數(shù)學（江蘇專用理科提高版）大一輪復習自主學習第32課平面向量的基本定理及坐標運算

第32課平面對量的根本定理及坐標運算【自主學習】第32課平面對量的根本定理及坐標運算(本課時對應同學用書第87~88頁)自主學習回歸教材1.(必修4P82習題6改編)在△ABC中，點P在BC上，且=2，Q是AC的中點，假設=(4，3)，=(1，5)，那么=.【答案】(6，21)【解析】=3=3(2)=63=(6，30)(12，9)=(6，21).2.(必修4P87習題1改編)向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.3.(必修4P73習題1改編)點A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x2y)，假設a與向量相等，那么xy=.【答案】1【解析】由于=(3，0)，a=，所以解得所以xy=1.4.(必修4P97復習題改編)向量a=(3，4)，向量b∥a，且|b|=1，那么b=.【答案】或【解析】設b=(x，y)，由題意得4x+3y=0，=1，解得或5.(必修4P97復習題10改編)向量a=(3，1)，b=(1，2)，假設(2a+b)⊥(ka+b)，那么實數(shù)k=.【答案】【解析】由(2a+b)⊥(ka+b)，得(7，4)·(13k，k2)=0，即7(13k)4(k2)=0，解得k=.1.平面對量的根本定理e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內全部向量的一組基底.2.向量的夾角兩個非零向量a與b，記=a，=b，那么∠AOB叫作向量a與b的夾角，夾角θ的取值范圍為[0°，180°].當θ=0°時，a與b同向；當θ=180°時，a與b反向；當θ=90°時，那么稱向量a與b垂直.3.平面對量的坐標運算(1)設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a+b=(x1+x2，y1+y2)，ab=(x1x2，y1y2)，λa=(λx1，λy1)，那么|a|=.(2)假設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐標為(x2x1，y2y1).(3)兩個向量平行的充要條件：設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0，那么a∥bx1y2x2y1=0.(4)兩個非零向量垂直的充要條件：設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=0.【要點導學】要點導學各個擊破平面對量根本定理的應用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是，的中點，=k(k≠1)，設=e1，=e2，選擇基底{e1，e2}，試寫出向量，，在此基底下的分解式.【思維引導】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最終利用+++=0，求得.【解答】如圖，由于=e2，且=k，(例1)所以=k=ke2.又由于+++=0，所以==++=e2+ke2+e1=e1+(k1)e2.又+++=0，所以==+=+e2=[e1+(k1)e2]+e2e1=e2.【精要點評】應用平行向量的根本定理及向量的多邊形加法法那么是解決此題的關鍵.變式(1)如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設=a，=b，假設=2，那么=.(用a和b表示)(變式(1))(2)如圖，向量=a，=b，=c，A，B，C三點在一條直線上，且=3，那么c=.(用a，b表示)(變式(2))(3)P為△ABC內一點，且3+4+5=0，延長AP交BC于點D，假設=a，=b，用a，b表示向量，.(1)【答案】a+b【解析】由于=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】a+b【解析】由于=3，所以=3()，所以=+，即c=a+b.(3)【解答】由于==a，==b，又由于3+4+5=0，所以3+4(a)+5(b)=0，化簡得=a+b.設=t(t∈R)，那么=ta+tb.①又設=k(k∈R)，由==ba，得=k(ba).而=+=a+，所以=a+k(ba)=(1k)a+kb.②由①②，得解得t=，代入①，有=a+b.平面對量的坐標運算例2點A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).設=a，=b，=c，且=3c，=2b.(1)求3a+b3c；(2)求滿意a=mb+nc的實數(shù)m，n的值；(3)求點M，N的坐標及向量的坐標.【解答】由得a=(5，5)，b=(6，3)，c=(1，8).(1)3a+b3c=3(5，5)+(6，3)3(1，8)=(6，42).(2)由于mb+nc=(6m+n，3m+8n)，所以解得(3)設O為坐標原點，由于==3c，所以=3c+=(3，24)+(3，4)=(0，20)，所以點M的坐標為(0，20).又由于==2b，所以=2b+=(12，6)+(3，4)=(9，2)，所以點N的坐標為(9，2)，所以=(9，18).【精要點評】向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法那么進行.假設有向線段兩端點的坐標，那么應先求出向量的坐標，解題過程中要留意方程思想的運用及正確使用運算法那么.變式(2015·江蘇卷)向量a=(2，1)，b=(1，2)，假設ma+nb=(9，8)(m，n∈R)，那么mn的值為.【答案】3【解析】由于ma+nb=(2m+n，m2n)=(9，8)，所以解得故mn=3.【高頻考點·題組強化】1.(2015·福建卷)設向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.假設b⊥c，那么實數(shù)k的值為.【答案】【解析】c=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，由于b⊥c，所以b·c=1×(1+k)+1×(2+k)=3+2k=0，所以k=.2.(2014·重慶卷)向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a3b)⊥c，那么實數(shù)k=.【答案】3【解析】由于2a3b=2(k，3)3(1，4)=(2k3，6)，又(2a3b)⊥c，所以(2k3)×2+(6)=0，解得k=3.3.設向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，當k為何值時，A，B，C三點共線?【解答】方法一：假設使得A，B，C三點共線，那么需向量與共線.所以存在實數(shù)λ，使得=λ.而==(4k，7)，==(10k，k12).所以(4k，7)=λ(10k，k12)，即解得k=2或k=11.方法二：由于==(4k，7)，==(10k，k12)，假設向量與共線，那么(4k)(k12)=7(10k)，解得k=2或k=11.4.(2015·全國卷)設向量a，b不平行，向量λa+b與a+2b平行，那么實數(shù)λ=.【答案】【解析】由于向量λa+b與a+2b平行，所以λa+b=k(a+2b)，那么所以λ=.5.(2015·湖南卷)點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC.假設點P的坐標為(2，0)，那么|++|的最大值為.【答案】7【解析】由于A，B，C均在單位圓上，且AB⊥BC，知A，C為直徑的端點，所以可令A(cosx，sinx)，那么B(cos(x+α)，sin(x+α))，C(cosx，sinx)，0<α<π，那么++=(cos(x+α)6，sin(x+α))，所以|++|==≤7.向量的平行與垂直例3向量a=(m，1)，b=.(1)假設a∥b，求實數(shù)m的值；(2)假設a⊥b，求實數(shù)m的值；(3)假設a⊥b，且存在非零實數(shù)k，t，使得[a+(t23)b]⊥(ka+tb)，求的最小值.【思維引導】圍繞平行和垂直進行坐標運算的關鍵是把握平行和垂直的充要條件.求最小值那么需要通過函數(shù)來解決.判定兩個向量垂直，只要證明它們的數(shù)量積為0即可；由兩個向量垂直，可以得到k與t的關系，從而將表示為一個變量的函數(shù)，再利用函數(shù)學問求解即可.【解答】(1)由于a=(m，1)，b=，且a∥b，所以m×(1)=0，解得m=.(2)由于a=(m，1)，b=，且a⊥b，所以a·b=0，即m+(1)×=0，解得m=.(3)由(2)可知m=，|a|==2，|b|=1，由條件得[a+(t23)b]·(ka+tb)=0，即ka2+(t23)tb2=0，k|a|2+(t23)t|b|2=0，所以k=.故==(t2+4t3)=(t+2)2.所以當t=2時，有最小值.【精要點評】把握向量的數(shù)量積，通過轉化為t的關系式即可求解.1.點M(3，2)，N(5，1)，假設=，那么點P的坐標為.【答案】【解析】設P(x，y)，那么=(x3，y+2)，=(8，1)，由=，得(x3，y+2)=(8，1)，解得x=1，y=，所以點P的坐標為.2.(2015·鎮(zhèn)江期末)向量a=(2x1，1)，b=(2，x+1)，假設a⊥b，那么實數(shù)x=.【答案】1【解析】由于a⊥b，所以a·b=0，所以2(2x1)x1=0，解得x=1.3.(2015·南京調研)向量a=(2，1)，b=(0，1).假設(a+λb)⊥a，那么實數(shù)λ=.【答案】5【解析】由于(a+λb)⊥a，所以(a+λb)·a=0，即a2+λa·b=0，所以5λ=0，解得λ=5.4.(2015·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江二模)向量a=(1，2)，b=(0，1)，c=(k，2)，假設(a2b)⊥c，那么實數(shù)k=.【答案】8【解析】由于a2b=(1，4)，所以(a2b)·c=k8=0，解得k=8.5.向量a=(sinα，2)，b=(1，cosα)，其中α∈.(1)問：向量a，b能平行嗎?請說明理由；(2)假設a⊥b，求sinα和cosα的值；(3)在(2)的條件下，假設cosβ=，β∈，求α+β的值.【解答】(1)向量a，b不能平行.假設平行，需sinαcosα+2=0，即sin2α=4，而4[1，1]，所以向量a，b不能平行.(2)由于a⊥b，所以a·b=sinα2cosα=0，即sinα=2cosα.又由于sin2α+cos2α=1，所以4cos2α+cos2α=1，即cos2α=，所以sin2α=，又由于α∈，所以sinα=，cosα=.(3)由(2)知sinα=，cosα=，cosβ=，β∈，得sinβ=.那么cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=××=.又α+β∈(0，π)，所以α+β=.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成?配套檢測與評估?中的練習第63~64頁.【檢測與評估】第32課平面對量的根本定理及坐標運算一、填空題1．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，假設=(2，4)，=(1，3)，那么=.2．假設a+b=(2，8)，ab=(8，6)，那么向量a=，b=.3．向量a=(sinx，cosx)，b=(1，2)，且a∥b，那么tanx=.4．(2016·南京期初)向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，那么實數(shù)m的值為.5．點M(3，2)，N(1，2)，a=(x+3，x3y4)，且a與相等，那么實數(shù)y的值為.6．向量a=(，1)，b=(0，1)，c=(k，).假設a2b與c共線，那么實數(shù)k=.7．(2014·湖北卷)向量a=(3，3)，b=(1，1).假設(a+λb)⊥(aλb)，那么實數(shù)λ=.8．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設向量p=(a+c，b)，q=(ba，ca)，且p∥q，那么角C=.二、解答題9．平面內給定三個向量a=(3，2)，b=(1，2)，c=(4，1).(1)假設(a+kc)∥(2ba)，求實數(shù)k的值；(2)設向量d=(x，y)滿意(dc)∥(a+b)且|dc|=1，求d.10．向量a=(sinθ，cosθ2sinθ)，b=(1，2).(1)假設a∥b，求tanθ的值；(2)假設|a|=|b|，0<θ<π，求θ的值.11．點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t.(1)當t為何值時，點P在x軸上?點P在y軸上?點P在第三象限?(2)四邊形OABP能否構成平行四邊形?假設能，求出t的值；假設不能，請說明理由.三、選做題12．點A(7，1)，B(1，4)，直線y=ax與線段AB交于點C，且=2，那么實數(shù)a=.13．設G為△ABC的重心，假設△ABC所在平面內一點P滿意+2+2=0，那么的值為.【檢測與評估答案】第32課平面對量的根本定理及坐標運算1．(3，5)【解析】在平行四邊形ABCD中，==()=2=(1，3)2(2，4)=(3，5).2．(3，1)(5，7)3．【解析】a∥b2sinxcosx=0tanx=.4．2【解析】由于a=(1，2)，b=(m，4)，所以2a+b=(m+2，8).由于a∥(2a+b)，所以2(m+2)=8×1，解得m=2．5．【解析】由=(2，0)=a=(x+3，x3y4)，得解得6．1【解析】由于a2b=(，3)，所以由a2b與c共線，得×3k=0，解得k=1．7．±3【解析】由于a+λb=(3+λ，3λ)，aλb=(3λ，3+λ)，(a+λb)⊥(aλb)，所以(3+λ)(3λ)+(3λ)(3+λ)=0，解得λ=±3．8．60°【解析】由于p∥q，那么(a+c)(ca)b(ba)=0，所以a2+b2c2=ab，即=，結合余弦定理知cosC=.又由于0°<C<180°，所以C=60°.9．(1)由于(a+kc)∥(2ba)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2ba=(5，2)，所以2·(3+4k)(5)·(2+k)=0，所以k=.(2)由于dc=(x4，y1)，a+b=