2023年北京市高考數(shù)學(xué)文科試卷

PAGE2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔文〕〔北京卷〕本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一局部〔選擇題共40分〕一、選擇題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】和往年一樣，依然是集合〔交集〕運(yùn)算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。利用一次、二次不等式的解法，并畫出數(shù)軸圖易得答案：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】考查的是復(fù)數(shù)除法的化簡運(yùn)算以及復(fù)平面，實(shí)部虛部的概念。因?yàn)?，?shí)部為1，虛部為3，對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為答案：A202xy3.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域202xy〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【解析】一道微綜合題，它涉及到的知識包括：線性規(guī)劃，圓的概念和面積公式，幾何概型。題目中表示的區(qū)域如右圖正方形所示，而動點(diǎn)D可以存在的位置為正方型面積減去四分之一圓的面積局部，因此所求概率是，答案：D4.執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的值為〔A〕2〔B〕4〔C〕8〔D〕16【解析】考查程序框圖，涉及到判斷循環(huán)結(jié)束的時(shí)刻，以及簡單整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算。當(dāng)k=3時(shí)，循環(huán)結(jié)束，此時(shí)輸出的S為8，答案：C5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【解析】外表上考查的是零點(diǎn)問題，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)圖象問題〔單調(diào)性〕的變種，該題所涉及到的圖像為冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混合運(yùn)算后的零點(diǎn)，即令。根據(jù)此題可得，在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像，可得交點(diǎn)只有一個(gè)，所以零點(diǎn)只有一個(gè)，答案：B。6.為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔A〕〔B〕〔C〕假設(shè)，那么〔D〕假設(shè)，那么【解析】考查的是等比數(shù)列的根本概念，其中還涉及到了均值不等式的知識，如果對于等比數(shù)列根本概念〔公比的符號問題〕理解不清，也容易錯選。當(dāng)然此題最好選擇排除法來做，當(dāng)時(shí)，比方-1，2，-4……，所以A選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，比方1，-2，4，-8……，與D選項(xiàng)矛盾，而B選項(xiàng)因此描述均值定理的B選項(xiàng)為正確答案，答案：B。7.某三棱錐的三視圖如下圖，該三棱錐的外表積是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕455【解析】考查的是三棱錐的三視圖問題，只不過與往年不同的是這題所求不是棱錐或棱柱的體積而是外表積，因此對于學(xué)生計(jì)算根本功以及空間想象的雙能力都存在著綜合性的考查。從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐〔也已說明〕，如右圖所示。圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長。此題所求外表積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和。利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：10，10，10，。因此該幾何體外表積，答案：B4558.某棵果樹前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如下圖，從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，的值為〔A〕5〔B〕7〔C〕9〔D〕11【解析】知識點(diǎn)考查很靈巧，要根據(jù)圖像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的，因此對數(shù)學(xué)的理解很大程度上限制了考生的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然此題假設(shè)利用數(shù)學(xué)估計(jì)過于復(fù)雜，最好從感覺出發(fā)。由于目的是使平均產(chǎn)量最高，就需要隨著n增大，變化超過平均值的參加，隨著n增大，變化缺乏平均值的舍去。由圖可知6，7，8，9這幾年增長最快，超過平均值，所以應(yīng)該參加，因此，答案：C第二局部〔非選擇題共110分〕二、填空題共6小題，每題5分，共30分。9.直線被圓截得的弦長為__________。4yxo【解析】涉及到的是直線和圓的知識，由于北京的考卷多年沒有涉及直線和圓，對于考生來說，可能有些陌生，直線和圓相交求弦長，利用直角三角形解題，也并非難題。將題目所給的直線和圓圖形化得到如右圖所示的情況，半弦長，圓心到直線的距離d，以及圓半徑r構(gòu)成了一個(gè)直角三角形。但是因?yàn)榇祟}特殊，直線y=x與圓心所在y軸成夾角，因此，所以弦長。答案：4yxo10.為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，假設(shè)，，那么____________，_________________?！窘馕觥靠疾榈氖堑炔顢?shù)列的根本計(jì)算，技術(shù)難度并不高，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的常規(guī)考法。因?yàn)椋宜?，所以答案?1.在中，假設(shè)，，，那么的大小為_________?！窘馕觥靠疾榈氖墙馊切?，所用方法并不唯一，對于正弦定理和余弦定理此二者會其一都可以得到最后的答案。在中，利用正弦定理，可得，所以。再利用三角形內(nèi)角和，可得。答案：12.函數(shù)，假設(shè)，那么_____________?！窘馕觥繉?shù)函數(shù)題，要求學(xué)生會利用對數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡，同時(shí)也要求學(xué)生對于根底的對數(shù)運(yùn)算敏感；答案：213.正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，那么的值為_______；的最大值為_______。【解析】平面向量問題，考查學(xué)生對于平面向量點(diǎn)乘知識的理解，其中包含動點(diǎn)問題，考查學(xué)生對于最值時(shí)刻的圖形感官；答案：1；114.，。假設(shè)，或，那么的取值范圍是_________?！窘馕觥靠疾閷W(xué)生函數(shù)的綜合能力，涉及到二次函數(shù)的圖像開口，根大小，涉及到指數(shù)型函數(shù)的平移的單調(diào)性，還涉及到簡易邏輯中的“或〞連接，形式上是小型題，考確實(shí)是大思路，分類討論是這個(gè)題的重點(diǎn)。答案：〔-4，0〕三、解答題共6小題，共80分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.〔本小題共13分〕函數(shù)?！并瘛城蟮亩x域及最小正周期；〔Ⅱ〕求的單調(diào)遞減區(qū)間。16.〔本小題共14分〕如圖1，在中，，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2。〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求證：；〔Ⅲ〕線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說明理由。17.〔本小題共13分〕近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下〔單位：噸〕：“廚余垃圾〞箱“可回收物〞箱“其他垃圾〞箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060〔Ⅰ〕試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；〔Ⅱ〕試估計(jì)生活垃圾投放錯誤的概率；〔Ⅲ〕假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分別為，其中，。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí)，寫出的值〔結(jié)論不要求證明〕，并求此時(shí)的值。〔注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)〕18.〔本小題共13分〕函數(shù)，?！并瘛臣僭O(shè)曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求的值；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。19.(本小題共14分)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心