復變函數(shù)課件

復變函數(shù)數(shù)學學院：祁曉光2

在許多領域被廣泛地應用，如電力工程、通信和控制領域、信號分析和圖像處理、語音識別與合成、醫(yī)學成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預報等方面以及其他許多數(shù)學、物理和工程技術(shù)領域．

應用3學習方法與要求（一）要抓住重點，即應牢固掌握基本概念、基本定理和主要公式，重在理解。（二）要有良好的學習方法，可運用對比或比較的學習方法，以加深對各種定理和定律的理解。（三）注意各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，前后如何呼應。（四）通過習題可以加深對所學內(nèi)容的理解，所以應按要求完成作業(yè)。作業(yè)要求：獨立、認真、按時隔周周一交4第一章復數(shù)與復變函數(shù)§１復數(shù)及其代數(shù)運算§２復數(shù)的幾何表示§３復數(shù)的乘冪與方根§４區(qū)域§５復變函數(shù)§６復變函數(shù)的極限和連續(xù)性5本節(jié)課涉及的知識點基本概念：復數(shù)的模、輻角（主值）、復平面、復球面、擴充復平面基本運算：復數(shù)的代數(shù)運算、將復數(shù)化為三角形式或指數(shù)形式6第一節(jié)復數(shù)及其代數(shù)運算一、復數(shù)的概念二、復數(shù)的代數(shù)運算7一、復數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……82.復數(shù):9二、復數(shù)的關系與代數(shù)運算1.兩復數(shù)相等:2.和、差:3.復數(shù)的積:4.復數(shù)的商:定義：滿足關系式

記為復數(shù)不能比較大小注：復數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律105.共軛復數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).例1解116.共軛復數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.12第二節(jié)復數(shù)的幾何表示一、復平面二、復球面三、小結(jié)與思考13一、復平面1.復數(shù)的表示法實軸虛軸復平面(1)復數(shù)的點表示：(2)復數(shù)的向量表示：兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致14平行四邊形法則及三角形法則15﹡復數(shù)的模：﹡復數(shù)和差的模的性質(zhì)16﹡復數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值17Oxy18直角坐標與極坐標的關系復數(shù)可以表示成復數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復數(shù)可以表示成復數(shù)的指數(shù)表示式(3)復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示Pxyr19例1將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為20例2解(三角式)(指數(shù)式)21例3解Oxy22例4求下列方程所表示的曲線:解z另:23-22iz24NZxyS二、復球面規(guī)定：（1）復平面上有唯一的“無窮遠點”與球面上的北極N對應；（2）復數(shù)中有唯一的“無窮大”與復平面上的“無窮遠點”對應。25包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面,或簡稱復平面.對于復數(shù)來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.8注:26三、小結(jié)與思考

本課學習了復數(shù)的有關概念、性質(zhì)及其運算.復數(shù)的模、輻角、復數(shù)的各種表示法。重點掌握復數(shù)的運算,理解復數(shù)的輻角，及復平面，復球面和擴充復平面的概念，它們是本節(jié)課的重點.注意：為了用球面上的點來表示復數(shù)，引入了無窮遠點．無窮遠點與無窮大這個復數(shù)相對應,所謂無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個數(shù)，不要與實數(shù)中的無窮大或正、負無窮大混為一談．27思考題是否任意復數(shù)都有輻角?復數(shù)為什么不能比較大小？28作業(yè):P311(2)、（4）；5;6；7；

8（3）（5）；11下次課講授內(nèi)容（請預習）§3復數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域29LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia30歐拉1720年秋天入巴塞爾大學，由于異常勤奮和聰慧，受到約翰·伯努利的嘗識，給以特別的指導。歐拉同約翰的兩個兒子尼古拉·伯努力和丹尼爾·伯努利也結(jié)成了親密的朋友。1735年，歐拉解決一個天文學的難題（計算慧星軌道）。這個問題幾個著名數(shù)學家，幾個月的努力才得以解決，歐拉卻以自已發(fā)明的方法，三日而成。但過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，這時才28歲。31歐拉的記憶和心算能力是罕見的，他能夠復述青年時代筆記的內(nèi)容，高等數(shù)學一樣可以用心算去完成。歐拉的風格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學家。從19歲起和歐拉通信、討論等周問題的一般解法，歷史學家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來貢獻最大的四位數(shù)學家

32歐拉留給后人豐富的科學遺產(chǎn)中，分析、代數(shù)、數(shù)論占4o％，幾何占18％，物理和力學占28％，天文占11％，彈道學、航海科學、建筑等其他問題占3％。1748年在瑞士洛桑出版的他的《無窮小分析引論》，是劃時代的代表作，也是世界上第一本完整的有系統(tǒng)的分析學。33歐拉的驚人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的環(huán)境中工作，經(jīng)常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧較大的孩子在旁邊喧嘩。歐拉在28歲時，不幸一只眼睛失明，過了30年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他雙目失明至逝世的十七年間，還口述著作了幾本書和400篇