2023學(xué)年完整公開(kāi)課版隨機(jī)模擬

一、知識(shí)回顧

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)大數(shù)定律闡述了隨著試驗(yàn)次教估計(jì)概率P(A).

用頻率估計(jì)概率,需要做大量的重復(fù)試驗(yàn).有沒(méi)有其他方法可以替代試驗(yàn)?zāi)?二、探究新知

隨機(jī)教與偽隨機(jī)數(shù)例如我們要產(chǎn)生0～9之間的隨機(jī)整數(shù),像彩票搖獎(jiǎng)那樣,把10個(gè)質(zhì)地和大小相同的號(hào)碼球放入搖獎(jiǎng)器中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，這個(gè)球上的號(hào)碼就稱(chēng)為隨機(jī)數(shù).計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長(zhǎng))，它們具有類(lèi)似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì).因此，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱(chēng)它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù).

我們知道，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件可以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).實(shí)際上，我們也可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了.二、探究新知

又如，一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,這些球除顏色不同外沒(méi)有其他差別.對(duì)于從袋中摸出一個(gè)球的試驗(yàn),我們可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生取值于集合{1，2，3，4，5}的隨機(jī)數(shù)，用1、2表示紅球，用3、4、5表示白球.這樣不斷產(chǎn)生1～5之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做從袋中摸球的試驗(yàn).

例如，對(duì)于拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣的試驗(yàn)，我們可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生取值于集合{0，1}的隨機(jī)數(shù)，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.這樣不斷產(chǎn)生0、1兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于不斷地做拋擲硬幣的試驗(yàn).

蒙特卡洛方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間興起和發(fā)展起來(lái)的，它的奠基人是馮?諾依曼.這種方法.在應(yīng)用物理、原子能、國(guó)體物理、化學(xué)、生物、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)城中都得到了廣泛的應(yīng)用.三、蒙特卡洛方法

下表是用電子表格軟件模擬上述摸球試驗(yàn)的結(jié)果，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，nA為摸到紅球的頻數(shù)，fn(A)為摸到紅球的頻率.n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)0.60.350.40.450.440.3850.4160.39

利用隨機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法為蒙特卡洛方法.fnn102050100150200250300例1從你所在班級(jí)任意選出6名同學(xué)，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計(jì)一種試驗(yàn)方法，模擬20次，估計(jì)事件A發(fā)生的概率.四、典型例題解：方法1

根據(jù)假設(shè)，每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒(méi)有影響，所以觀察6個(gè)人的出生月份可以看成可重復(fù)試驗(yàn).因此，可以構(gòu)建如下有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬：在袋子中裝入編號(hào)為1，2，…，12的12個(gè)球，這些球除編號(hào)外沒(méi)有什么差別.有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn).如果這6個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)相同，表示事件A發(fā)生了.重復(fù)以上模擬試驗(yàn)20次，就可以統(tǒng)計(jì)出事件A發(fā)生的頻率.方法2

利用電子表格軟件模擬試驗(yàn).在A1、B1、C1、D1、E1、F1單元格分別輸人“=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6個(gè)數(shù)，代表6個(gè)人的出生月份，完成一次模擬試驗(yàn).選中A1、B1、C1、D1、E1、F1單元格，將鼠標(biāo)指向右下角的黑點(diǎn)，按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)到第20行，相當(dāng)于做20次重復(fù)試驗(yàn).統(tǒng)計(jì)其中有相同數(shù)的頻率，得到事件A的概率的估計(jì)值.

下表是20次模擬試驗(yàn)的結(jié)果.事件A發(fā)生了14次，事件A的概率估計(jì)值為0.75，與事件A的概率(約0.78)相差不大.例2

在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中,運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率.解:四、典型例題設(shè)事件A=“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”，則P(B)=0.6.

用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1、2或3時(shí),表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局,所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù):

用隨機(jī)模擬的方法得到的是20次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率,它是概率的近似值事件A的概率的精確值為0.648.423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相當(dāng)于做了20次重復(fù)試驗(yàn).其中事件A發(fā)生了13次,對(duì)應(yīng)的數(shù)組分別是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用頻率估計(jì)事件A的概率的近似為=