二次函數(shù)應(yīng)用題分類解析(教師版)

二次函數(shù)用題分類解二次函數(shù)是初中學(xué)段的難點起覺的比較的吃力應(yīng)題進行分類：第類利待系法對于題目明確給出兩個變量間是次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，并進行簡單的應(yīng)用。解的關(guān)鍵是熟練運用待定系數(shù)法，準確求出函數(shù)關(guān)系式。例．某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品，它的成本是2元，是3，年銷量為100萬件，為了獲得更好的效益，公司備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是（元）時，產(chǎn)品的年售量將是原銷售量的y倍，且y是的次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x十萬元）0

1

2

…y

1

1.5

1.8

…（1）求y與x的關(guān)系式；（2）如果把利潤看作是銷售總減去成本費和廣告費，試寫出年利潤（萬元）與廣告費x十萬元）的函數(shù)關(guān)式；（3）如果投入的年廣告費為10萬，廣費什范內(nèi)司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？析：因為題中給出了是的函數(shù)關(guān)，所以用待定系數(shù)法即可求出與函數(shù)關(guān)系式為

y

13x105

x1（2）由題意得S=10y(3-2)-x

5xSx（3

2

5x10

56524

及二次函數(shù)性質(zhì)知≤x≤2.5，即廣告費在10—25萬間時S廣告費的增大而增大。二分數(shù)關(guān)型題設(shè)結(jié)合實際情景給出了一定數(shù)量的關(guān)系，要求在分析的基礎(chǔ)上直接寫出函數(shù)關(guān)系式，并進行應(yīng)用。解答的鍵是認真分析題意，正確寫出數(shù)量關(guān)系式。

（2（2例．某化工材料經(jīng)銷公司購進了一種化工原料共7000千，購進格為每千克元。部門規(guī)定其銷單價不得高于每千克0元也不得低于元市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元日均銷售60千；單價每降低1元均多售出2克。在銷售過程中，每天還支出其它費用（天數(shù)不足一天時，按整天計算）。設(shè)銷售單價為x元，均利（1）求y關(guān)二次函數(shù)關(guān)式，并注明x的取值范圍；（2）將（中所求出的二次函配方成

4ac2a4a

2

的形式，寫出頂點坐標；在圖所示的坐標系中畫出草圖價定為多少元時日均獲得最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多少？析單x元千售千克，日均銷售量[千，千獲(x-30)元據(jù)題意得

2

（30≤x≤70）2130x)2

坐草圖略，當(dāng)單價定為65元，均獲利最多，是元。（3）列式計算得，當(dāng)日均獲利多時，可獲總利元當(dāng)單價最高時，可獲總利221500。故銷售單價最高時獲總利較多，且多獲利221500-195000=26500。三建型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù)，利用次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實際問題。這類問題建模要求高，有一定難度例．圖有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物狀MN=4dm，線頂點處到邊的距4dm，在鐵皮截下一矩形ABCD，形頂點在邊MN上物線上下的形皮周能等？析：“線”聯(lián)想到二次函數(shù)。如圖，以MN所在為x軸為原立直角坐系拋線的頂點為P

0求拋線解式設(shè)A點坐標為x，y），則AD=BC=2x-4。是

24x

。2AB2y

2

4x)2x

2

2yx

2

4x)4)2x

2

8

取值范圍是（x≠2）。若

12x8x26x0

1

2

。而≠2）。故值不能取即截下的矩形周長不可能等于8dm。注本題還可在其它位置建立直角標系。例.環(huán)保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產(chǎn)知每件產(chǎn)品的進價4元經(jīng)過程中測出銷售萬與銷售單元存在如圖所示的一次數(shù)關(guān),銷售該種產(chǎn)品的總開z(萬元(含進年銷量(件存在函數(shù)關(guān)=10+42.5.(1)求關(guān)x的函數(shù)關(guān)系;(2)度出該公司銷售該種產(chǎn)品獲(元關(guān)售單(元的數(shù)系式;(年獲=售總金-年銷產(chǎn)品的總進-總開支金)銷售單價x為何值時獲利最大?最大值是?(3)若司希望該產(chǎn)品一年的銷獲利不低于萬,利(小的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品銷售單價的范圍在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最,認為銷售單價應(yīng)定為多少.解(1)題意y,圖象過點70,5),(90,3),∴70b,得k

k

110

∴=,

x+12.…………………b12.(2)由題意wy(x-40)-=y(x-40)-(10+42.5)=(

1

x+12)(-10)-10(

11010x+12)-42.5=-0.1+17-642.5=

110

(x-85)+80.當(dāng)85元時獲利的最大值80元……………分(3)令=57.5,-0.1+17-642.5=57.2.整理得x

-170+7000=0.解得x=70,x

最值最值由圖象可,年獲利不低57.5元銷單應(yīng)7元100之又因為銷售單價越低銷量越大所以要使銷量最,又使年獲利不低57.5元售單價應(yīng)定為70元……………四利最()問知要：二次函數(shù)的一般式

2

(

a0

)化成頂點式

y

b22a

2

，如果自變量的取值范圍是全體實，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）．即當(dāng)

a0

時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x，2a

y最小值

b

2

；當(dāng)

a0

時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)

2a

，

y最大值

b

2

．如果自變量的取值范圍是xxx，果點自量取范xx內(nèi)，1212b2則當(dāng)x，y如果頂點不此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取2a值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范內(nèi)隨增大而增大，則當(dāng)xx時2yaxbxc，x時，y；最大1最小1如果在此范圍內(nèi)

x增大而小

xx時y1最大

21

1

cxx2時，

22

2

．商定一利計公：經(jīng)出的據(jù)商進價；商品售價品銷售量；商品售價2品定；（商品調(diào)價）；商品銷售量1；銷售變率他成本。單價商品利=品定價－商品價1△（價格變動量=品定價－品售價2或者直接等于商品調(diào)價）；銷量化銷售變化÷起量變化的單位價格；商品總銷售=品銷售量1±△×售量變化率；總潤W）=價品潤總銷量其成總利潤（W）（商品定價商品售銷售1

銷售量變化單位價格變動

]其他成本

實問與次數(shù)題選解填空題：1．當(dāng)炮彈從炮口以角射出后飛行高度h(米)飛行時間之間的函數(shù)關(guān)系式是

12

v，中是炮射的初度，當(dāng)v=300時，炮彈飛行的最大高度是。答案：米。說明：把v=300入h=

12

4acbv5t得，式得h=1125米。4a2．王師傅想在一塊三角形剩料挖取一塊最大矩形料做其他用途，其圖形和數(shù)據(jù)如圖所示算王師傅所取得最矩形料的面________。答案：

331m，mm42說明：設(shè)，則BF=1，BD=2(1∴FD=

(1x)，∴S=

(1x)x=

x+

(x

1333)+∴S最為，這時CF=m，CE=。2442解答題：．某有客房，每間房間的日租金為元每天都客滿，旅裝修后，要提高租金。經(jīng)市場調(diào)查，如果1房的日租金每提高5元則房出租數(shù)會減少6間。不考慮其他因素社每間客的日租金提高到多少元時租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少？分析是函數(shù)知識在日常生活的實際應(yīng)用題題中各量之間的等量關(guān)系為天客房日租金的總收=每房日租金×客房每天出租的間數(shù)。解每間客房的日租金提高x個5元即每天客房出租數(shù)會減少6x間據(jù)題意可得y=(50+5x)(1206x)y=30(x5)?！喈?dāng)x=5，=6750這時每間客房日租金為50+5×5=75()房日租金的總收入最高，為6750。裝修前的日租金120×50=6000(元，6750元故將每間客房的日租金提到75元總最高日租金總收入增加50元．某經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的品；據(jù)市場調(diào)查，若每千克50銷售，一個月能銷售出500克銷售單價每漲1元月銷售量下降10千針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請?zhí)剿饕韵聠枺?/p>

(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55，月銷售利潤為多少？(2)設(shè)月銷售單價為每千克x，銷利為元寫出與之的函數(shù)關(guān)系式。解：(1)銷售利潤為[500(55元(2)y=[500(x50)×10]×(x40)y=10x+1400x4000．火站剎車滑行的距離單m)與行時間t(s)的數(shù)系式是s=30t1.5t；火車離站臺多遠開始剎，才能使火車票剛好停在站臺位置上？解：由s=30t1.5t得s=

32

(t10)+150所以當(dāng)t=10s=150所以當(dāng)火車從離站臺處開剎車，火車才能剛好在站臺停下。南車城銷售某種型號的汽車輛價為萬元場調(diào)研明銷售價為萬時每售出輛售價每降低萬時每多售出4輛設(shè)每輛汽車降價x元，每輛汽的銷售利潤為y元。(1)求yx函數(shù)關(guān)系式，在證商家不虧本的前提下，寫出x的范圍；(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷利潤為z萬元試出與之間數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每輛汽車的定價為多少萬時，平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)y=2925x+4(0≤4)(2)z=(8+

x×4)y=(8x+8)(x+4)=+24x+320.5(3)由z=8x，配方得z=

32

)+50所以當(dāng)x=

32

時，z=50所以當(dāng)定價為291.5=27.5(萬元)有最大利潤，最大利潤為50萬小老板批發(fā)進貨中種商品進價為每件9，按每件15元售，每天可銷售件現(xiàn)在他想采用降價銷的辦法來增加利潤，已知這種商品每件每降價1元銷售量就增加10件那么他把價定為多少時，才能使每天獲利最大？每天最大利潤是多少？解：設(shè)降價x，則零售價(元日量(件設(shè)每日利潤為y元，題意得y=(15，配方得y=10(x1)+250所以當(dāng)x=1時，最大這15x=14所以把售價定為每件14元，天獲利最大，最大利潤是。．在服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時，價格呈升趨勢；設(shè)這種時裝開始時定價為20元并每(7天漲價元，從第開始保持30的價格平穩(wěn)銷售；從第12周始，當(dāng)季節(jié)將過去時，平均每周減2，直到第16周，該服裝不再銷售試立銷售價次x之的關(guān)系式(2)這種時裝每件進價Z與x之間的關(guān)系為Z=0.125(x+12(1≤x≤16且數(shù)試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤是多？解：(1)題意，可以建立函數(shù)系式如下：

當(dāng)1≤x時，1)；當(dāng)6≤x時y=30；當(dāng)12時，y=302(x11)即(2)設(shè)銷售利潤為元則W=售進所以化簡得W=①當(dāng)