【例題講解】平面基本性質(zhì)的應(yīng)用

α分析：推論2B∈AB,C∈AC直線AB、BC、CA共面BACB∈α,C∈α,BC?α線線相交線線共面直線AB、AC相交確定平面α例.求證兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).??已知:直線AB、BC、CA兩兩相交,交點分別為A、B、C.求證:直線AB、BC、CA共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用αBAC證明：∵?直線AB和AC相交于點A∴

直線AB和AC確定一個平面α(推論2)∵

B∈AB,C∈AC∴

BC?α∴

直線AB、BC、CA共面αBAC核心思路:通過直線AB和AC相交于點A證明了直線AB和AC共面，由題目條件知，直線BC也在該平面內(nèi).例.求證兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).??已知:直線AB、BC、CA兩兩相交,交點分別為A、B、C.求證:直線AB、BC、CA共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用分析：a//b確定平面αAB?α，AC?αa,b及直線AB，AC共面CaBAbα線線平行線線共面推論3A∈a，

B∈b，

C∈b例.a//b，

A∈a，B∈b，

C∈b.?求證：a，b及直線AB，AC共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用證明：∵

a//b∴

a，b確定一個平面α

∵

A∈a，

B∈b，C∈b∴

A∈α，B∈α，C∈α

∴直線AB?α，直線AC?α∴

a，b，AB，AC共面核心思路:通過a//b?，證明了直線a和b共面，由題目條件知，直線AB和AC也在該平面內(nèi).CaBAbα例.a//b，

A∈a，

B∈b，

C∈b.?求證：a，b及直線AB，AC共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用αβαβabcdABC分析：確定平面βa//b確定平面αb//c證明平面α和平面β重合線線平行推論3線線共面例.一條直線和三條平行線都相交，求證：這四條直線共面.

已知：a//b

//c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C.求證：a、b、c、d共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用證明：∵a//b∴

直線a與b確定一個平面，設(shè)為α∵d∩a=A，d∩b=B∴

A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α而A∈d，B∈d由基本事實1可知：d?α∵b//c∴直線b與c確定一個平面、設(shè)為β同理可知d?β∴平面α和平面β都包含直線b與d，且d∩b=B由推論2可知平面α和平面β重合∴直線a、b、c和d共面αβαβabcdABC核心思路:通過a∥b，b∥c證明了直線a和直線b共面、直線b和直線c共面.由題目條件知，兩平面重合.其中關(guān)鍵是證明兩個平面重合.例.一條直線和三條平行線都相交，求證：這四條直線共面.

已知：a//b

//c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C.求證：a、b、c、d共面.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用證明若干點、直線共面的常用方法：先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合.現(xiàn)有部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這個平面內(nèi).方法小結(jié)平面基本性質(zhì)的應(yīng)用分析：a//b構(gòu)造輔助平面β創(chuàng)造了新的線面關(guān)系運用基本事實2直線b與平面α必有一個公共點αβabA線線平行推論3線線共面例.已知直線a//b，直線a與平面α相交于點A，求證：直線b與平面α必有一個公共點.平面基本性質(zhì)的應(yīng)用證明：∵?a//b

∴?可設(shè)直線a、b確定一個平面β又∵

a∩α=A且a?β∴

A∈β由基本事實2可知，α∩β＝c,?即有a、b、c?β在平面β內(nèi)，∵

a//b，a∩c=A

∴

b與c必相交于一點，設(shè)為B又∵

c?α∴

B∈α，∴

b與α有一個公共點BαβabABc核心思路:解決直線與平面的交點問題，首先要通過題目條件確定一個新的平面β，再通過基本事實2，α∩