復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)院：祁曉光2

在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域、信號(hào)分析和圖像處理、語音識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等方面以及其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．

應(yīng)用3學(xué)習(xí)方法與要求（一）要抓住重點(diǎn)，即應(yīng)牢固掌握基本概念、基本定理和主要公式，重在理解。（二）要有良好的學(xué)習(xí)方法，可運(yùn)用對(duì)比或比較的學(xué)習(xí)方法，以加深對(duì)各種定理和定律的理解。（三）注意各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，前后如何呼應(yīng)。（四）通過習(xí)題可以加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，所以應(yīng)按要求完成作業(yè)。作業(yè)要求：獨(dú)立、認(rèn)真、按時(shí)隔周周一交4第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§１復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算§２復(fù)數(shù)的幾何表示§３復(fù)數(shù)的乘冪與方根§４區(qū)域§５復(fù)變函數(shù)§６復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性5本節(jié)課涉及的知識(shí)點(diǎn)基本概念：復(fù)數(shù)的模、輻角（主值）、復(fù)平面、復(fù)球面、擴(kuò)充復(fù)平面基本運(yùn)算：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、將復(fù)數(shù)化為三角形式或指數(shù)形式6第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算7一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……82.復(fù)數(shù):9二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)相等:2.和、差:3.復(fù)數(shù)的積:4.復(fù)數(shù)的商:定義：滿足關(guān)系式

記為復(fù)數(shù)不能比較大小注：復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律105.共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例1解116.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.12第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考13一、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的表示法實(shí)軸虛軸復(fù)平面(1)復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示：(2)復(fù)數(shù)的向量表示：兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致14平行四邊形法則及三角形法則15﹡復(fù)數(shù)的模：﹡復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)16﹡復(fù)數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值17Oxy18直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示Pxyr19例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為20例2解(三角式)(指數(shù)式)21例3解Oxy22例4求下列方程所表示的曲線:解z另:23-22iz24NZxyS二、復(fù)球面規(guī)定：（1）復(fù)平面上有唯一的“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”與球面上的北極N對(duì)應(yīng)；（2）復(fù)數(shù)中有唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”對(duì)應(yīng)。25包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)來說,實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.8注:26三、小結(jié)與思考

本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算.復(fù)數(shù)的模、輻角、復(fù)數(shù)的各種表示法。重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算,理解復(fù)數(shù)的輻角，及復(fù)平面，復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面的概念，它們是本節(jié)課的重點(diǎn).注意：為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮大這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng),所謂無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個(gè)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無窮大或正、負(fù)無窮大混為一談．27思考題是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？28作業(yè):P311(2)、（4）；5;6；7；

8（3）（5）；11下次課講授內(nèi)容（請(qǐng)預(yù)習(xí)）§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域29LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia30歐拉1720年秋天入巴塞爾大學(xué)，由于異常勤奮和聰慧，受到約翰·伯努利的嘗識(shí)，給以特別的指導(dǎo)。歐拉同約翰的兩個(gè)兒子尼古拉·伯努力和丹尼爾·伯努利也結(jié)成了親密的朋友。1735年，歐拉解決一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算慧星軌道）。這個(gè)問題幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家，幾個(gè)月的努力才得以解決，歐拉卻以自已發(fā)明的方法，三日而成。但過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，這時(shí)才28歲。31歐拉的記憶和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述青年時(shí)代筆記的內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成。歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家。從19歲起和歐拉通信、討論等周問題的一般解法，歷史學(xué)家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來貢獻(xiàn)最大的四位數(shù)學(xué)家

32歐拉留給后人豐富的科學(xué)遺產(chǎn)中，分析、代數(shù)、數(shù)論占4o％，幾何占18％，物理和力學(xué)占28％，天文占11％，彈道學(xué)、航?？茖W(xué)、建筑等其他問題占3％。1748年在瑞士洛桑出版的他的《無窮小分析引論》，是劃時(shí)代的代表作，也是世界上第一本完整的有系統(tǒng)的分析學(xué)。33歐拉的驚人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的環(huán)境中工作，經(jīng)常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧較大的孩子在旁邊喧嘩。歐拉在28歲時(shí)，不幸一只眼睛失明，過了30年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他雙目失明至逝世的十七年間，還口述著作了幾本書和400篇