函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)薩拉齊第二中學(xué)段銀東（第一課時(shí)）1.函數(shù)：數(shù)學(xué)模型

研究函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域

（2）增減性

（3）最值分布2.（1）導(dǎo)數(shù)的定義

（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義及物理意義歸納總結(jié)：

我們已經(jīng)知道,曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).

yxo11－1aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).由上我們可得以下的結(jié)論:如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)薩拉齊第二中學(xué)段銀東（第二課時(shí)）

（一）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:

練習(xí)1:求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間.答案:遞增區(qū)間是和;遞減區(qū)間是(-2,1).

幾何畫板演示3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)薩拉齊第二中學(xué)段銀東（第三課時(shí)）故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(1,3)內(nèi)是減函數(shù).10331yx而我們可以從右邊的函數(shù)的圖象看到上面的結(jié)論是正確的.例1

討論f(x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,當(dāng)或時(shí),f(x)是增函數(shù).令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,當(dāng)時(shí),f(x)是減函數(shù).解:定義域是(0,+∞)

由解得0<x<1,故f(x)的遞減區(qū)間是(0,1).說明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是定義域的子區(qū)間,故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域。

(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間；若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。

以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下,比較f(x1)<f(x2)與的大小,在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.四、綜合應(yīng)用:例1:確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函數(shù)的定義域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的遞增區(qū)間是:

遞減區(qū)間是:練習(xí)1:確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令注意到故f(x)的遞增區(qū)間是(0,100).同理由得x>100,故f(x)的遞減區(qū)間是(100,+∞).說明:(1)由于f(x)在x=0處連續(xù),所以遞增區(qū)間可以擴(kuò)大到[0,100)(或[0,100]).(2)雖然在x=100處導(dǎo)數(shù)為零,但在寫單調(diào)區(qū)間時(shí),

都可以把100包含在內(nèi).例2:設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間.解:若a>0,對一切實(shí)數(shù)恒成立,此時(shí)f(x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a=0,此時(shí)f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a<0,則,易知此時(shí)f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.故a<0,其單調(diào)區(qū)間是:單調(diào)遞增區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間:和五、小結(jié):1.在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域,解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外,還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).3.注意在某一區(qū)間內(nèi)>(<)0只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.6.利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律的一個(gè)應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.5.若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性.則當(dāng)函數(shù)f(x)時(shí)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么單調(diào)區(qū)間可以擴(kuò)大到閉區(qū)間[a,b]上.4.利用求導(dǎo)的方法可以證明不等式,首先要根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性的定義,證明要證的不等式.當(dāng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的定義域相同時(shí),我們也可用求導(dǎo)的方法求函數(shù)的值域.（4）.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

（3）.三角函數(shù)：（1）.常函數(shù)：(C)/

0,(c為常數(shù))；

（2）.冪函數(shù)：(xn)/

nxn1一復(fù)習(xí)回顧：1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）．函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)

(u±v)/＝u/±v/.

（3）．函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)（）

/=(v≠0)。（2）．函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)

(uv)/＝u/v+v/u.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈G且x1＜x2時(shí)函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在G上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在G上是減函數(shù)；若f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。G稱為單調(diào)區(qū)間G=(a,b)二、復(fù)習(xí)引入:(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)