勾股定理一對(duì)一專題講義

，梯形，梯形１．勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，斜邊為那么

a

２.股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法D

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

H

F

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

常見方法如下：

方法一：

形

形A

，

14abb)2

，化簡可證．

方法二個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積

個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為

1ab2

大正方

形面積為

所以

a

方法三：

梯形

111(a)c22

，化簡得證３.股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。４.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在

中，

90

，則ab，ac③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.股定理的逆定理

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系如果三角形三邊長a，，滿足

a

，那么這個(gè)三角形是直角三角形其中為斜。-1-

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和

a

與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以bc三邊的三角形是直角三角形；②若

a

，時(shí)，以

a

，

b

，

為三邊的三角形是鈍角三角形；若

a

，時(shí)，以

a

，bc三邊的三角形是銳角三角形；③定理中a及

a

只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長

a

，

b

，

滿足

a

，那么以

a

，

b

，

為三邊的三角形是直角三角形，但是

b

為斜邊６.股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即

a

中，

a

，

b

，

為正整數(shù)時(shí)，稱

a

，

b

，

為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，；6,8,10；；等③用含字母的代數(shù)式表示勾股數(shù)：n

,n

（

n2,

為正整數(shù)

2

,2n

n

（

n

為正整數(shù)）

,2

（

mm，為正整數(shù)）７．勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助（通常作垂線，構(gòu)直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解８.股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三-2-

角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９.股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相

成，

完

成

對(duì)

問

題

的

解

決．

常

見

圖

形：C

30°

DB

BD

A10、互命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。勾定典題類類一等面法高【例】如，ABC，∠ACB=90，AC=7，，⊥。（1）求的；（2）求CD的長。

CADB類二面積題【題如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊和長為7cm,則方形A，，，的積之和。

CB

DA7cm【】上右圖每個(gè)小方格都是邊長為1的方形求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面和周長求∠的度數(shù)-3-

25169

ABCDBEAEABCDBEAEA

DEB

C【練】如，四邊形是方形，⊥，且=3，=4，陰部分的面積______.【】圖字B所代表的正方形的面積是類三距離短題【題如圖AB兩小集鎮(zhèn)在河流CD的側(cè)分別到河的距離為AC=10千BD=30千米且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、兩鎮(zhèn)水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？D

L【題處小河北牧A

東小屋【】C【2如圖，長為1的方體中，一只螞蟻從A頂出發(fā)沿著立方體的外表面爬到B頂點(diǎn)的最短路程是（）A3B、

C

D、【練】如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm高為20cm，B到的離為5cm，只螞蟻如果要沿著長方體的表面從A點(diǎn)到B點(diǎn)需要爬行的最短距離是多少？CB-4-A

類四判斷角的形【題，【練m【練】+b【練】

()

22

直類五直考勾定【題在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠°(1)已知，，求；(2)已，，求c；已知，，求a.【習(xí):圖∠B∠ACD°,AD=12,BC則的長是多?類六構(gòu)造用股定【題如，已知：在

中，，，

求.練△ABC中，AB=AC=20，BC=32，BC上點(diǎn)，且AD⊥AC求BD的長【習(xí)四形ABCD中∠B=90°AB=3，，CD=12AD=13求四邊形ABCD的積。類七利勾定作為

的段10-5-

點(diǎn)B類八勾股理其逆理一般法【例】【練】等邊三角形的邊長為2求它的面積。2、已知一直角三角形的斜邊長2周長是2+，這個(gè)三角形的面積．、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、，15B4，6C、，8D、8，類九生活題【題如左圖，在高，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長少________．【練】種盛飲料的圓柱形杯（如上右圖內(nèi)部底面半徑為2.5㎝高為12㎝吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝問吸管要做㎝?！揪?左學(xué)校有一塊長方形花園少數(shù)人為了避開拐角而徑走了一他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)步為踩傷了花草?！揪殹咳缟嫌覉D，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米一棵樹高13米另一棵樹高米一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市的正南方向20米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為2級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心0千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以5米時(shí)速度沿北偏東30o方向C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響（）城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理.（）會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（）城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？-6-

類十翻折題【例】如，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角ABC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折，使它落在斜邊，且與重，你能求出CD的長嗎？如,形紙片ABCD中已AD=4,折疊紙片使邊對(duì)角線AC重合點(diǎn)B落點(diǎn)處折痕為AE,且EF=.則的為)【練】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落邊點(diǎn)處，已知，，EF長?！揪殹咳鐖D，△ABC中C=90°，AB垂直平分線交BC于D若，，AC的。CDB

E

A【練】如圖，把矩形紙片

沿

折疊，使點(diǎn)

落在邊

上的點(diǎn)

處，點(diǎn)

落在點(diǎn)

處。（1）求證：（2）設(shè)明．

，試猜想

之間的一種關(guān)系，并給予證【練】如圖矩紙片ABCD中的長為

折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重折痕為則-7-

a如圖所示將個(gè)長方紙片ABCD沿角線AC折疊點(diǎn)B落在點(diǎn)AE交DC于點(diǎn),已AB=8cm,BC=4cm.折疊后重合部分的面積為a如,一張長方形紙片折起使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重若長方形的長BC寬AB為4,折疊后重合部分的面積是如所在完全重合放置的兩張矩形紙片A