【例題講解】空間點直線平面的位置關(guān)系

空間點、直線、平面的位置關(guān)系

BDEAFPGHC分析：EF∩GH=PP∈EFEF?平面ABDP∈平面ABD同理P∈平面CBDB、D、P三點共線P基本事實2線的兩點在面上線在面上例.已知E、F、G、H分別為空間四邊形(四個頂點不共面的四邊形)ABCD各邊AB、AD、BC、CD上的點,?且直線EF和GH交于點P,求證:?B、D、P在同一條直線上.空間點、直線、平面的位置關(guān)系BDEAFPGHC證明：∵EF∩GH=P∴P∈EF∵EF?平面ABD∴P∈平面ABD同理可得：P∈平面CBD∴點P在平面ABD與平面CBD的交線上，即P∈BD∴B、D、P三點共線核心思路:通過EF∩GH=P（基本事實2）證明了P∈平面ABD.同理P∈平面CBD.P例.已知E、F、G、H分別為空間四邊形(四個頂點不共面的四邊形)ABCD各邊AB、AD、BC、CD上的點,?且直線EF和GH交于點P,求證:

B、D、P在同一條直線上.ABPRQα空間點、直線、平面的位置關(guān)系求證：P、Q、R三點共線.分析：先證P是平面ABC與平面α的公共點證明Q、R都在這兩個平面的交線上P、Q、R三點共線CP基本事實3兩不重合平面有一個公共點有且只有一條交線例.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．ABPRQα空間點、直線、平面的位置關(guān)系證明：又AB?平面ABC∴P∈平面ABC∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上∴P、Q、R三點共線核心思路:通過AB∩α＝P和基本事實3，證明了點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.C∵AB∩α＝P∴P∈AB求證：P，Q，R三點共線.例.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．ABCA'B'C'D'FED四邊形EFD'C為梯形分析：M∈平面AA'D'DM∈平面ABCD平面AA'D'D∩平面ABCD=ADMD'F∩CE=MM∈ADCE，D'F，DA三條共點EF∥D'C例.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別為AB，AA'的中點．求證：CE，D'F，DA三條直線交于一點．空間點、直線、平面的位置關(guān)系A(chǔ)BCDA＇B＇C＇D＇FE空間點、直線、平面的位置關(guān)系．M證明：在正方體ABCD-A'B'C'D'中，連A'B∵BC∥A'D'，BC=A'D'∴四邊形A'D'CB為平行四邊形∴A'B∥D'C，A'B=D'C又EF為△AA'B的中位線∴EF∥D'C，EF=D'C∴四邊形EFD'C為梯形．設(shè)D'F∩CE=M，則M∈D'F，M∈EC∴M∈平面AA'D'D，M∈平面ABCD又平面AA'D'D∩平面ABCD=AD，∴M∈AD即CE、D'F、DA三條直線交于一點．先證其中的兩條直線D'F和EC相交于一點再證第三條直線AD經(jīng)過這一點例.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別為AB，AA'的中點．求證：CE，D'F，DA三條直線交于一點．A1B1C1D1QFECBAPR空間點、直線、平面的位置關(guān)系分析：EF

//BD證明QP是平面A1ACC1和平面BDEF的交線，即可得證.D線線相交線線平行線線共面推論2、推論3確定平面DBEF例.如圖,?已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，AC∩BD=P

，

A1C1

∩EF=Q

，?求證:??(1)?D、B、F、E四點共面?(2)若A1C交平面DBFE于R點,?則P、Q、R三點共線?.．A1B1C1D1FECBADPR空間點、直線、平面的位置關(guān)系證明：（1）∵EF是△D1B1C1的中位線∴EF∥B1D1在正方體AC1中，B1D1∥BD∴EF∥BD∴EF、BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面．（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中設(shè)AA1C1C確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β∵Q∈A1C1∴Q∈α∴Q∈β又Q∈EF則Q是α與β的公共點同理，P點也是α與β的公共點∴α∩β＝PQ又A1C∩β＝R∴R∈A1C∴R∈α，且R∈β則R∈PQ故P、Q、R三點共線Q例.如圖,?已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，AC∩BD=P?,?A1C1

∩EF=Q

，?求證:??(1)?D、B、F、E四點共面?(2)若A1C交平面DBFE于R點,?則P、Q、R三點共線?.A1B1C1D1FECBADPR空間點、直線、平面的位置關(guān)系核心思路:通過中位線定理，EF∥B1D1，證明了EF、BD確定一個平面.通過Q∈A1C1，證明了Q是α與β的公共點，同理可證P點也是α與β的公共點；又通過A1C∩β＝R，證明了R∈PQ.例.如圖,?已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，AC∩BD=P?,?A1C1

∩EF=Q，?求證:??(1)?D、B、F、E四點共面?(2)若A1C交平面DBFE于R點,?則P、Q、R三點共線?.Q空間點、直線、平面的位置關(guān)系分析：a與d相交確定平面?α再證b,c在平面α內(nèi)，即可得證adcbOCBAα推論2線線相交線線共面例.

a、b、c交于同一點O，直線d與a、b、c分別交于A、B、C三點.求證：a、b、c、d共面.空間點、直線、平面的位置關(guān)系證明：∵a∩b=O∴直線a、b確定一個平面α∵

A∈α、B∈α∴直線AB?平面α，即d?平面α同理直線c?平面α∴

a、b、c、d共面adcbOCBA核心思路:通過a∩b=O證明了直線a、b確定一個平面α，關(guān)鍵是直線AB∈平面α、直線c∈平面α.α