高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：直接證明與間接證明人教A·數(shù)學(xué)理浙江專用

第六節(jié)

直接證明與間接證明三年9考高考指數(shù):★★★1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；2.了解間接證明的一種基本方法——反證法.1.本考點在歷年高考中均有體現(xiàn)，主要以直接證明中的綜合法為主；2.分析法的思想應(yīng)用廣泛，反證法僅作為客觀題的判斷方法，一般不會單獨命題；3.題型以解答題為主，主要在與其他知識點交匯處命題.1.直接證明（1）綜合法①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出

的證明方法.②框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論).③文字表示為：“因為……所以……”或“由……得……”.④思維過程：由因?qū)Ч?所要證明的結(jié)論成立(2)分析法①定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為

（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法.②框圖表示：(Q表示要證明的結(jié)論）.③文字表示為：“要證……”，“只需證……”，“即證……”④思維過程：執(zhí)果索因.判定一個明顯成立的條件【即時應(yīng)用】(1)思考下列思維特點：①從“已知”逐步推向“未知”，即逐步尋找已知成立的必要條件.②從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”即逐步尋找結(jié)論成立的充分條件.滿足綜合法的是

，滿足分析法的是

（請?zhí)顚懴鄳?yīng)序號）.(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,則s,t的大小關(guān)系是

.(3)在正項等比數(shù)列{an}和正項等差數(shù)列{bn}中，a1=b1,a3=b3,a1≠a3，則a5與b5的大小關(guān)系為

.【解析】(1)由分析法、綜合法的定義可判斷.①滿足綜合法；②滿足分析法.（2）由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,故s≥t.(3)由a1≠a3,得b1≠b3,所以b1≠b5,且b1>0,b5>0,又即又a1=b1,所以a5>b5.答案：（1）①

②

(2)s≥t

(3)a5>b52.間接證明（1）反證法的定義假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明

，從而證明

的證明方法.(2)利用反證法證題的步驟①假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到推出矛盾為止；③由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.簡言之，否定→歸謬→斷言.假設(shè)錯誤原命題成立【即時應(yīng)用】(1)判斷下列說法是否正確.（請在括號內(nèi)打“√”或“×”)①綜合法是由因?qū)Ч?/p>

()②綜合法是順推法

()③分析法是執(zhí)果索因法

()④分析法是逆推法

()⑤反證法是間接證法

()(2)用反證法證明“如果a>b,那么

”，其中假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是_______.(3)用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應(yīng)假設(shè)

.【解析】(1)由分析法、綜合法、反證法的定義可知①②③④⑤都正確.(2)否定結(jié)論，

的否定是(3)因為“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，所以“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”的否定是“三角形三個內(nèi)角一個也沒有不大于60°”，即“三角形三個內(nèi)角都大于60°”.答案：（1）①√

②√

③√

④√

⑤√(2)

(3)三角形三個內(nèi)角都大于60°

綜合法的應(yīng)用【方法點睛】利用綜合法證題的基本思路【例1】已知x+y+z=1，求證：x2+y2+z2≥【解題指南】由基本不等式x2+y2≥2xy,得到關(guān)于x、y、z的三個不等式，將三式相加整理變形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1從而可證.【規(guī)范解答】∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3（x2+y2+z2）≥(x+y+z)2,∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,∴3（x2+y2+z2）≥1,即x2+y2+z2≥【反思·感悟】利用綜合法證明不等式是不等式證明的常用方法之一，即充分利用已知條件與已知的基本不等式，經(jīng)過推理論證推導(dǎo)出正確結(jié)論，是順推法或由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就需保證前提正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確.【變式訓(xùn)練】設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證：

≥8.【證明】方法一：∵a>0,b>0,a+b=1,∴又∵方法二：∵a+b=1,∴≥

故

等號成立的條件是a=b=分析別法的煉應(yīng)用【方希法點背睛】分析摘法的你特點駱與思挖路分析賽法的催特點夢和思賽路是陜“執(zhí)溫果索拴因”昨，即梁從“微未知殘”看盛“需步知”，逐步薯靠攏慢“已毀知”剪或本菜身已考經(jīng)成害立的完定理簡、性撈質(zhì)或爐已經(jīng)足證明污成立亂的結(jié)辜論等.通墳常采拜用“硬欲證杏——棚只需擔(dān)證—炕—已略知”的格校式，在表減達(dá)中舉要注轉(zhuǎn)意敘朵述形惡式的汁規(guī)范.【例2】夫(2磁01螞2·南通綢模擬灘）已和知m>壯0,鎮(zhèn)a,勺b∈按R,求證雁：【解題嘗指南】利用壯分析榴法，憲去分襪母后誤移項會作差橡，最銜后變偷形可榜證.【規(guī)范中解答】∵m餓>0尼,∴采1+老m>巡壽0.所以寺要證飛原不屑等式肢成立權(quán)，只需款證明(a船+m荒b)2≤(哈1+既m)川(a2+m轉(zhuǎn)b2),即證m(朝a2-2刊ab技+b2)≥酷0,即證(a各-b織)2≥0吐,而(a償-b赤)2≥0顯然終成立閘，故原圓不等去式得果證.【反思·感悟】1.逆向集思考斃是用嫁分析遙法證門題的轎主要士思想陵，通愁過反多推，貴逐步壩尋找喊使結(jié)鳳論成難立的岔充分品條件.正確絨把握判轉(zhuǎn)化哥方向讓是使后問題旋順利姨獲解算的關(guān)路鍵．2.在求沖解實液際問隊題時瘦，對逢于較看復(fù)雜扛的問達(dá)題，習(xí)可以御采用訪兩頭寬湊的繞辦法權(quán)，即銷通過程分析焦法找殖出某領(lǐng)個與葉結(jié)論辱等價(或充災(zāi)分)的中霞間結(jié)寺論，臭然后穴通過斗綜合稀法由叢條件密證明船這個欄中間悠結(jié)論切，使鑒原命餓題得恐證．【變式昂訓(xùn)練】已知a,悔b∈遲(0艙,+亭∞)偽,求證水：【證明】因為a,狐b∈認(rèn)(0托,+育∞)，要蛋證原熟不等差式成喘立,只需定證即證(a3+b3)2<(扔a2+b2)3,即證a6+2四a3b3+b6<a6+3索a4b2+3調(diào)a2b4+b6.只需娘證2a3b3<3窯a4b2+3惕a2b4.因為a,霸b∈往(0蓋,+祖∞)波,所以質(zhì)即證2a顧b<挽3(寫a2+b2),而a2+b2≥2傷ab位,3抵(a2+b2)≥閱6a怒b>緣瑞2a臣b成立,以上徒步驟泉步步全可逆,所以綜合微法、寨分析售法的梢綜合吐應(yīng)用【方劃法點觀睛】綜合識法與住分析霸法的浴應(yīng)用激技巧綜合廈法與熔分析餓法各年有特候點，花在解泉決實遙際問彩題時競，常用把分絲式析法元與綜毀合法秒綜合肝起來井運用皂，通嶄常用柴分析妹法分抗析，零綜合椅法書腔寫.峰這一堪點在被立體山幾何蒼中應(yīng)摧用最晨為明遙顯，悄同時判，在君三角賓、解司析幾彼何中參也大咱多是堂利用柜分析傭法分傭析，伸用綜剖合法幻玉證明予的辦總法來創(chuàng)證明益相關(guān)味問題濾.提醒淺：綜合艘法是晴從已權(quán)知條姿件出環(huán)發(fā)，背逐步灘推向風(fēng)未知旦，每涉步尋活找的授是必郵要條粘件；壘分析喊法是追從待庫求結(jié)馳論出錢發(fā)，互逐步堤靠攏鈔已知夫，每紋步尋壩找的肅是充學(xué)分條變件.【例3】如圖匪，四情邊形AB藝CD是正魂方形看，PB倆⊥平面AB匠CD，MA盟⊥平面AB趨CD，PB擊=A仆B=棉2M洲A.求證鮮：（1）平晨面AM沖D∥平面BP坑C；（2）平順面PM瘋D⊥平面PB捎D.【解題損指南】(1謙)欲證撫平面AM德D∥平面BP繡C，只構(gòu)需證AM貨∥P政B，AD之∥B扣C從而衫得AM耳∥平面PB斬C,榴AD贏∥平面PB秒C，從慰而得企證.（2）欲怪證平塑面PM什D⊥平面PB閣D，只黎需連虛接AC交BD于E，取PD中點途為F，連煤接MF、EF，即盒證AE菌⊥平面PB逆D,而AE與MF又平薪行從評而得差證.【規(guī)蔥范解循答】(1斤)因佳為P端B⊥訪平面染AB莖CD獻(xiàn)，M斯A⊥劣平面勤AB蠟CD啄，所以袖PB猶∥M促A.因為波PB平面晃BP并C，弟MA平面裙PB鞭C，所以望MA壓∥平代面B諒PC端.同理詢，D賭A∥宰平面更BP刑C.又M建A平面績AM棍D，捧AD平面件AM匆D,MA弟∩A陜D=讀A，所以重平面蚊AM襪D∥男平面篩BP勾C.（2邪）連徹接A有C，短設(shè)A冶C∩童BD瞎=E隆,取袖PD婚中點駕F，候連接輝EF作，M頃F.因為志四邊渣形A溉BC工D為咳正方告形，所以潑E為罰BD督的中刺點.因為蠻F為顛PD滿中點淺，所瓶以E失FPB較，又AM楊P替B,所以惑四邊困形A紋EF木M為枝平行李四邊載形,所以槽MF攪∥A日E.因為程PB腿⊥平敗面A匆BC朗D，辮所以掏PB之⊥A內(nèi)E,又因箭為A禍BC蚊D是唉正方姥形，辭所以園AE私⊥B圖D，所以荒AE獄⊥平琴面P歪BD陸，又因蟲為M叢F∥看AE陸，所群以M傭F⊥萬平面吊PB氣D，又因負(fù)為M聯(lián)F平面君PM火D，具所以尖平面宮PM愚D(zhuǎn)⊥姥平面睬PB亭D.【互薄動探惑究】在本紙例中單條件稻不變萌的情魚況下譯，如浸何證區(qū)明平都面P邀DC喘⊥平讓面M妹AD英？【證乏明】∵M(jìn)鼻A⊥狂平面祖AB柄CD伴，∴攜MA打⊥D強C，又∵爆AB播CD孤是正擁方形揀，∴宋DC礦⊥A步D，符又∵錯AD芽∩M見A=臟A，∴D嫌C⊥離平面姜MA助D，獵又∵償DC平面右PD捉C，∴平傳面P彼DC懷⊥平崖面M溉AD遺.【反思·感悟】利用猜分析釀法分回析結(jié)沿論成演立的被充分靠條件愧，探躬究面拖面平紋行需頂具備約的條趁件，安面面虛垂直千所要恭具備朋的條怠件，蛋找到筑條件尾后，孝再用興綜合預(yù)法書萍寫證緩明過胞程.這是始此類促問題滲的常咱規(guī)解秒法，勇需要號靈活昆掌握.【變式滋備選】△A徐BC的三餓個內(nèi)寸角A，B，C成等暢差數(shù)摧列，沸三條稍邊為a、b、c,求證烘：(a射+b博)-1+(嫁b+照c)-1=3義(a李+b葛+c值)-1.【證明】∵△汁AB蟲C三個簽內(nèi)角A，B，C成等盛差數(shù)降列，∴B=墨60桿°,由余吐弦定趣理，有b2=c2+a2-2灰ca逝co攝s6蛋0°正,得c2+a2=a碧c+彈b2，兩邊復(fù)同加數(shù)上ab嬌+b破c，得c(蘭b+嬸c)箏+a氧(a扮+b瞧)=殺(a假+b膊)(澤b+硬c)考,兩邊幫同除鳥以(a斤+b聲)(狠b+患c)，得∴即∴反證葛法的雪應(yīng)用【方藍(lán)法點身睛】1.錦反證扒法的哄解題謹(jǐn)原則反證劍法的柳原理摸是“隊正難洽則反廁”，昂即如墻果正聾面證羊明有肺困難批時，矛或者無直接啞證明扮需要助分多費種情兔況而孩反面擊只有尼一種進(jìn)情況晴時，桌可以倉考慮凈用反呈證法粉.2.反證觀法中袍常見毒詞語術(shù)的否介定形流式原詞否定形式至多蒸有0個，即一奪個也忽沒有至多承有n個（號即x≤凱n，n∈陳N*)至少旁有n+徐1個（吉即x>俘n?x≥丹n+序1,蛋n∈票N*清)至多凳有n-酒1個（即x<代n?岸x≤奇n-佛1,雷n∈模N*反)n個不汁都是（即肌至少么有1個不劫是）特例至多挺有1個至少提有2個至少筑有1個至少煉有n個（頭即x≥砍n,仔n∈乞N*)n個都爐是【例姿4】經(jīng)若a鑄,b廈,c毛均為絮實數(shù)愉，且害a=謹(jǐn)x2-2吵y+b=殼y2-2績z+c=暑z2-2然x+求證句：a屯,b究,c傭中至棉少有技一個賽大于剩0.【解裁題指志南】否定鋒結(jié)論狗，至掏少有修一個礎(chǔ)大于斑0的他否定各是都霧不大爬于0慚，只璃需證助a+羞b+鄰c≤就0不沈成立濤即可亡，而泊后下巴結(jié)論五.【規(guī)范鵲解答】假設(shè)a,樸b,臘c都不鑼大于0，即a≤離0,妥b≤燙0,時c≤伙0,則a+統(tǒng)b+賭c≤部0,而a+她b+當(dāng)c==(嘩x-繡1)2+(邁y-鉗1)2+(全z-怠1)2+π翁-3終.∵π須-3何>0貫,且(x繞-1尋)2+(銳y-繩1)2+(粒z-承1)2≥0哈,∴a注+b拖+c盼>0吐,這與a+括b+益c≤渾0矛盾.因此a,勵b,察c中至涉少有曲一個嫩大于0.【反思·感悟】反證乳法的務(wù)關(guān)鍵雹是在桶正確缺的推密理下妹得出麗矛盾睡，矛隔盾可榮以是牙：①洗與已蜓知條貸件矛鞠盾，?、谂c聽假設(shè)巷矛盾輩，③柳與定逮義、譽公理粘、定擱理矛常盾，技④與志事實仍矛盾越等方抬面，識反證界法常瓶常是移解決腸某些殲“疑孩難”幕問題臥的有素力工監(jiān)具，紗是數(shù)肢學(xué)證遣明中誦的一卻件有雄力武稀器.【變式膨訓(xùn)練】在△AB村C中，修∠A，∠B，∠C的對危邊分釋別為a,群b,剖c，若a,鴉b,秀c三邊桌的倒株數(shù)成腔等差卷數(shù)列栗，求證饅：∠B<浮90寄°.【證嚷明】假設(shè)歸∠B晶<9賽0°啟不成椒立，坦即∠伏B≥紛90蓬°,己從而封∠B買是△趨AB否C的盆最大所角，狡∴b紐奉是△怒AB引C的尺最大川邊，隱即b彎>a伶,b頑>c吩.∴相加盒得這與矛盾棋.故∠窩B≥刪90闖°不袍成立嶄.因此填∠B頸<9蠻0°關(guān).【變式躬備選】已知a≥驢-1息,求證苦三個憶方程臣：x2+4勝ax何-4雖a+悶3=勤0,限x2+(盆a-燭1)游x+嘉a2=0若,x2+2呀ax儲-2蜓a=煉0中至化少有銜一個腳方程切有實芳數(shù)根.【證撒明】假設(shè)爐三個炎方程定都沒外有實答數(shù)根幟，則∴<a隱<-劑1.這與海已知亮a≥瓜-1各矛盾般，所巖以假工設(shè)不橡成立滾，故披原結(jié)愈論成續(xù)立.【滿分批指導(dǎo)】不等王式證轉(zhuǎn)明題盆的規(guī)且范解歇答【典繩例】狀（1惜4分紐奉）(纏20廢12威·?？菽：罃M）君已知霜a,開b,映c,豪d∈合R,碌用分汽析法嗽證明佳ac心+b今d≤并指恒明等譜號何午時成吐立.【解搭題指媽南】由于質(zhì)a,堅b,時c,艷d∈兵R,陽故a副c+糊bd粱≤0叫或a磨c+勵bd踩>0賓,要倍分兩項種情用況分漁析，美可證蕩.【規(guī)稀范解杏答】（1策)當(dāng)牌ac扎+b年d≤稍0時菜，≥0解,..庫.2分故不黑等式搭顯然脫成立占，此暗時a泛=b贏=c蝕=d塌=0納時等抬號成愿立...閣..霞..士..5分（2駁）當(dāng)既ac音+b死d>援0時酒，要呢證原翁不等蒼式成反立，課只需芝證(姑ac搬+b范d)2≤(點a2+b2)(告c2+d2),..遙..求..切..仍..甜..濾..幼..釀..泊..羞..餓..值..椒.7分即證贈a2c2+2眠ab混cd星+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2...裹..窗..烏..災(zāi)..耽..紡.10際分即證漲2a痕bc液d≤歸a2d2+b2c2,即燒0≤纖(b吸c-巴ad籌)2...撕..言..微..例..動..徑..12污分∵a多,b褲,c添,d藏∈R口,∴上膊式恒館成立翼，故武不等偷式成根立，公此時送等號蚊成立豎的條擾件為透bc則=a泰d.∴由剃(1專)(刻2)墨知原鈴不等枕式成慮立...秀..盛..軟..會..汪..敞..伐..晃..鄙..紐奉..14渾分【閱卷竟人點盤撥】通過迫閱卷敘數(shù)據(jù)蹲分析甩與總梁結(jié)，另我們伶可以類得到持以下忌失分異警示啦和備慣考建頭議：失分警示在解答本題時有兩點容易造成失分：（1）不去分類，而是直接平方作差判斷.（2）在平方作差變形時運算失誤或?qū)Φ忍柍闪⒌臈l件說明不到位而失分.備考建議解決此類不等式證明問題，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注.（1）對常用三種不等式的證明方法：綜合法、分析法、反證法的解題過程與推理形式理解不到位.（2）用反證法證題時反設(shè)錯誤.（3）已知條件較多，表達(dá)不清，邏輯混亂.另外要熟練掌握求差比較及簡單的放縮證明等方法.1.騎(2釣01叮2·安湖州拒模擬沙）用咱反證娃法證葬明“茄如果零a>論b,析則a3>b3”，聾假設(shè)枝的內(nèi)黨容是找(邪)（A蒜）a3=b3（B繳）a3<b3（C咸）a3=b3且a3<b3（D檢）a3=b3或a3<b3【解講析】選D漏.反羞證法饑應(yīng)否椒定結(jié)中論即尼a3≤b3,即智為a3=b3或a3<b3.2.初(2立01啊2·嘉興偏模擬銹）在偶證明炒命題霧“對再于任怪意角θ,c