數(shù)學(xué)（江蘇專(zhuān)用理科提高版）大一輪復(fù)習(xí)自主學(xué)習(xí)第32課平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

第32課平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】第32課平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算(本課時(shí)對(duì)應(yīng)同學(xué)用書(shū)第87~88頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修4P82習(xí)題6改編)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且=2，Q是AC的中點(diǎn)，假設(shè)=(4，3)，=(1，5)，那么=.【答案】(6，21)【解析】=3=3(2)=63=(6，30)(12，9)=(6，21).2.(必修4P87習(xí)題1改編)向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.3.(必修4P73習(xí)題1改編)點(diǎn)A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x2y)，假設(shè)a與向量相等，那么xy=.【答案】1【解析】由于=(3，0)，a=，所以解得所以xy=1.4.(必修4P97復(fù)習(xí)題改編)向量a=(3，4)，向量b∥a，且|b|=1，那么b=.【答案】或【解析】設(shè)b=(x，y)，由題意得4x+3y=0，=1，解得或5.(必修4P97復(fù)習(xí)題10改編)向量a=(3，1)，b=(1，2)，假設(shè)(2a+b)⊥(ka+b)，那么實(shí)數(shù)k=.【答案】【解析】由(2a+b)⊥(ka+b)，得(7，4)·(13k，k2)=0，即7(13k)4(k2)=0，解得k=.1.平面對(duì)量的根本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底.2.向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，記=a，=b，那么∠AOB叫作向量a與b的夾角，夾角θ的取值范圍為[0°，180°].當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向；當(dāng)θ=90°時(shí)，那么稱(chēng)向量a與b垂直.3.平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a+b=(x1+x2，y1+y2)，ab=(x1x2，y1y2)，λa=(λx1，λy1)，那么|a|=.(2)假設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐標(biāo)為(x2x1，y2y1).(3)兩個(gè)向量平行的充要條件：設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，那么a∥bx1y2x2y1=0.(4)兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=0.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破平面對(duì)量根本定理的應(yīng)用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是，的中點(diǎn)，=k(k≠1)，設(shè)=e1，=e2，選擇基底{e1，e2}，試寫(xiě)出向量，，在此基底下的分解式.【思維引導(dǎo)】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最終利用+++=0，求得.【解答】如圖，由于=e2，且=k，(例1)所以=k=ke2.又由于+++=0，所以==++=e2+ke2+e1=e1+(k1)e2.又+++=0，所以==+=+e2=[e1+(k1)e2]+e2e1=e2.【精要點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用平行向量的根本定理及向量的多邊形加法法那么是解決此題的關(guān)鍵.變式(1)如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)=a，=b，假設(shè)=2，那么=.(用a和b表示)(變式(1))(2)如圖，向量=a，=b，=c，A，B，C三點(diǎn)在一條直線上，且=3，那么c=.(用a，b表示)(變式(2))(3)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3+4+5=0，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，假設(shè)=a，=b，用a，b表示向量，.(1)【答案】a+b【解析】由于=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】a+b【解析】由于=3，所以=3()，所以=+，即c=a+b.(3)【解答】由于==a，==b，又由于3+4+5=0，所以3+4(a)+5(b)=0，化簡(jiǎn)得=a+b.設(shè)=t(t∈R)，那么=ta+tb.①又設(shè)=k(k∈R)，由==ba，得=k(ba).而=+=a+，所以=a+k(ba)=(1k)a+kb.②由①②，得解得t=，代入①，有=a+b.平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算例2點(diǎn)A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).設(shè)=a，=b，=c，且=3c，=2b.(1)求3a+b3c；(2)求滿(mǎn)意a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n的值；(3)求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).【解答】由得a=(5，5)，b=(6，3)，c=(1，8).(1)3a+b3c=3(5，5)+(6，3)3(1，8)=(6，42).(2)由于mb+nc=(6m+n，3m+8n)，所以解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由于==3c，所以=3c+=(3，24)+(3，4)=(0，20)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，20).又由于==2b，所以=2b+=(12，6)+(3，4)=(9，2)，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9，2)，所以=(9，18).【精要點(diǎn)評(píng)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法那么進(jìn)行.假設(shè)有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，那么應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要留意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法那么.變式(2015·江蘇卷)向量a=(2，1)，b=(1，2)，假設(shè)ma+nb=(9，8)(m，n∈R)，那么mn的值為.【答案】3【解析】由于ma+nb=(2m+n，m2n)=(9，8)，所以解得故mn=3.【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.(2015·福建卷)設(shè)向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.假設(shè)b⊥c，那么實(shí)數(shù)k的值為.【答案】【解析】c=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，由于b⊥c，所以b·c=1×(1+k)+1×(2+k)=3+2k=0，所以k=.2.(2014·重慶卷)向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a3b)⊥c，那么實(shí)數(shù)k=.【答案】3【解析】由于2a3b=2(k，3)3(1，4)=(2k3，6)，又(2a3b)⊥c，所以(2k3)×2+(6)=0，解得k=3.3.設(shè)向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線?【解答】方法一：假設(shè)使得A，B，C三點(diǎn)共線，那么需向量與共線.所以存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ.而==(4k，7)，==(10k，k12).所以(4k，7)=λ(10k，k12)，即解得k=2或k=11.方法二：由于==(4k，7)，==(10k，k12)，假設(shè)向量與共線，那么(4k)(k12)=7(10k)，解得k=2或k=11.4.(2015·全國(guó)卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa+b與a+2b平行，那么實(shí)數(shù)λ=.【答案】【解析】由于向量λa+b與a+2b平行，所以λa+b=k(a+2b)，那么所以λ=.5.(2015·湖南卷)點(diǎn)A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，那么|++|的最大值為.【答案】7【解析】由于A，B，C均在單位圓上，且AB⊥BC，知A，C為直徑的端點(diǎn)，所以可令A(yù)(cosx，sinx)，那么B(cos(x+α)，sin(x+α))，C(cosx，sinx)，0<α<π，那么++=(cos(x+α)6，sin(x+α))，所以|++|==≤7.向量的平行與垂直例3向量a=(m，1)，b=.(1)假設(shè)a∥b，求實(shí)數(shù)m的值；(2)假設(shè)a⊥b，求實(shí)數(shù)m的值；(3)假設(shè)a⊥b，且存在非零實(shí)數(shù)k，t，使得[a+(t23)b]⊥(ka+tb)，求的最小值.【思維引導(dǎo)】圍繞平行和垂直進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是把握平行和垂直的充要條件.求最小值那么需要通過(guò)函數(shù)來(lái)解決.判定兩個(gè)向量垂直，只要證明它們的數(shù)量積為0即可；由兩個(gè)向量垂直，可以得到k與t的關(guān)系，從而將表示為一個(gè)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)學(xué)問(wèn)求解即可.【解答】(1)由于a=(m，1)，b=，且a∥b，所以m×(1)=0，解得m=.(2)由于a=(m，1)，b=，且a⊥b，所以a·b=0，即m+(1)×=0，解得m=.(3)由(2)可知m=，|a|==2，|b|=1，由條件得[a+(t23)b]·(ka+tb)=0，即ka2+(t23)tb2=0，k|a|2+(t23)t|b|2=0，所以k=.故==(t2+4t3)=(t+2)2.所以當(dāng)t=2時(shí)，有最小值.【精要點(diǎn)評(píng)】把握向量的數(shù)量積，通過(guò)轉(zhuǎn)化為t的關(guān)系式即可求解.1.點(diǎn)M(3，2)，N(5，1)，假設(shè)=，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)P(x，y)，那么=(x3，y+2)，=(8，1)，由=，得(x3，y+2)=(8，1)，解得x=1，y=，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2.(2015·鎮(zhèn)江期末)向量a=(2x1，1)，b=(2，x+1)，假設(shè)a⊥b，那么實(shí)數(shù)x=.【答案】1【解析】由于a⊥b，所以a·b=0，所以2(2x1)x1=0，解得x=1.3.(2015·南京調(diào)研)向量a=(2，1)，b=(0，1).假設(shè)(a+λb)⊥a，那么實(shí)數(shù)λ=.【答案】5【解析】由于(a+λb)⊥a，所以(a+λb)·a=0，即a2+λa·b=0，所以5λ=0，解得λ=5.4.(2015·蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江二模)向量a=(1，2)，b=(0，1)，c=(k，2)，假設(shè)(a2b)⊥c，那么實(shí)數(shù)k=.【答案】8【解析】由于a2b=(1，4)，所以(a2b)·c=k8=0，解得k=8.5.向量a=(sinα，2)，b=(1，cosα)，其中α∈.(1)問(wèn)：向量a，b能平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)假設(shè)a⊥b，求sinα和cosα的值；(3)在(2)的條件下，假設(shè)cosβ=，β∈，求α+β的值.【解答】(1)向量a，b不能平行.假設(shè)平行，需sinαcosα+2=0，即sin2α=4，而4[1，1]，所以向量a，b不能平行.(2)由于a⊥b，所以a·b=sinα2cosα=0，即sinα=2cosα.又由于sin2α+cos2α=1，所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α=，所以sin2α=，又由于α∈，所以sinα=，cosα=.(3)由(2)知sinα=，cosα=，cosβ=，β∈，得sinβ=.那么cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=××=.又α+β∈(0，π)，所以α+β=.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成?配套檢測(cè)與評(píng)估?中的練習(xí)第63~64頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第32課平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算一、填空題1．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，假設(shè)=(2，4)，=(1，3)，那么=.2．假設(shè)a+b=(2，8)，ab=(8，6)，那么向量a=，b=.3．向量a=(sinx，cosx)，b=(1，2)，且a∥b，那么tanx=.4．(2016·南京期初)向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，那么實(shí)數(shù)m的值為.5．點(diǎn)M(3，2)，N(1，2)，a=(x+3，x3y4)，且a與相等，那么實(shí)數(shù)y的值為.6．向量a=(，1)，b=(0，1)，c=(k，).假設(shè)a2b與c共線，那么實(shí)數(shù)k=.7．(2014·湖北卷)向量a=(3，3)，b=(1，1).假設(shè)(a+λb)⊥(aλb)，那么實(shí)數(shù)λ=.8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)向量p=(a+c，b)，q=(ba，ca)，且p∥q，那么角C=.二、解答題9．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3，2)，b=(1，2)，c=(4，1).(1)假設(shè)(a+kc)∥(2ba)，求實(shí)數(shù)k的值；(2)設(shè)向量d=(x，y)滿(mǎn)意(dc)∥(a+b)且|dc|=1，求d.10．向量a=(sinθ，cosθ2sinθ)，b=(1，2).(1)假設(shè)a∥b，求tanθ的值；(2)假設(shè)|a|=|b|，0<θ<π，求θ的值.11．點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上?點(diǎn)P在y軸上?點(diǎn)P在第三象限?(2)四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形?假設(shè)能，求出t的值；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.三、選做題12．點(diǎn)A(7，1)，B(1，4)，直線y=ax與線段AB交于點(diǎn)C，且=2，那么實(shí)數(shù)a=.13．設(shè)G為△ABC的重心，假設(shè)△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)意+2+2=0，那么的值為.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第32課平面對(duì)量的根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1．(3，5)【解析】在平行四邊形ABCD中，==()=2=(1，3)2(2，4)=(3，5).2．(3，1)(5，7)3．【解析】a∥b2sinxcosx=0tanx=.4．2【解析】由于a=(1，2)，b=(m，4)，所以2a+b=(m+2，8).由于a∥(2a+b)，所以2(m+2)=8×1，解得m=2．5．【解析】由=(2，0)=a=(x+3，x3y4)，得解得6．1【解析】由于a2b=(，3)，所以由a2b與c共線，得×3k=0，解得k=1．7．±3【解析】由于a+λb=(3+λ，3λ)，aλb=(3λ，3+λ)，(a+λb)⊥(aλb)，所以(3+λ)(3λ)+(3λ)(3+λ)=0，解得λ=±3．8．60°【解析】由于p∥q，那么(a+c)(ca)b(ba)=0，所以a2+b2c2=ab，即=，結(jié)合余弦定理知cosC=.又由于0°<C<180°，所以C=60°.9．(1)由于(a+kc)∥(2ba)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2ba=(5，2)，所以2·(3+4k)(5)·(2+k)=0，所以k=.(2)由于dc=(x4，y1)，a+b=