圓的標準方程

圓的標準方程教材結構分析

《圓的方程》安排在高中數學必修二第四章第一節(jié).圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用.圓的方程屬于解析幾何學的基礎知識，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內容的學習，無論在知識上還是方法上都有著積極的意義，所以本節(jié)內容在整個解析幾何中起著承前啟后的作用.教學目標知識與技能1.掌握圓的標準方程；2.會由圓的標準方程寫出圓的半徑和圓心坐標，能根據條件寫出圓的標準方程；3.利用圓的標準方程解決簡單的實際問題.教學目標

過程與方法1.進一步培養(yǎng)學生用代數方法研究幾何問題的能力；2.加深對數形結合思想的理解以及對待定系數法的運用；3.通過圓的方程在實際中的應用，增強學生用數學的意識.教學目標

情感、態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學生主動探究知識、合作交流的意識；2.通過圓的方程在實際中的應用，體驗數學與生活的聯系，培養(yǎng)學生用數學的眼光審視現實生活問題的意識。教學重點與難點

重點:

圓的標準方程的求法及其應用.

難點：

1.會根據不同的已知條件求圓的標準方程；

2.選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題.教學過程與設計創(chuàng)設情境，啟迪思維深入探究，獲得新知應用舉例，鞏固提高反饋訓練，形成方法小結反思，拓展引申創(chuàng)設情境，啟迪思維

問題一：最著名的古橋要數我國河北趙縣建于1500年前的單拱石橋——趙州橋，它的設計思想和建造工藝師世界石拱橋的卓越典范，對直接后代的橋梁建筑有著十分深遠的影響。它全長64.40米，最大圓拱跨徑37.4米，拱高7.2米。這座橋建得科學合理精巧新奇，造型優(yōu)美，通體為巨大花崗巖石塊組成，很像天上的長虹，如此雄偉秀逸的圓拱形的建筑，是著名匠師李春建造的。它的建造應該說是中國古代數學、物理學、工程學融合的結晶，體現了中國古代勞動人民的智慧和力量。在贊嘆之余，我們能否確定出圓拱所屬圓的大小和中心呢？什么叫做圓？深入探究獲得新知圓的定義：平面內與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）是圓。定點就是圓心，定長就是半徑

哪幾個要素定圓？圓心定位半徑定形深入探究，獲得新知問題二:

1．你能得到圓心在原點，半徑為r的圓的方程？2．如果圓心在C(a,b)，半徑為r時又如何呢？OA(-r,0)P(x,y)B(r,0)YX取圓上任意一點P(x,y)，則：OP=r即：于是這就是圓心在原點、半徑為r的圓的方程如果一個圓的圓心不在原點，而在點C（ɑ，b）上，且半徑為r，求此圓的方程。X0根椐兩點間的距離公式得：即：現在讓我們來看看這個問題：YX0Y應用舉例，鞏固提高直接應用內化新知問題三：寫出圓心為，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點，是否在這個圓上．

解：圓心是，半徑長等于5的圓的標準方程是：

把的坐標代入方程左右兩邊相等，點的坐標適合圓的方程，所以點在這個圓上；

把點的坐標代入此方程，左右兩邊不相等，點Ｍ２的坐標不適合圓的方程，所以點Ｍ２不在這個圓上．

怎樣判斷點在圓內呢？還是在圓外呢？點與圓的位置關系AxyoM1M3M2

從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需將這個點的坐標代入這個圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個圓上，反之如果不成立則不在這個圓上．

如果設點M到圓心的距離為d,則可以看到：點在圓上d=r

；點在圓外d>r；點在圓內d<r．

問題四：

的三個頂點的坐標分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．待定系數法解法一解：設所求圓的方程是(1)

因為A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（1）．于是所求圓的方程為靈活應用提升能力應用舉例，鞏固提高確定圓的方程的方法和步驟1．圓的標準方程中含有三個參變數，必須具備三個獨立的條件；才能定出一個圓的方程，當已知曲線為圓時，一般采用待定系數法求圓的方程。2．求圓的標準方程的一般步驟為：（1）根據題意，設所求的圓的標準方程為:

(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根據已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解此方程組，求出a、b、r的值；（4）將所得的a、b、r的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的標準方程.“設”、“列”、“求”圓心：兩條弦的中垂線的交點半徑：圓心到圓上一點xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)G

問題四：

的三個頂點的坐標分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．DE靈活應用提升能力應用舉例，鞏固提高問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）.實際運用，回歸自然A1A2A3A4ABOPP2xy解：建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，b）圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。反饋訓練，形成方法問題六:

1．寫出下列各圓的標準方程：（1）圓心在原點，半徑為3；（2）經過點P（5，1），圓心在點C（8，-3）。

2．寫出下列各圓的圓心坐標和半徑.

（1）(x+2)2+y2=(-2)2

（2）(x-4)2+(y+3)2=5（3）(x+a)2+y2=a23.已知三角形AOB的頂點坐標分別是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求三角形AOB的外接圓方程。解：設所求外接圓的方程為所求圓的方程為P121練習3圓心：直徑的中點半徑：直徑的一半解：設點C（a，b）為直徑的中點，則圓的方程為因此點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內。圓心坐標為（5，6）小結反思，拓展引申圓心C(a,b),半徑rxyOGABC1.圓的標準方程2.圓心①兩條直線的交點（弦的垂直平分線）②直徑的中點3.會用待定系數法求圓的方程小結反思，拓展引申分層作業(yè) （A）鞏固型作業(yè)：教材P124：（習題4.1）1，2，3. （B）思維拓展型作業(yè)：試推導過圓x2+y2=r2上一點M(xo,yo)的切線方程小結反思，拓展引申激發(fā)新疑課后練習:

1．把圓的標準方程展開后是什么形式？2．方程表示什么圖形？學情分析圓的方程是學生在初中學習了圓的概念和基本性質的基礎上進行研究的.但由于學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對坐標法的運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現困難.另外學生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強.教學方法——“啟發(fā)式”問題教學法

學法分析1.坐標法2.三個獨立條件確定圓3.求a,b,r時可用待定系數法教學評價（一）突出重點抓住關鍵突破難點（二）學生主體教師主導探究主線（三）培養(yǎng)思維提升能力激勵創(chuàng)新直接運用靈活運用實際運用a,b,r與圓的標準方程的關系待定系數法求a,b,r應用舉例，鞏固提高問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）.實際運用，回歸自然A1A2A3A4ABOPP2xy問題二:1．根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為r的圓的方程？2．如果圓心在C(a,b)，半徑為r時又如何呢？1.一般思路：坐標法2.利用圖形變換(平移)。

問題四：

的三個頂點的坐標分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．1.待定系數法；2.通過求圓心、半徑寫出圓的標準方程。由特殊到一般歸納一般性結論圓心在原點時，半徑為r的圓的標準方程為：x2+y2=r2

(特殊).圓心為C(a,b)，半徑為