和兵收點歪的總沃流入洲量必熔相等仗；(2狂)每一授個中匙間點陸的流鳴入量埋與流贈出量姻的代花數和蛋等于延零；(3攀)每一戴個弧闊上的強流量肆不能盤超過翻它的祝最大頭通過敲能力己（即閉容量?。！?最大宴流問到題49定義2網絡填上的響一個斥流f叫做可行報流，如陵果f滿足醋以下閃條件遭：（1）容量啞條件：對猴于每次一個牧弧(vi,vj)∈A,有0fijcij；（2）平衡扔條件：對于販發(fā)點vs，有∑fsj-∑fjs=v(f)對于少收點vt，有∑ftj-∑fjt=-v(f)對于走中間熱點，盆有∑fij-∑fji=0其中曉發(fā)點乳的總村流出文量（率或收版點的附總流母入量老）v(f)叫做戲這個可行布流的央流量。§4最大層流問棒題50任意醬一個兄網絡暗上的可行園流總權是存待在的。辛例如賊零流v(f)嬌=哥0,就是染滿足喉以上腸條件罰的可撒行流龜。網絡呀系統(tǒng)要中最大蔑流問乎題就是駝在給肌定的陳網絡拌上尋恩求一路個可芒行流f,其流位量v(f)達到家最大忙值?！?最大庸流問弊題51飽和挖弧與乓零流天弧設流f=紐奉{fij}是網吵絡D上的慰一個證可行裁流。規(guī)我們閣把D中fij=cij的弧叫滅做飽和準弧，fij<cij的弧叫昌做非飽續(xù)和弧；fij>箱0的弧紙為非零均流弧，fij=問0的弧蝴叫做零流彼弧?！?最大螺流問溝題52設μ是網鈔絡D中連草接發(fā)這點νs和收鹿點vt的一劫條鏈厭。定檔義鏈淡的方輔向是不從vs到vt，于是司鏈μ上的布弧被賣分為及兩類順：一句是弧屋的方悲向與收鏈的很方向撫相同授，叫森做前向匹弧，前巴向弧鏟的集足合記今做μ+。二是暈弧的坊方向欲與鏈躲的方豪向相愿反，通叫做后向挪弧，后亞向弧色的集暗合記麻做μ-?！?最大旦流問播題53在下關圖中保，(v4,v3)是飽移和弧塊，其網它弧喉均是貞非飽譽和弧蓄、非凡零流殼弧。如圖泛在鏈注（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中μ-={胳(v4,v3)}；μ+={直(vs,v1),證(v1,v2),析(v2,v3),寸(v4,vt)}。v3v2v1v4vs（1腎7,睡2）（3,疲3）（5胃,2昏）（1召0,半5）（8悔,3竿）（6煌,3刷）（1略1,汪6）（4役,1鄙）（5回,1蓬）（3襯,2躍）fijvt§4最大羽流問碰題54定義3：如窩果鏈μ滿足插以下荷條件姑：1．在綱弧(vi,vj)∈μ+上，工有0≤fij<cij,即μ+中的集每一珍條弧或是非引飽和產弧。2．在原弧(vi,vj)∈μ-上，袋有0<fij≤cij,即μ-中的烤每一旁條弧請是非撲零流艘弧。鍋稱鏈μ為關珍于可蓮行流f的一條增廣睡鏈?！?最大健流問瘡題55例如意在上饅圖中榴，鏈μ=（vs,v1,v2,v3,v4,vt）就是屆一條臉增廣出鏈。設圖D=(V，A，C)，點集S,TV,賞S∩T=ф中。嘩將起刻點在S，終點輕在T的所綱有弧預作成舌集合耐，記額做（S，T）?！?最大橫流問役題56定義4設一稍個網船絡D=(V，A，C)。如果丑點集V被剖缸分為景兩個遙非空架集合V1和V1，發(fā)點vs∈V1,收點vt∈V1,那么辰將弧杯集（V1,V1）叫做謊是分離vs和vt的截拘集。定義5設一垂個截扁集（V1,V1）.將截熊集（V1,V1）中所姨有的議弧的檔容量旅的和怕叫做截集濫的截黨量，記薪做s(V1,V1),亦即s(V1,V1)御=心∑cij。(vi格,v姑j)∈根(V1令,V帖1)§4最大柳流問源題57顯然鉆：一聰個網前絡D中，傾任何蓬一個鄙可行憶流f的流災量v(f)都小吸于或鉗等于拔這個森網絡甘中任價何一榴個截脅集(V1,V1)的截殼量。融并且估，如頁果網職絡上豆的一洗個可難行流f*和網緊絡中謙的一宇個截肢集（V1*,V1*），滿足其條件v*(f*)太=c(V1*,V1*),那么f*一定異是D上的達最大眼流，端而（V1*,V1*）一定湖是D的所闖有的單截集虧中截液量最鄉(xiāng)豐小的敬一個林（即倍最小領截集漆）。§4最大屬流問蝴題58定理網絡顏中的社一個政可行沃流f*是最寇大流露的充兄分必枕要條燦件是姥，不紀存在秒關于f*的增粱廣鏈盜。定理在一謀個網祖絡D中，鼠最大伐流的緩流量潔等于涌分離vs和vt的最典小截差集的撲截量軋?！?最大鄰流問席題59說明抵：若網股絡存禿在關線于可侍行流f的增踢廣鏈令按增緣瑞廣鏈累的定愉義，乞這里>橋0。取§4最大娃流問津題60定理券實際頃上提蒼供了陰一個艦尋求掌網絡趴系統(tǒng)壇最大炎流的居方法醋：如果蓬網絡D中有屑一個槳可行繁流f，只要守判斷鉤網絡遞是否道存在蹲關于醋可行城流f的增塌廣鏈專。但如果赴沒有氧增廣蜂鏈，舉那么f一定電是最彈大流既。如東有增銅廣鏈軟，那蘋么可年以按汪照前熔面說衡明，不斷恭改進裙和增鳴大可緣瑞行流f的流龍量，討最終闊可以渴得到語網絡斬中的販一個房誠最大狗流?！?最大悉流問旨題61三、匙標號口法用給革頂點繳標號吼的方蔑法來活定義V1*。在標切號過稈程中速，有肌標號殿的頂逼點是V1*中的直點，多沒有鈔標號嗚的點增不是V1*中的弟點。浮如果vt有了歉標號朝，則隊表示害存在參一條院關于f的增沫廣鏈膠。如捏果標忽號過廢程無毅法進咸行下根去，滾并且vt未被毛標號傳，則便表示苦不存言在關啄于f增廣滴鏈。射這樣谷，就漆得到姜了網襖絡中舌的一肯個最陶大流葛和最倘小截倍集?！?最大皇流問怕題621．癥標貸號過飯程在標囑號過今程中將，網煉絡中德的點勞或者若是標號謎點（分太為已揚檢查撞和未稱檢查能兩種椅）。料或者割是未標座號點。每盜個標澆號點鋤的標厭號包謝含兩擱部分觀：第巡壽一個極標號戒表示館這個確標號圍是從評那一循點得悄到的宮。以嚷便找龍出增嶺廣鏈甚。第洪二個嘴標號蚊是為黃了用過來確歡定增兔廣鏈導上的更調整電量θ。§4最大片流問筋題63標號胞過程浮開始數，先末給vs標號(0話,借+∞鳳)。這小時，vs是標汁號未糠檢查辦的點慶，其使他都現是未偽標號告點。幅一般宗地，網取一羽個標棚號未悔檢查綁點vi，對一便切未敘標號決點vj：1）如果右在弧(vi,vj)上，fij<cij,那么司給vj標號(vi,l(vj)防),其中l(wèi)(vj)典=古mi的n[l(vi),cij-fij]。這時斃，vj成為獵標號繭未檢陪查的撒點。§4最大夏流問顯題642）如朗果在贈弧(vj,vi)上，fij>員0,那么脅給vj標號(-vi,l(vj)盞)，其中l(wèi)(vj)六=記mi互n致[l(vi),fij]。這時辮，vj成為咸標號客未檢阿查點數。于是vi成為塊標號計已檢煉查的憶點。督重復替以上率步驟慨，如園果所剛有的變標號抽都已絮經檢秀查過項，而冬標號思過程江無法鴨進行偶下去劑，則海標號墻法結陣束。服這時競的可踏行流愿就是杏最大汁流。添但是光，如蒙果vt被標島上號養(yǎng)，表步示得唯到一根條增底廣鏈μ，轉入色下一脫步調悲整過脅程?！?最大槽流問仇題652.調整交過程首先納按照vt和其批他的吃點的陜第一平個標淹號，掠反向意追蹤偷，找史出增副廣鏈μ。例如并，令vt的第回一個煎標號聲是vk，則弧悔（vk,vt）在μ上。床再看vk的第濟一個侵標號難，若吉是vi，則弧(vi,vk)都在μ上。蜓依次容類推肢，直魂到vs為止湖。這推時，襪所找始出的飯弧就狀成為堅網絡D的一辦條增揮廣鏈μ。取調繁整量θ=l(vt),即vt的第孫二個酒標號卸，§4最大仰流問僻題66fij+θ，當(vi,vj)∈μ+令f西’ij=fij-θ，當(vi,vj)∈μ-其他骨不變再去渠掉所爬有的寺標號打，對予新的樹可行機流f桂’=廚{f為’ij},重新尚進行雪標號鉆過程曬，直積到找番到網舒絡D的最賽大流方為止偷。§4最大污流問功題67V4V1V2V3Vs（2,土1）（3,靜0）（4,著3）（3,按3）（5,倚1）（2,緣瑞2）（5,冠3）（1,東1）（1,拉1）(Cij,fij)Vt圖3§4最大然流問后題68例:求圖3的網練絡最候大流剝，弧址旁的垃權數只表示哥（cij,fij）。用標熟號法汽解解:個1乘.標號魚過程寸。（1）首侵先給vs標號甚（0，+∞）（2）看vs:在弧(vs,v2)上,fs2=cs3=3忘,不具沒備標池號條轟件。虛在弧(vs,v1)上,fs1=1榆<cs1=5拉,故給v1標號(vs,l(v1))壟,其中l(wèi)(v1)=揉mi荷n[l(vs),鄙(cs1-fs1)]糟=m昂in怕[+諷∞,杏5-眠1]繞=4退.§4最大符流問化題69（3）看v1:在弧頓（v1,v3）上,f13=c13=2裳,不具討備標口號條致件。歡在弧(v2,v1)上,f21=1量>0示,故給v2標號液（-v1,l(v2)）,其中l(wèi)(v2)=場mi魂n[l(v1),f21]=代mi碰n[撲4,愉1]校=1蝦.（4）看v2:在弧園（v2,v4）上，f24=3拘<c24=4淹,故給v4標號胞（v2,l(v4)）其中l(wèi)(v4)=銀mi致n[l(v2),慈(c24-f24)]倒=m醋in傳[1摧,1滾]=逢1.在弧望（v3,v2)上，f32=亮1撞>堤0,故給v3標號蛇（-v2，l(v3))逆,其中l(wèi)(v3)=甲mi姐n[l(v2),f32]=凍mi照n[串1,透1]攤=1?！?最大翼流問該題70（5）在v3,v4中任權意選淺一個方，比航如v3,在弧(v3,vt)上，f3t=泥1亡<c3t=歡2,故給vt標號(v3,l(vt))剩,其中l(wèi)(vt)=杏mi甲n[l(v3),啊(c3t-f3t)]滿=m難in畢[1角,1訴]=桑1.因為vt被標捕上號徹，根惜據標汽號法萬，轉血入調話整過取程。§4最大個流問飼題71V4V1V2V3Vs（2,鏡1）（3,健0）（4,爭3）（3,島3）（5,銳1）（2,頭2）（5,離3）（1,影1）（1,帳1）(Cij,fij)Vt(V2,1諒)(0，+∞世)(-漫V1,1片)(Vs,4草)(-你V2,1眾)圖4(V3,1劈燕)§4最大料流問擺題722.調整險過程從vt開始扮，按慨照標詠號點特的第旦一個示標號僵，用辟反向礎追蹤擦的方街法，幻玉找出繭一條禮從vs到vt的增虧廣鏈μ，如圖8-委22中雙尺箭線級所示陳。顯杜然,μ+={凳(vs,v1),辯(v3,vt)}繩,μ-={網(v2,v1),晶(v3,v2)}取θ=1，在μ上調電整f，得到fs1+θ=1咐+1騰=2在μ+上f3t+θ=1遼+1眠=2在μ+上f*=f21-θ=1-1=培0在μ-上f32-θ=1-1=驢0在μ-上其他仆的不孔變§4最大女流問傘題73調整主后的捏可行齒流f*，如圖4所示骨，再怎對這刪個可旦行流歸從新混進行炕標號消過程泛，尋旋找增執(zhí)廣鏈返。首先賞給vs標號杜（0，+∞），插看vs,給v1標號拆（vs,3）。陣看v1,在弧竭（v1,v3）上，f13=c13,?。╲2,v1）上，f21=0傻,均不扎符合脖條件奴。因傾此標壓號過躺程無柏法進隔行下鋪去，芒不存霉在從vS到vt的增允廣鏈擾，算夸法結佩束?！?最大療流問揮題74這時制，網終絡中咸的可珠行流f*即是牙最大真流，擾最大訴流的著流量v(f*)歸=fs1+fs2=靠5們.同時音，也畜找出D的最公小截會集（V1，V1），其中V1是標槳號的芝集合議，V1是未震標號木的集蝴合?！?最大隙流問彈題75V4V1V2V3Vs（2,毫2）（3,晌0）（4,彎3）（3,籮3）（5,許2）（2,造2）（5,梯3）（1,另0）Vt(部0,捐+∞槐)(Vs,3紋)圖8-駕23(Cij,fij)（1,鏟0）§4最大坦流問飲題76圖3的另腸一最誰大流V4V1V2V3Vs（2,味1）（3,帽0）（4,規(guī)3）（3,釘3）（5,港1）（2,全2）（5,您3）（1,畝1）（1,誘1）(Cij,fij)Vt(V2,1正)(0，+∞陜)(-嫁V1,1愚)(Vs,4科)(-美V2,1卻)(V4,2邪)§4最大覽流問詳題77V4V1V2V3Vs（2,順1）（3,會0）（4,江4）（3,蹈3）（5,駕2）（2,窮2）（5,賢4）（1,匪0）（1,瞧1）(Cij,fij)Vt(0，+∞克)(Vs,3鼠)§4最大汪流問部題7879§4最大聯流問仗題例6某石寺油公責司擁息有一放個管華道網捆絡，矮使用寄這個漿網絡伏可以盈把石選油從基采地抹運送菜到一亮些銷醒售點嘉，這茂個網顆絡的纖一部偏分如喂下圖雙所示饅。由鞠于管賭道的著直徑跌的變規(guī)化，糟它的齒各段掠管道臨（vi,vj）的渣流量cij（容西量）陪也是立不一盛樣的秧。cij的單呢位為綢萬加辛侖/小時列。如箭果使取用這斜個網石絡系岡統(tǒng)從床采地v1向銷子地v7運送投石油劈燕，問鍬每小餃時能跪運送餃多少遵加侖謊石油舉？v563522241263v1v2v7v4v3v6圖11-267980§4最大廚流問編題一、塑建模疾與上閱機我們煉可以吼為此崇例題所建立案線性瞞規(guī)劃卻數學承模型嗽：設弧(vi,vj)上流關量為fij，網蜓絡上所的總迫的流編量為F，則絨有：8081§4最大兄流問踢題在這他個線勸性規(guī)取劃模勺型中孕，其男約束才條件另中的爬前6個方財程表飼示了幸網絡古中的閘流量峰必須靜滿足轎守恒賊條件盈，發(fā)正點的溉流出戚量必慚須等踐于收康點的詢總流羨入量更；其乳余的丙點稱且之為掉中間軌點，課它的惠總流望入量懶必須捐等于濃總流芝出量榜。其險后面鋪幾個焰約束藏條件出表示勁對每氣一條互弧(vi,vj)的流剝量fij要滿指足流色量的字可行柏條件栽，應莊小于萄等于濱弧(vi,vj)的容突量cij，并蠢大于簽等于賴零，億即0≤fij≤cij。我芬們把扶滿足油守恒完條件總及流杜量可妥行條衡件的定一組北網絡糖流{fij}稱之艦為可覽行流倆，（訂即線朱性規(guī)湯劃的育可行殺解）掏，可寺行流伴中一伸組流出量最裕大（馬也即窩發(fā)出著點總滾流出榆量最殃大）瞇的稱腹之為狀最大齊流（蕩即線熄性規(guī)疲劃的謹最優(yōu)去解）柳。我們盯把例6的數盲據代些入以近上線擊性規(guī)反劃模杠型，沖用“孤管理牙運籌核學軟拆件”節(jié)，馬鋪上得采到以壓下的鏟結果立：f12=5，f14=5，f23=2，f25=3，f43=2，f46=1，f47=2，f35=2，f36=2，f57=5，f67=3。最禿優(yōu)值嫩（最闊大流至量）=1倆0。8182§4最大盒流問互題63522241263v1v2v7v4v3v6圖11-26v5二、落圖解煌法：解:墨1剝.標號齡過程筋。（1）首椒先給v1標號哄（0，+∞）（2）看v1:在弧(v1,v2)上,f12=0支,c12=6框,故給v2標號(v1,l(v2))支,其中l(wèi)(v2)=屬mi武n[l(v1),籮(c12-f12)]從=m齊in雅[+坊∞,書6]刑=6腐.(8283§4最大艱流問蹦題63522241263v1v2v7v4v3v6圖11-26v5（2）看v1:在弧(v1,v4)上,f14=0調,c14=6屠,故給v4標號(v1,l(v4))斃,其中l(wèi)(v4)=深mi言n[l(v1),滿(c14-f14)]刪=m托in褲[+陜∞,怪6]亮=6聞.這樣激，v1已成勝為標飯?zhí)柷液蜋z查膨完的柔點.8384§4最大襯流問絨題63522241263v1v2v7v4v3v6圖11-26v5（3）v2:在弧(v2,v5)上,f25=0幻玉,c25=3盈,故給v5標號(v2,l(v5))蘆,其中l(wèi)(v5)=吼mi住n[l(v2),慮(c25-f25)]病=m垂in迷[6看,3艱]=表3.在弧(v2,v3)上,f23=0故,c23=2獵,故給v3標號(v2,l(v3))腰,其中l(wèi)(v3)=形mi肯n[l(v2),良(c23-f23)]俗=m臨in伸[6掉,2恨]=巴2.這樣俱，v2已成促為標蓮號且棋檢查性完的立點.8485§4最大麥流問嚇題63522241263v1v2v7v4v3v6圖11-26v5（3）v5:在弧(v5,v7)上,f57=0吩,c57=5層,故給v7標號(v5,l(v7))超,其中l(wèi)(v7)=橡mi暗n[l(v2),今(c57-f57)]炒=m尚in財[3棋,5蓄]=刮3.v7,已標殃號，悠所以橋調得孩到一劉條增辭廣鏈v1,v2,v3,v7,調整面量為3.調整業(yè)后的街網絡俗為：這樣強，v5已成部為標顫號且秤檢查粒完的銅點.8586§4最大想流問曾題(6,3)(3,3)(5,3)22241263v1v2v7v4v3v6v5同樣橋得到雁增廣斥鏈v1,v4,v7,調整暫量為2.調整妙后網另絡為造：8687§4最大論流問撫題(6,3)(3,3)(5,3)22241(2,2)(6,2)3v1v2v7v4v3v6v5同樣匆得到予增廣貝鏈v1,v2,v3,v6,v7,調整癥量為2.調整損后網釀絡為炮：8788§4最大廟流問朗題(6,5)(3,3)(5,3)(2,2)2(2,2)(4,2)1(2,2)(6,2)3v1v2v7v4v3v6v5（1）給v1標號愧（0，+∞）（2）看v1:在弧(v1,v2)上,f12