高中數(shù)學(xué)人教A版選修4質(zhì)量評(píng)估4

n22n222講末質(zhì)量評(píng)估(四)(時(shí)間：分鐘

滿分：120)一、選擇題(本大題共小題，每小題分，共50．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．用數(shù)學(xué)納法證明“2＞＋1對(duì)于＞的自然數(shù)都成立”時(shí)，第一0步證明中的起始值n應(yīng)取0

()．A．2C．5

B．3D．6解析答案

代入驗(yàn)證易知選C.C2．某個(gè)命與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)＝時(shí)，該命題不成立，那么可推得nk＋1命題也不成立，現(xiàn)在當(dāng)n＝5時(shí)，該命題成立，那么可推得)．A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立

B．＝時(shí)該命題成立D．當(dāng)n4該命題成立解析

依題意當(dāng)＝時(shí)該命題不成立，則當(dāng)＝時(shí)，該命題也不成立．而當(dāng)n5，該命題成立卻無(wú)法判斷n時(shí)該命題成立不成立，故選D.答案

D3設(shè)凸n邊形有fn條對(duì)角線則凸＋邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(＋1)為()．A．(n＋n＋1C．f(n＋n－1

B．()＋D．f()＋n－2解析

凸n1形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸邊形的對(duì)角線的條數(shù)的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)(n2)，再加上原來(lái)有一邊成為對(duì)角線，共有f(n)n1對(duì)角線，故選C.答案

C5n－7n＋44．等1＋2＋＋?＝中的n滿足A．n為任何自然數(shù)時(shí)都成立B．僅當(dāng)n成立C．n＝4時(shí)成立，n＝5時(shí)不成立

()．

n103＋5＋41212n103＋5＋41212＋5412k11k142k1nD．僅當(dāng)＝時(shí)不成立解析答案

代入驗(yàn)證易知選B.B5．欲用數(shù)歸納法證明：對(duì)于足夠大的自然數(shù)，總有＞n，那么驗(yàn)證不等式成立所取的第一個(gè)n的最小值應(yīng)該是

()．A．1C．10解析答案

B．9D．n10且n∈N＋由2＝02410知，故應(yīng)選C6．用數(shù)學(xué)納法證明

42n

(n∈N能被8整除時(shí)，若＝k時(shí)命題成立，＋欲證當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立，對(duì)于3

k2(＋

可變形為

()．A．×3

4

＋

1

＋

＋＋＋

)B．3

4

×3

4

1

＋5

2

×5C．3

4D．25(3＋＋＋

)解析

由3

k

＋

＋＋5＋

＋

1＝813

4

1

＋25×5

2k

＋

＋253

4

1

－25

＋

1＝563

4

＋＋＋5＋

，故選答案

A7用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋?＋n)＝·1·2·?－n∈)從“到＋k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為

()．A．2＋1

B．2(2＋1)C.

2k＋1k＋1

D．4－解析

當(dāng)n，左端的代數(shù)式(k1)(＋2)?k，nk時(shí)，左端的代數(shù)式是＋2)(＋?＋2)乘的代數(shù)式為＋1)選B.答案B

1k1

＝2(2k8．?dāng)?shù){}，已知a＝，當(dāng)n≥2時(shí)，－a＝－，依次計(jì)算，a，n1n

2422242222222222224222422222222222na后，猜想的表達(dá)式是4A．3n－2

B．n

2

()．C．3

n1

D．4－解析答案

計(jì)算出a＝，a＝4＝9a＝16.猜a＝n，故應(yīng)選B.12nB9用數(shù)學(xué)歸納法證明＋2＋3＋?

2

n＋n＝則當(dāng)n＋1左端應(yīng)在n＝的基礎(chǔ)上加上A．

()．B．k＋

2C.

2D．(k＋1)＋(k＋2)＋?k＋解析

∵當(dāng)n，左端＝＋2＋3?，當(dāng)nk1時(shí)左端＝12＋?(＋＋＋＋?＋故＝k1＝k基礎(chǔ)上加上(

＋＋(

＋2)?＋

，故應(yīng)選D.答案

D10若k棱柱有f(個(gè)對(duì)角面，則＋1柱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)為

()．A．2f(k)C．f()＋

B．()－1D．f()＋解析

如圖所示是k棱柱的一個(gè)橫截面，顯然從棱柱k1棱柱Ak

1

發(fā)出的對(duì)角k2條，即相應(yīng)對(duì)角面k2，以AA棱變?yōu)閷?duì)角變?yōu)橄?k應(yīng)的對(duì)角面．故f(k1)f(k＋(k2)＝f(k)－1.答案

B二、填空題本大題共小題，每小題5，共分．將正確答案填在題中橫線上)11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＞n＋對(duì)于≥n的正整數(shù)都成立”時(shí)，第一步0證明中的起始值n應(yīng)取________．0

22222211n＋1n＋nn22222211n＋1n＋nnk1kkkk1k22k2112k12k＋21＋1＋2k＋12k＋2答案

512觀察下式＝；23＋4＝3；＋＋＋＋7＝；4＋6＋＋＋＋107；?可得出第n個(gè)式子為_(kāi)．解析

各式的左邊是第n自然數(shù)到第－個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是奇數(shù)的平方，故可得出第n式子是：n(n1)(n2)?－2)(2n1).答案

n＋n＋1)＋n＋＋?－＝(2n－13設(shè)f(n＝?學(xué)歸納法證明f(n)≥3.在假設(shè)n＝時(shí)成立”后，f1)與f)的系是f(k＋1)＝f(k)·________.解析

當(dāng)n，f(k＝?當(dāng)nk1時(shí)f(＋1)11＝?1所以應(yīng)乘＋

.答案

1＋14如圖所示，第n個(gè)圖形是由正n2形“擴(kuò)展”而來(lái)(＝1,2,3，?則第n－2個(gè)圖形中共有個(gè)頂點(diǎn)．解析

第一個(gè)圖形是由正三角形擴(kuò)展得到，三邊擴(kuò)展得個(gè)頂點(diǎn)，加上三角形的三個(gè)頂點(diǎn)共6；第二個(gè)圖形是由正方形擴(kuò)展得到，四邊擴(kuò)展得4頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)，故增8頂點(diǎn)，因此共12頂點(diǎn)；第三個(gè)圖形是由正五邊形擴(kuò)展得到，五邊擴(kuò)展得5頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閭€(gè)，故增加15頂點(diǎn)，因此共有個(gè)頂點(diǎn)；?－個(gè)圖形是由正邊形擴(kuò)展得到，n邊展得個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閚個(gè)，故增加n2)n頂點(diǎn)，因此

22*1222*12共有nn(n2)n

2

－n頂點(diǎn)．答案

n－三、解答題(本大題共5小題，每小題分，共50．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15分用數(shù)學(xué)歸納法證明：11n＋＋＋?＝(n∈)2×4466×82n4＋證明

當(dāng)n1時(shí)，左邊＝

1＝，2×1×＋右邊＝

1＝4左邊＝右邊，所以等式成立．假設(shè)n(k∈)時(shí)等式成立，即有＋11＋＋＋?＝，2×4466×824則當(dāng)n＝k＋1，

11＋＋＋＋2×4466×822＝

k＋44＝

k4＝

4＝

k＋1k＋1＝44＋1所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(可知，對(duì)于一切∈N等式都成立．＋16分求證：

111＋＋?>1n∈Nn＋1n23n＋1

)．證明

當(dāng)n1時(shí)，左邊＝

1113＋＋＝，不等式成立．1＋112＋111假設(shè)nk(k≥時(shí)，＋＋?>1成立，k＋1k＋2＋1

2**248n*n1n－*k2*2**248n*n1n－*k2*當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋?＋＋＋k＋2k＋33＋13k＋231111＝(＋＋＋?)＋＋＋－k＋1k＋2k＋33k＋13k＋23k＋11113>1＋＋＋－3k＋23＋43＝1＋

112＋－.3k＋23＋43由

12＋－3k＋23＋46k＋6＋6＝－，29k＋18k＋9∴1＋

112＋－>1，3k＋23＋43∴對(duì)n＝k＋1，不等式成立．由(，知，對(duì)一切自然數(shù)(n∈N)，不等式都成立．17)數(shù)列{}足＝－(∈N)．n計(jì)算a，a，，，并由此猜想通項(xiàng)公式a；1n用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．解

當(dāng)n1，a＝S＝－a，∴a＝11113當(dāng)n＝2時(shí)，a＋＝＝×－a，∴＝17當(dāng)n＝3時(shí)，a＋＋a＝＝×－a，∴a＝.1315當(dāng)n＝4時(shí)，a＋＋a＋＝＝×4－，∴a＝142－由此猜想a＝(∈N)2當(dāng)n1，a＝，結(jié)論成立．1假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N)時(shí)，結(jié)論成立，即a＝k

2－k1

，那么n＝k＋1(k≥1且k∈N)時(shí)，a＝S－S＝2(k＋a－2＋ak1k1k＋1

k

kk1k－k＋222kn*21ann11annan1111aannn－annn111a11112a2a2kk1k－k＋222kn*21ann11annan1111aannn－annn111a11112a2a2＝2＋a－ak＋∴2a＝2＋ak1k2－12＋2＋a2＋－1∴a＝＝＝，k這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立，2－所以a＝(∈N)．nn118)已知正項(xiàng)數(shù)列{}足S＝nn求a、a、并推測(cè)a；1n用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．解

由S＝＋n2當(dāng)n≥2時(shí)，

n

1＝2

1a＋－n∴a＝＋2n1整理得：a－＝－

a＋－

1n由S＝a＝，又a，∴＝111a－＝－，即a＋2＋1＝2.2221∴a＝21a－＝－22，即a＋2a＋＝3233∴a＝32，可推測(cè)a＝－－3證明

①由(知a＝1，滿足a＝－－＝，11故當(dāng)n＝1時(shí)，a＝n－－成立．n②假設(shè)n＝時(shí)，a＝－1k當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a

k

＋

1

1－＝－2kak1即a

＋2ka＋k＝k＋1，∴a＝＋1－k1k＋即當(dāng)n＝k＋1，a＝－－n

*2nn*22112233223111122233k3223＋23kk22k1*2n*2nn*22112233223111122233k3223＋23kk22k1*2n2n33nnnnn22由①②知數(shù)列{}通項(xiàng)公式為a＝n－n－1，nN.n19)設(shè)x>0，x≠1，且x11＋10<x<1，則x<x1n1

x＝，n∈.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果3＋n證明

用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果0<<1，則0<x<1.1nx＋3n1，x＝，3＋1因?yàn)?<<1，所以－1)