第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

(3)在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，又要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要的意義。目前一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）4.2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二）4.3隨機(jī)變量的方差（一）4.4隨機(jī)變量的方差（二）4.5協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.6其它特征數(shù)目前二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）

（Mathematicalexpectationofrandomvariable）

4.1.1數(shù)學(xué)期望的概念“期望”在我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｖ赣懈鶕?jù)的希望，在概率論中，它源于歷史上一個著名的分賭本問題：

例4.1.1（分賭本問題）17世紀(jì)中葉，一位賭徒向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）提出一個使他苦惱很久的分賭本問題：甲、乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每局中無平局.他們約定，誰先贏三局則得到全部100法郎的賭本.當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博，現(xiàn)問這100法郎如何分才算公平？目前三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點分析第一種分法：甲得1001/2=50(法郎)乙得1001/2=50(法郎)第二種分法:甲得1002/367(法郎)乙得1001/333(法郎)這兩種方法都沒有考慮到如果繼續(xù)比下去會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，沒有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)下對比賽結(jié)果的一種期待，雙方均不滿意.首席數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡認(rèn)為甲的最終所得可能為：0或100再賭兩局比賽必定結(jié)束，其結(jié)果不外乎以下四種：(甲贏甲贏)(甲贏乙贏)(乙贏甲贏)(乙贏乙贏)于是，他們?nèi)デ笾▏哪壳八捻揬總數(shù)一百零一頁\編于五點于是甲贏得法郎數(shù)X的分布列為帕斯卡認(rèn)為甲的“期望”所得應(yīng)為01/4+1003/4=75(法郎)乙的“期望”所得應(yīng)為100-75=25法郎.這種方法照顧到了已賭局?jǐn)?shù)，又包括了再賭下去的一種“期望”，它比前兩種方法都更為合理.這就是數(shù)學(xué)期望這個名稱的由來，其實這個名稱稱為“均值”更形象易懂一些，對上例而言，也就是再賭下去的話，甲“平均”可以贏75法郎.X0100P1/43/4目前五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

引例（射擊問題）設(shè)某射擊手在同樣的條件下,相繼射擊90了次，擊中情況如下(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機(jī)變量).試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k

命中次數(shù)nk

012345

21315102030

目前六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點解平均擊中環(huán)數(shù)目前七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點平均擊中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動隨機(jī)波動隨機(jī)波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均擊中環(huán)數(shù)”趨向于“擊中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加”

目前八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為如果那么稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值.若級數(shù)不收斂,則稱X的期望不存在.目前九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x),如果則稱為X的數(shù)學(xué)期望，或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值.若不收斂，則稱X的期望不存在.目前十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰好有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時間相互獨立.其規(guī)律是一旅客8:20到車站，求他的平均候車時間.1/6

3/6

2/68:108:308:509:109:309:50概率到站時刻目前十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

解設(shè)X=“該旅客的候車時間”(以分鐘計)則于是該旅客的平均候車時間為1/6

3/6

2/68:108:308:509:109:309:50概率到站時刻

1030507090XP目前十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點若Xb(n,p)，則E(X)=np.

證明因為Xb(n,p)，所以于是目前十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點目前十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

例4.1.4若XP()，則E(X)=.

證明因為XP()，所以于是目前十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點在一個人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，為此要抽驗N個人的血。如果將每個人的血分別檢驗，則共需檢驗N次，為了能減少工作量，一位統(tǒng)計學(xué)家提出一種方法：按k個人一組進(jìn)行分組，把同組人的血樣混合后檢驗，如果這種混合血樣呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，說明這k個人只需要檢驗一次就夠了；如果這種混合血樣呈現(xiàn)陽性反應(yīng)，說明這k個人中至少有一個人的血呈現(xiàn)陽性反應(yīng)，則再對此k個分別進(jìn)行檢驗.假設(shè)該疾病的的發(fā)病率為p，且每人是否得此疾病相互獨立.試問這種方法能否實現(xiàn)減少平均檢驗次數(shù)？目前十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

解令X=“該人群中每個人需要驗血的次數(shù)”，則所以每人的平均驗血次數(shù)為X1/k1+1/kP(1-p)k1-(1-p)k目前十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點只要適當(dāng)選擇k，就可使驗血次數(shù)達(dá)到最小.譬如，當(dāng)p=0.1時，有對不同的發(fā)病率p，計算出最佳得分組人數(shù)k，見下表0.6900.6040.5940.6100.6950.7510.9910.9941.001623458103033340.6970.5940.5340.4660.3840.2740.205344568110.140.100.080.060.040.020.01目前十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點有兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命X1,X2服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)如下

若將這兩個電子裝置串聯(lián)組成一個整機(jī)，求整機(jī)壽命Y的數(shù)學(xué)期望.目前十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點解因為XiExp()(i=1,2)，所以Xi的分布函數(shù)為于是Y=min{X1,X2}的分布函數(shù)為故Y=min{X1,X2}的密度函數(shù)為目前二十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點所以目前二十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點作業(yè)目前二十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4.2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二）設(shè)XU(a,b)，求E(X).

解因為XU(a,b)，所以目前二十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)XN(,2)，則E(X)=.證明因為XN(,2)，所以目前二十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)X(,)，則E(X)=/.證明因為X(,)，所以于是目前二十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點若隨機(jī)變量X的分布用分布列p(xi)或用密度函數(shù)f(x)表示，則X的某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為推廣:目前二十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點已知隨機(jī)變量的分布列如下求Y=X2的數(shù)學(xué)期望.

解

Y=X2的分布列為X-2-1012P0.20.10.10.30.3X-2-1012Y=X241014P0.20.10.10.30.3目前二十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點對相同的值合并，并把對應(yīng)的概率相加，可得所以E(Y)=E(X2)=00.1+10.4+40.5=2.4或

E(Y)=E(X2)

=(-2)20.2+(-1)20.1+020.1+120.3+220.3=2.4Y014P0.10.40.5目前二十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點數(shù)學(xué)期望的常用性質(zhì)（1）若c是常數(shù)，則E(c)=c；（2）對任意的常數(shù)a，有E(aX)=aE(X)；（3）對任意的兩個變量X,Y，有

E(XY)=E(X)E(Y)推廣：對任意的隨機(jī)變量X,Y，有E[g1(X)

g2(Y)]=E[g1(X)

]E[g2(Y)]（4）若隨機(jī)變量X,Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)目前二十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點某公司經(jīng)銷某種原料，歷史資料表明：該原料的市場需求量X(單位:噸)服從(300,500)上的均勻分布.每出售一頓該原料，公司可獲利潤1.5(萬元)；若積壓1噸，則公司損失0.5(萬元).問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使平均收益最大？

一、模型假設(shè)：市場需求量XU(300,500).二、模型建立：公司收益Y(萬元)與市場需求量X和組織的貨源a噸有關(guān)，即目前三十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點公司收益Y=g(X)也是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為則故公司組織450噸貨源，可使平均收益最大.令f(a)三、模型求解：目前三十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點一民航客車載有20位旅客自機(jī)場開出旅客有10車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求該客車的平均停車次數(shù).（假設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨立）解令Xi=“第i個車站停車的次數(shù)”，i=1,2,…,10.則Xib(1,

1-0.920),(i=1,2,…,10)，且X=X1+X2+…+X10.于是E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)

+E(X2)

+…+E(X10)=(1-0.920)

+(1-0.920)

+…+(1-0.920)

=10(1-0.920)8.784目前三十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點作業(yè)目前三十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4.3隨機(jī)變量的方差（一）

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是一種位置特征數(shù)，它反應(yīng)了X取值的集中位置，但它無法反映出X取值的“波動”程度.譬如，已知X與Y的分布列分別為則E(X)=0=E(Y).但顯然Y的取值要比X的取值波動大。為了用數(shù)值來反映出隨機(jī)變量取值的“波動”大小，引入了方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個特征數(shù)。X-101P1/31/31/3Y-1000100P1/31/31/3目前三十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)X為隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱其隨機(jī)變量X的方差(Variance)或該分布的方差，記為D(X)或Var(X).即稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X)或X.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值都是非負(fù)數(shù)，它們都是用來描述隨機(jī)變量取值集中（或分散）程度的特征數(shù).由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以在實際中，人們比較樂意選用標(biāo)準(zhǔn)差.目前三十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點某人有一筆資金，可投入房地產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場狀態(tài)有關(guān).若把未來市場分為好、中、差三個等級，其發(fā)生的概率分別為0.2,0.7,0.1.通過調(diào)查該投資者認(rèn)為投資于房地產(chǎn)的收益X(萬元)和投資于商業(yè)的收益Y(萬元)的分布分別為試問該投資者投資哪個項目為好？X113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1目前三十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點解

E(X)=110.2+30.7+(-3)0.1=4.0(萬元)E(Y)=60.2+40.7+(-1)0.1=3.9(萬元)從平均收益看，投資房地產(chǎn)比投資商業(yè)更劃算.所以因為標(biāo)準(zhǔn)差越大收益的波動就越大，從而風(fēng)險也越大.若綜合權(quán)衡收益和風(fēng)險，選擇投資房地產(chǎn)的平均收益相對投資商業(yè)多了0.1萬元，僅僅多出1/39，但風(fēng)險卻提高了一倍還多，故投資商業(yè)比較劃算.由于目前三十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點方差的常用性質(zhì)（1）D(X)=E(X2)-E2(X)；（2）對任意的常數(shù)c，有D(c)=0；（3）若a,b為常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X)；（4）若隨機(jī)變量X,Y相互獨立，則

D(X+Y)=

D(X)+D(Y)（5）D(X)=0P(X=c)=1.目前三十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=20，令則于是稱X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.目前三十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點常見分布的方差(1)兩點分布設(shè)Xb(1,p)，則E(X)=p,D(X)=pq=p(1-p).證明因為Xb(1,p)，所以P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q.故E(X)=pE(X2)=12p+02q=p所以D(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)=pq.目前四十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(2)二項分布若Xb(n,p)，則E(X)=np,D(X)=npq.證明令Xib(1,p)

(i=1,2,…

,n)，且相互獨立.則D(Xi)=pq(i=1,2,…

,n)，X=X1+X2+…+Xn.所以目前四十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(3)泊松分布若XP()，則E(X)=

,D(X)=.證明因為XP()，所以故D(X)=E(X2)-E2(X)=2+-2=.目前四十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（4）幾何分布(Geometrydistribution)若XGe(p)，則E(X)=1/p

,D(X)=q/p2

.證明

略

（5）超幾何分布若Xh(n,N,M)，則證明

略

(6)巴斯卡(Pascal)分布若XNb(r,p)，則E(X)=r/p

,D(X)=rq/p2.證明

略目前四十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

(1)均勻分布若XU(a,b)，則

證明因為XU(a,b)，所以故D(X)=E(X2)-E2(X)目前四十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(2)伽瑪分布若X(,)，則E(X)=/

,D(X)=/2

.證明因為X(,)，所以于是D(X)=E(X2)-E2(X)目前四十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(3)正態(tài)分布若XN(,2)，則E(X)=

,D(X)=2.

證明因為XN(,2)，所以目前四十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點推廣若XiN(i,i2),i=1,2,…,n，且相互獨立,則存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,kn，使得常用分布表目前四十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點若XN(1,3),YN(2,4)，且X,Y相互獨立求證Z=2X-3YN(-4,48).證明因為XN(1,3),YN(2,4),且X,Y相互獨立所以Z=2X-3Y服從正態(tài)分布,且E(X)=1,D(X)=3,E(Y)=2,D(Y)=4于是E(Z)=E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=21-32=-4D(Z)=D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=43+94=48故Z=2X-3YN(-4,48).目前四十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)活塞的直徑XN(22.4,0.032),氣缸的直徑Y(jié)N(22.5,0.042),且X,Y相互獨立，任取一只活塞，一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率.

解因為XN(22.4,0.032)

,YN(22.5,0.042)且X,Y相互獨立.所以X-YN(-0.1,0.0025)

故目前四十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

定理4.4.1(Chebyshev不等式)設(shè)隨機(jī)變量X滿足E(X)=，方差D(X)=2，則對于任意正數(shù)，有證明（1）因為E(X)=,D(X)=2，所以目前五十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（2）因為E(X)=,D(X)=2，所以目前五十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點作業(yè)目前五十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4.5協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

二維聯(lián)合分布中除含有各分量的邊際分布外，還含有兩個分量間相互關(guān)聯(lián)的信息，協(xié)方差就是描述這種關(guān)聯(lián)程度的一個特征數(shù)，其定義如下:設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果數(shù)學(xué)期望E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，則稱此期望為X與Y的協(xié)方差(Covariance)，記為Cov(X,Y)，即

特別地，Cov(X,X)=D(X).目前五十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點從協(xié)方差的定義可以看出，它是X的偏差[X-E(X)]與Y的偏差[Y-E(Y)]乘積的數(shù)學(xué)期望.由于偏差可正可負(fù)也可以為零，故協(xié)方差可正可負(fù)，也可以為零，其具體表現(xiàn)如下：(1)當(dāng)Cov(X,Y)0時，稱X與Y正相關(guān).此時兩個偏差[X-E(X)]與[Y-E(Y)]同時增大或減小，而兩個數(shù)學(xué)期望E(X)與E(Y)都是常數(shù)，所以X與Y同時增加或同時減少.目前五十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(2)當(dāng)Cov(X,Y)0時，稱X與Y負(fù)相關(guān).此時兩個偏差[X-E(X)]與[Y-E(Y)]一個增大，另一個減?。欢鴥蓚€數(shù)學(xué)期望E(X)與E(Y)都是常數(shù)，所以X與Y一個增大，另一個減小.(3)當(dāng)Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不(線性)相關(guān).目前五十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點協(xié)方差的性質(zhì)(1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(2)對任意的常數(shù)c，有Cov(X,c)=0.(3)若有X,Y相互獨立，則Cov(X,Y)=0；反之不然.(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(5)a,bR，有Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(6)Cov(XY,Z)=Cov(X,Z)Cov(Y,Z).(7)a,b,c,dR，有Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y).(8)D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y).目前五十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點相關(guān)系數(shù)(Correlation)

協(xié)方差Cov(X,Y)是有量綱的量，譬如X表示人的身高，單位是米(m)，Y表示人的體重，單位是公斤(kg)，則協(xié)方差Cov(X,Y)帶有量綱(mkg).為了消除量綱的影響，現(xiàn)對協(xié)方差除以相同量綱的量，就得到一個新的概念——相關(guān)系數(shù).設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且D(X)0

D(Y)0，則稱為X與Y的(線性)相關(guān)系數(shù)(Correlation).目前五十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（1）X與Y的相關(guān)系數(shù)(X,Y)是個無量綱的量.（2）Cov(X,Y)與(X,Y)同符號，故從它的取值也可反應(yīng)出X與Y的正相關(guān)，負(fù)相關(guān)和不相關(guān).（3）相關(guān)系數(shù)(X,Y)的另一個解釋是：它是X與Y相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化變量X*與Y*的協(xié)方差Cov(X*,Y*).目前五十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點定理4.5.1(相關(guān)系數(shù)的性質(zhì))（1）|XY|1；（2）|XY|=1常數(shù)a,b，使得

P(Y=aX+b)=1.

X,Y幾乎處處線性相關(guān).目前五十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點說明（1）若XY=0，稱X與Y不（線性）相關(guān)，但它們之間可能有其他的關(guān)系.譬如:平方關(guān)系，對數(shù)關(guān)系等.（2）若XY=1，則稱X與Y完全正相關(guān)；若XY=-1，則稱X與Y完全負(fù)相關(guān).（3）若0

<|XY|<1，則稱X與Y有“一定程度”的線性關(guān)系

|XY|越接近于1，則X與Y的線性相關(guān)程度越高；

|XY|越接近于0，X與Y的線性相關(guān)程度越低.但協(xié)方差看不出這一點.若協(xié)方差很小，而其兩個標(biāo)準(zhǔn)差X,Y也很小，則其比值就不一定很小.目前六十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求X與Y的相關(guān)系數(shù)XY.目前六十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點解目前六十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點于是目前六十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點本題的協(xié)方差很小，可是相關(guān)系數(shù)并不小.從相關(guān)系數(shù)XY

=0.8243看，X與Y有相當(dāng)程度的正相關(guān)；當(dāng)從相應(yīng)的協(xié)方差Cov(X,Y)=0.0471看，X與Y的相關(guān)性很微弱，幾乎可以忽略不計.造成這種錯覺的原因在于是沒有考慮標(biāo)準(zhǔn)差.若兩個標(biāo)準(zhǔn)差都很小，即使是協(xié)方差小一些，相關(guān)系數(shù)也能顯示一定程度的相關(guān)性.由此可見，在協(xié)方差的基礎(chǔ)上加工形成的相關(guān)系數(shù)是更為重要的相關(guān)性的特征數(shù).目前六十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點若(X,Y)N(1,2,12,

22,)，求證XY=.證明一

目前六十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點故目前六十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點證明二令

目前六十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點則于是故目前六十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點一般場合，獨立必然導(dǎo)致不相關(guān)，不相關(guān)推不出獨立.但也有例外，如下面的例子.若(X,Y)N(1,12,

2,22,)，則X與Y相互獨立X與Y不相關(guān)=0.證明由以前的結(jié)論知XY=

，故只需證明X與Y不相關(guān)=0（1）必要性因為XN(1,12,

2,22,0)，所以目前六十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點且XN(1,12),XN(2,22)，于是故所以X與Y相互獨立.目前七十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（2）充分性因為X與Y相互獨立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y)即所以=0.目前七十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點作業(yè)目前七十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4.6分布的其它特征數(shù)(FigureCharacteristic)數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量最重要的兩個特征數(shù)，此外，隨機(jī)變量還有一些其他的特征數(shù)。4.6.1K階矩設(shè)X為隨機(jī)變量，k為正整數(shù).如果以下的數(shù)學(xué)期望都成存在，則(1)X的k階原點矩：(2)X的k階中心矩：目前七十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(3)X與Y的k+l階混合原點矩：(4)X與Y的k+l階混合中心矩：

由于|X|k-1

|X|k+1，所以若X的k階矩存在，則X的k-1階矩也存在，進(jìn)而低于k階的各階矩都存在.目前七十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

4.6.3協(xié)方差矩陣二維隨機(jī)變量(X1,X2)有四個二階中心矩(假設(shè)它們都存在)，它們分別為于是(X1,X2)的協(xié)方差矩陣為目前七十五頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點設(shè)(X1,X2,…,Xn)的二階混合中心矩都存在，令則(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣為因而上述矩陣是一個對稱矩陣.目前七十六頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點

n維正態(tài)隨機(jī)變量具有四條重要性質(zhì)：(1)n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的每一個分量都是正態(tài)變量;反之,若(X1,X2,…,Xn)的每一個分量都是正態(tài)隨機(jī)變量，且相互獨立,則是(X1,X2,…,Xn)

n維正態(tài)隨機(jī)變量。(2)n隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)分布的充要條件是它的任意線性組合：a1X1+a2X2+…+anXn+a0(其中，a12+a22+…+an20)都服從一維正態(tài)分布.目前七十七頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（3）若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，Y1,Y2,…,Ym是X1,X2,…,Xn的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…,Ym)也服從正態(tài)分布.上述性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性.（4）設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨立”“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”.目前七十八頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點作業(yè)沒有目前七十九頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點證明

返回目前八十頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點證明

返回目前八十一頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點證明目前八十二頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點(2)D(C)=0,其中c為常數(shù).證明目前八十三頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點（3）若a,b為常數(shù)，則D(aX+b)=a2D(X)證明目前八十四頁\總數(shù)一百零一頁\編于五點4）若隨機(jī)變量X