【例題講解】平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律例

平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律思考探究類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律，你能寫出向量數(shù)乘有哪些運(yùn)算律嗎？實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律有結(jié)合律和分配律，類似地，我們猜想向量的數(shù)乘運(yùn)算也滿足一些類似的運(yùn)算律，如λ(μa)＝(λμ)a（其中λ，μ為實(shí)數(shù)，a為向量），下面將給出證明．平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律典例講解設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a為向量，證明：λ（μa）＝（λμ）a．例證明向量運(yùn)算律的證明要依據(jù)相等向量的定義，既要證明等式兩邊的向量長度相等，還要證明它們方向相同．一般地，為了證明運(yùn)算律在任何情況下都成立，還需對各種可能的情況進(jìn)行討論．當(dāng)λ＝0或μ＝0或a＝0時(shí)，λ(μa)＝(λμ)a＝0，顯然成立；當(dāng)λ≠0，μ≠0且a≠0時(shí)，由向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，得|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律典例講解設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a為向量，證明：λ（μa）＝（λμ）a．例證明向量運(yùn)算律的證明要依據(jù)相等向量的定義，既要證明等式兩邊的向量長度相等，還要證明它們方向相同．一般地，為了證明運(yùn)算律在任何情況下都成立，還需對各種可能的情況進(jìn)行討論．當(dāng)λ，μ同號時(shí)，向量λ(μa)和(λμ)a的方向都與a的方向相同；當(dāng)λ，μ異號時(shí)，向量λ(μa)和(λμ)a的方向都與a的方向相反；因此，向量λ(μa)和(λμ)a有相等的長度和相同的方向，所以，λ(μa)＝(λμ)a．平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律知識小結(jié)設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a為向量，證明：λ（μa）＝（λμ）a．例向量運(yùn)算律的證明要依據(jù)相等向量的定義，既要證明等式兩邊的向量長度相等，還要證明它們方向相同．一般地，為了證明運(yùn)算律在任何情況下都成立，還需對各種可能的情況進(jìn)行討論．向量的數(shù)乘運(yùn)算律類似實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律，但與實(shí)數(shù)不同，要注意運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，要分別驗(yàn)證長度和方向．平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律知識梳理類似地，可以驗(yàn)證，對于任意實(shí)數(shù)λ，μ，向量a，b，都有以下運(yùn)算律成立：（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．平面向量的數(shù)乘運(yùn)用及運(yùn)算律知識小結(jié)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a＋μ2b）＝λμ1a＋λμ2b．有了向量的線性運(yùn)算，平面上的點(diǎn)（相對于一個(gè)定點(diǎn)）、線段（直線）就可以用向量表示，這就為向量法解決幾何問題奠定了基礎(chǔ)．向量的加、減法