高數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)微積分1．函數(shù)的單調(diào)性．2．函數(shù)的極值和最值．3．未定式求法-洛必達(dá)法則．1.4.1函數(shù)的單調(diào)性一、單調(diào)性的判別法定理證（略）證應(yīng)用拉格朗日中值定理,得例1解首先確定定義域注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，圖中藍(lán)色曲線是導(dǎo)函數(shù)的圖像．單調(diào)區(qū)間問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:例1.4.1解根據(jù)y’的符號(hào)曲線和定理，列出下表x－13y’+0－0+y19－13上圖為導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)曲線。就是說單調(diào)區(qū)間為例1.4.2解單調(diào)區(qū)間為注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.而導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)性改變的點(diǎn)。又如,例如上題中,事實(shí)上，1.4.2函數(shù)達(dá)到極值的條件從例1.4.3的函數(shù)圖象中很容易看到在函數(shù)從單調(diào)增加變到單調(diào)減少的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處，函數(shù)值達(dá)到極大，這類特殊的峰點(diǎn)，即我們下面要討論的函數(shù)極值點(diǎn)．1.函數(shù)達(dá)到極值的必要條件(－1,19)函數(shù)極值分極大值和極小值．當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)從單調(diào)增加變到單調(diào)減少，函數(shù)值比鄰近的函數(shù)值都大，這種函數(shù)值稱為極大值；當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)從單調(diào)減少變到單調(diào)增加，函數(shù)值比鄰近的函數(shù)值都小，這種函數(shù)值稱為極小值．一、函數(shù)極值的定義ＡＢ定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).函數(shù)的極大值可能小于極小值，如前頁圖中的Ｂ與Ａ點(diǎn)的值．二、函數(shù)極值的求法定理1.4.2(極值存在的必要條件)定義注意:(1)這里的必要條件，有函數(shù)可導(dǎo)為前提。對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)，函數(shù)也可能取極值。如例1.4.2中。例如,(2)定理1.4.3(極值存在的第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)定理可以簡(jiǎn)記為經(jīng)過x0時(shí)導(dǎo)函數(shù)變號(hào)則極值存在．2.函數(shù)達(dá)到極值的第一充分條件可導(dǎo)群函數(shù)墳求極田值的血步驟:(不是蛾極值宿點(diǎn)情揚(yáng)形)函數(shù)鈔也可撥能在掏不可貫導(dǎo)點(diǎn)已處達(dá)椅到極及值。例2.仁4.撿5解列表芒討論極小,y(燙2)∞∞圖形俊如下加：上面腿的圖界形是襯用根樂軸法艙作的晴導(dǎo)函義數(shù)的腸符號(hào)殊曲線福，用前于判事斷導(dǎo)懸函數(shù)筐在各貪區(qū)間飯上的飄正負(fù)死。定理1.局4.促4教材61頁證同理膝可證(2擱).3.函數(shù)虜達(dá)到棚極值蹄的第貍二充秩分條柱件(極值姐存在辯的第站二充螺分條煎件)例2解圖形如下注意:三、夜小結(jié)極值粥是函燦數(shù)的驗(yàn)局部染性概秒念:極大奸值可捕能小摟于極丙小值,極小忠值可叉能大駕于極湖大值.駐點(diǎn)夏和不盲可導(dǎo)差點(diǎn)統(tǒng)疏稱為臨界夾點(diǎn).函數(shù)赤的極困值必肚在臨界艷點(diǎn)取得.判別警法第一創(chuàng)充分屆條件;第二慈充分潤條件;(注意呢使用陵條件)對(duì)一凍般函艷數(shù)(即要質(zhì)考慮患駐點(diǎn)漲和不私可導(dǎo)抖點(diǎn))求極籠值的踢步驟拉請(qǐng)看友教材赤Ｐ61頁的泡下方錘．1.昨4.始3函數(shù)幸的最裝值—函數(shù)主的整話體極縮慧值定義2.折4.險(xiǎn)4函數(shù)轎的最拖值ＡＢ函數(shù)庫的最攤大值緞與最泉小值效都是抽唯一賠的，倆它可凍能在駐點(diǎn)，不可撿導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間典的端煉點(diǎn)處達(dá)應(yīng)到．步驟:1.求駐醒點(diǎn)和切不可箭導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)姻間端植點(diǎn)及浴駐點(diǎn)混和不粉可導(dǎo)狼點(diǎn)的堂函數(shù)懲值,比較椅大小,那個(gè)藝大那血個(gè)就柴是最蛙大值,那個(gè)決小那爪個(gè)就估是最槽小值;注意:如果殼區(qū)間送內(nèi)只撓有一臣個(gè)極超值,則這幻玉個(gè)極付值就嘩是最紅值.(最大潮值或剩最小族值)二、產(chǎn)應(yīng)用貝舉例例1.典4.掌5解計(jì)算駐點(diǎn)崇：不可看導(dǎo)點(diǎn)南：區(qū)間避端點(diǎn)賢：比較垃得實(shí)際奮問題冤求最賭值應(yīng)浩注意:(1資)建立白目標(biāo)談函數(shù);(2羊)求最慢值;左圖梳中，云若f(x0)不是假最大姜值,則還虎有x1使得f(x0)造<f(x1)，x0又是劑極大匪值點(diǎn)罵，于兵是從x0到x1，函數(shù)雀的光滑思連續(xù)合變化必導(dǎo)覽致x0與x1值之些間出狐現(xiàn)另妙一駐吵點(diǎn)x2，這樣x0就不立會(huì)是蒜唯一懸駐點(diǎn)感了．x0x2x1例1.4.6h2r解本題且是在主條件V抖=πr2h下求庭函數(shù)S=既2πr桐h+2πr2的最各小值.消去拋一個(gè)默變量,即解得三、嬌小結(jié)注意壤最值第與極稅值的范區(qū)別.最值貍是整元體概萍念而盜極值愧是局鹽部概跡念.實(shí)際痛問題隊(duì)求最掘值的重步驟.P6勤8醬1.殲4.座2(趁1)托(5湊)狼1.興4.刷3(尾4)往(蠢5)浸1茅.4類.5作業(yè)口：1.宜4.茶4(撤1)辮(勻7)1.達(dá)4.戒4未定拒式求難法下面旦學(xué)習(xí)缺導(dǎo)數(shù)使在計(jì)藥算極找限中助的重館要應(yīng)倦用——洛必增達(dá)(L糖’過Ho筍sp粗it妨al港)法則.未定證式是態(tài)很常蠻見和乞最基肥本的換一類指極限.限于混時(shí)間籃原因輛我們賞不作堂理論敬上的培展開,只學(xué)揉習(xí)具視體方蘭法與社最基升本的仇內(nèi)容.定義例如,定理1.薄4.懇5婆(洛必氧達(dá)法唇則)定義這種過在一轉(zhuǎn)定條津件下到通過滅分子幫分母污分別瞧求導(dǎo)敞再求愁極限桌來確蚊定未浪定式竊的值鏟的方嘉法稱道為洛犯必達(dá)浮法則.例1.少4.晉8解例1.4.7解易見債此式匯符合宇洛必迎達(dá)法冰則的搜條件凝，故例1.黨4.遵9解解例1.允4.畢10作業(yè)例解通分急相加祝減化績?yōu)槿冈俚厩笞⒁猓?1療)洛必次達(dá)法紹則是載求不利定式染的一鉗種有難效方洞法，課但它聚只能雨用于.不是奸這兩笛種類寨型的趕絕不割能用猴！(２)洛必若達(dá)法陪則不廈是萬巨能的.補(bǔ)例解極限息不存待在洛必額達(dá)法惠則失祖效。注意軌：洛必輔達(dá)法史則的楊使用緊條件豆．(3蜂)洛必剩達(dá)法公則與胡其它壟求極企限方將法結(jié)項(xiàng)合使洗用，另效果厚更好,特別胸是用室之前脈要把睬極限融的已渴知部得分分后離出治來.例2.漿4.滅16解分母沈中的ta化nx用等雕價(jià)的膨無窮助小x代替末了.分子這用三屢角函熊數(shù)公票式換兇作ta脊n2x更簡(jiǎn)睡單,這里隱是又悄用了敗一次飼洛必恢達(dá)法港則.小結(jié)例2.毒4.玩17解關(guān)鍵:化為供洛必坡達(dá)法擦則可路解決下的類葉型.步驟:此題轉(zhuǎn)換為試試看．（轉(zhuǎn)換為）步驟:例解例2.紡4.至22解例2.更4.洞23解技取對(duì)淺數(shù),例2.沈4.崗24解又例解小結(jié)洛必達(dá)法則作業(yè)P6布8末1.盡4.筋2蝦(1普)麥(5糧)，1.等4.廣3匪(4南)1.追4.吉4(聰1)太(碗2)林(殲4)，1.統(tǒng)4.日5.又例解注意:函數(shù)肆的不鏡可導(dǎo)左點(diǎn),也可村能是踩函數(shù)崗的極悉值點(diǎn).如例2.興4.訊4中的x=0點(diǎn)，鐮下面監(jiān)再舉須一例擴(kuò)．思考評(píng)題下述尊命題杰正確惑嗎？思考脾題解筍答不正角確．例注意定理1.皇4.斃2是必倦