專題20 新定義型二次函數(shù)問題(學(xué)生版)-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練（全國(guó)通用版）

備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突圍訓(xùn)練(全國(guó)通用版)專題20新定義型二次函數(shù)問題【典型例題】1．(2021·江蘇吳中·二模)定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù))與y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù))滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“N”函數(shù)．(1)寫出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函數(shù)的表達(dá)式；(2)若題(1)中的兩個(gè)“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的值；(3)如圖，二次函數(shù)y1與y2互為“N”函數(shù)，A、B分別是“N”函數(shù)y1與y2圖象的頂點(diǎn)，C是“N”函數(shù)y2與y軸正半軸的交點(diǎn)，連接AB、AC、BC，若點(diǎn)A(﹣2，1)且△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【專題訓(xùn)練】解答題1．(2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期末)“三高四新”戰(zhàn)略是習(xí)近平總書記來湘考察時(shí)，為建設(shè)現(xiàn)代化新湖南擘畫的宏偉戰(zhàn)略藍(lán)圖．在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)稱為“三高四新”點(diǎn)，經(jīng)過的函數(shù)，稱為“三高四新”函數(shù)．(1)下列函數(shù)是“三高四新”函數(shù)的有_____；①

②

③

④(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)是“三高四新”函數(shù)，且它與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，求k的取值范圍；(3)關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A，點(diǎn)和點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)且使得，試判斷直線MN是否為“三高四新”函數(shù)，并說明理由．2．(2021·山西大同·九年級(jí)期中)請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為的二次函數(shù)與(，)稱為一對(duì)“親密函數(shù)”，如的“親密函數(shù)”是．任務(wù)：(1)寫出二次函數(shù)的“親密函數(shù)”：______；(2)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，它的“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)()的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是______；(3)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，請(qǐng)利用(2)中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．(2020·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)(衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán))九年級(jí)期末)定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其頂點(diǎn)與這兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．(1)已知一條拋物線是“美麗拋物線”，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(1，0)、(5，0)，則此拋物線的頂點(diǎn)為；(2)若拋物線y＝x2﹣bx(b＞0)是“美麗拋物線”，求b的值；(3)如圖，拋物線y＝ax2+bx+c是“美麗拋物線”，此拋物線頂點(diǎn)為B(1，2)，與軸交與A，C，AB與y軸交于點(diǎn)D，連接OB，在拋物線找一點(diǎn)Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．4．(2021·北京房山·九年級(jí)期中)定義：如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，拋物線的頂點(diǎn)(0，0)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)(1，1)也在拋物線上，所以拋物線與關(guān)聯(lián)．(1)已知拋物線C1：，分別判斷拋物線C2：和拋物線C3：與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；(2)拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將拋物線M1繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析式；(3)拋物線M1：的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點(diǎn)B1恰好在y軸上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)．5．(2021·山東中區(qū)·九年級(jí)期末)定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．例如：y1＝(x﹣1)2﹣2的“同軸對(duì)稱拋物線”為y2＝﹣(x﹣1)2+2．(1)請(qǐng)寫出拋物線y1＝(x﹣1)2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱拋物線”y2＝﹣(x﹣1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式．(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、，連接BC、、、．①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．6．(2021·山東乳山·模擬預(yù)測(cè))【信息提取】新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友好拋物線”．新知識(shí)：對(duì)于直線和．若，則直線與互相垂直；若直線與互相垂直，則．【感知理解】(1)若拋物線的“友好拋物線”為．則h，k的值分別是；(2)若拋物線與互為“友好拋物線”．則b與n的數(shù)量關(guān)系為，c與q的數(shù)量關(guān)系為．【綜合應(yīng)用】(3)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為E，的“友好拋物線”的頂點(diǎn)為F，過點(diǎn)O的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在B的左側(cè))，與拋物線交于點(diǎn)C，D(點(diǎn)C在D的左側(cè))．若四邊形AFDE為菱形，求AB的長(zhǎng)；7．(2021·江蘇·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模)定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)在左側(cè)的拋物線的部分；當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)在右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線的一對(duì)伴隨拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線(y軸)的一對(duì)伴隨拋物線．(1)求拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)A，交直線于點(diǎn)B．①求直線平行于x軸時(shí)的m的值．②求是直角時(shí)拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)．8．(2021·浙江·九年級(jí)期末)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條線段，若拋物線的頂點(diǎn)是A，經(jīng)過點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)是B，經(jīng)過點(diǎn)A，稱這兩條拋物線是關(guān)于線段的一對(duì)“有禮拋物線”，如圖所示．(1