高中數(shù)學(xué)北師大版2-3學(xué)案：第二章 5 第2課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差的概念。2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列為X012Peq\f（6，10）eq\f（1,10)eq\f（3，10)Y012Peq\f（5，10)eq\f（3,10）eq\f(2,10)思考1試求EX,EY.思考2能否由EX與EY的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低?思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩工人技術(shù)水平的高低？梳理(1）離散型隨機(jī)變量的方差的含義設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，用E(X－EX）2來(lái)衡量X與EX的________________，E（X－EX）2是（X－EX）2的________，稱E（X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，記為_(kāi)_______．（2)方差的大小與離散型隨機(jī)變量的集中與分散程度間的關(guān)系方差越____，隨機(jī)變量的取值越分散；方差越____，隨機(jī)變量的取值就越集中在其均值周圍．（3）參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布的方差當(dāng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布時(shí),其方差DX＝np(1－p）．類型一求離散型隨機(jī)變量的方差命題角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X－101Peq\f（1,2）eq\f(1,4）a(1)求X2的分布列；（2）計(jì)算X的方差；(3）若Y＝4X＋3,求Y的均值和方差．反思與感悟方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式DX＝EX2－(EX）2不失為一種比較實(shí)用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2DX。跟蹤訓(xùn)練1已知η的分布列為η010205060Peq\f（1，3)eq\f（2，5)eq\f（1,15)eq\f（2，15)eq\f(1,15）(1）求方差；（2)設(shè)Y＝2η－Eη，求DY.命題角度2未知分布列求方差例2某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物,為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分為n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．假設(shè)n＝4，在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列、均值及方差．反思與感悟（1）求離散型隨機(jī)變量X的均值和方差的基本步驟①理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值．②求X取每個(gè)值的概率．③寫(xiě)X的分布列．④求EX，DX.（2）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B（n，p)，則EX＝np，DX＝np（1－p）．跟蹤訓(xùn)練2在一個(gè)不透明的紙袋里裝有5個(gè)大小相同的小球，其中有1個(gè)紅球和4個(gè)黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球?yàn)橹?，求摸球次?shù)X的均值和方差．類型二方差的實(shí)際應(yīng)用例3某投資公司在2017年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳"項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇:項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30％，也可能虧損15％，且這兩種情況發(fā)生的概率為eq\f(7,9）和eq\f(2，9）.項(xiàng)目二:通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%，可能虧損30％，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3，5），eq\f（1，3）和eq\f（1，15)。針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說(shuō)明理由．反思與感悟均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?還需比較它們的取值的離散型程度，即通過(guò)比較方差，才能做出更準(zhǔn)確的判斷．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η,且ξ，η的分布列為ξ123Pa0.10。6η123P0.3b0.3（1)求a,b的值；(2）計(jì)算ξ,η的均值與方差，并以此分析甲、乙的射擊技術(shù)狀況．1．已知隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1，2）eq\f(1，3）eq\f（1,6）則下列式子：①EX＝－eq\f(1，3）；②DX＝eq\f（23,27)；③P(X＝0）＝eq\f(1,3).其中正確的個(gè)數(shù)是(）A．0B．1C．2D．32．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,3)(k＝1，2，3)，則D（3X＋5）等于()A．6B．9C．3D．43．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1，12)4.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙,包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X，Y，已知EX＝EY，DX〉DY，則自動(dòng)包裝機(jī)________的質(zhì)量較好．（填“甲"或“乙")5．編號(hào)為1,2，3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求Eξ和Dξ.1．隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度．方差越小，則隨機(jī)變量的取值越集中在其均值周圍;反之，方差越大，則隨機(jī)變量的取值就越分散．2．隨機(jī)變量的方差與樣本方差的區(qū)別：樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此,它是一個(gè)變量，而隨機(jī)變量的方差是一個(gè)常量．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1EX＝0×eq\f(6，10）＋1×eq\f(1，10）＋2×eq\f(3，10)＝eq\f（7,10)，EY＝0×eq\f（5,10)＋1×eq\f(3，10)＋2×eq\f（2，10）＝eq\f（7,10）。思考2不能，因?yàn)镋X＝EY。思考3方差．梳理(1)平均偏離程度均值DX（2)大小題型探究例1解（1）由分布列的性質(zhì)，知eq\f（1，2)＋eq\f（1,4)＋a＝1，故a＝eq\f（1，4),從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3，4)（2)方法一由(1）知a＝eq\f(1，4)，所以X的均值EX＝(－1）×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1，4）＝－eq\f（1,4)。故X的方差DX＝(－1＋eq\f（1，4)）2×eq\f(1，2）＋(0＋eq\f（1,4））2×eq\f(1,4)＋（1＋eq\f（1，4））2×eq\f(1,4）＝eq\f(11,16).方法二由(1）知a＝eq\f(1，4),所以X的均值EX＝（－1）×eq\f(1，2)＋0×eq\f(1，4)＋1×eq\f(1，4）＝－eq\f(1，4），X2的均值EX2＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3，4），所以X的方差DX＝EX2－（EX)2＝eq\f（11,16)。（3）因?yàn)閅＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2,DY＝42DX＝11.跟蹤訓(xùn)練1解（1)∵Eη＝0×eq\f（1,3）＋10×eq\f(2，5）＋20×eq\f(1,15）＋50×eq\f（2,15）＋60×eq\f（1，15）＝16，∴Dη＝（0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f（2，5)＋（20－16）2×eq\f(1，15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋（60－16）2×eq\f（1，15)＝384,（2）∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D（2η－Eη）＝22Dη＝4×384＝1536.例2解X可能的取值為0，1，2，3，4,且P（X＝0)＝eq\f（1，C\o\al（4，8）)＝eq\f（1，70)，P(X＝1)＝eq\f（C\o\al（1，4）C\o\al(3,4)，C\o\al(4，8））＝eq\f(8,35），P(X＝2)＝eq\f（C\o\al（2，4)C\o\al（2，4），C\o\al(4,8)）＝eq\f（18,35），P（X＝3）＝eq\f(C\o\al(3，4）C\o\al(1，4)，C\o\al（4，8））＝eq\f(8,35)，P（X＝4)＝eq\f(1,C\o\al（4，8))＝eq\f（1，70).即X的分布列為X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35）eq\f(18,35)eq\f(8,35）eq\f（1,70)∴EX＝0×eq\f（1,70）＋1×eq\f(8，35）＋2×eq\f(18，35)＋3×eq\f（8，35)＋4×eq\f(1,70）＝2，DX＝（0－2）2×eq\f(1,70)＋（1－2）2×eq\f(8,35)＋（2－2)2×eq\f(18,35)＋(3－2）2×eq\f(8，35)＋（4－2）2×eq\f（1,70)＝eq\f（4，7）。跟蹤訓(xùn)練2解X的可能取值為1,2，3，4，5。P（X＝1)＝eq\f(1，5），P(X＝2)＝eq\f（4,5)×eq\f(1，4)＝eq\f(1,5),P（X＝3）＝eq\f（4，5)×eq\f（3,4)×eq\f（1,3)＝eq\f（1,5）,P(X＝4）＝eq\f(4，5）×eq\f(3，4)×eq\f（2，3）×eq\f（1,2)＝eq\f(1,5),P（X＝5)＝eq\f（4,5)×eq\f(3，4）×eq\f(2，3)×eq\f（1，2)×1＝eq\f(1，5）.∴X的分布列為X12345P0。20.20。20。20.2由定義知，EX＝0。2×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.DX＝0。2×（4＋1＋0＋1＋4)＝2.例3解若按項(xiàng)目一投資，設(shè)獲利X1萬(wàn)元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f（7,9)eq\f（2，9)∴EX1＝300×eq\f（7,9)＋（－150)×eq\f(2，9）＝200(萬(wàn)元）．DX1＝（300－200)2×eq\f（7,9）＋（－150－200）2×eq\f（2，9）＝35000，若按項(xiàng)目二投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元，則X2的分布列為X2500－3000Peq\f（3,5)eq\f（1,3）eq\f(1,15）∴EX2＝500×eq\f(3,5）＋（－300）×eq\f(1，3）＋0×eq\f（1，15）＝200（萬(wàn)元）．DX2＝（500－200）2×eq\f(3，5)＋（－300－200）2×eq\f(1,3)＋（0－200)2×eq\f(1,15)＝140000,∴EX1＝EX2,DX1＜DX2，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資．跟蹤訓(xùn)練3解（1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可知a＋0。1＋0.6＝1，所以a＝0.3.同理，0。3＋b＋0。3＝1，所以b＝0。4.（2）Eξ＝1×0.3＋2×0。1＋3×0.6＝2.3,Eη＝1×0。3＋2×0。4＋3×0.3＝2。Dξ＝（1－2。3）2×0.3＋(2－2。3)2×0。1＋（3－2。3)2×0.6＝0。81,Dη＝（1－2）2×0。3＋（2－2）2×0.4＋(3－2）2×0。3＝0.6.由于Eξ〉Eη，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高,但Dξ〉Dη，說(shuō)明在平均得分相差不大的情況下,甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人射擊技術(shù)水平都不夠優(yōu)秀，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2。A3。eq\f（5，12)eq\f（1,4)4。乙5．解ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了，有2種情況,即編號(hào)為1，2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生,則P(ξ＝0)＝eq\f(2，A\o\al（3，3))＝eq\f(1,3）;ξ＝1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對(duì)了，則P（ξ＝1）＝eq\f（C\o\al(1,3），A\o\al(3,3））＝eq\f（1，2);ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對(duì)了，即對(duì)號(hào)入座,則P（ξ＝3