河南省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期摸底聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三理科數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解得值，進而得到答案．【詳解】由題可得，則，，故，故選B．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)相等的條件是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解出集合，然后再計算出，最后計算出【詳解】因為，∴，又，所以故選【點睛】本題考查了集合的補集、交集的運算，較為基礎(chǔ)3.已知向量，滿足，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及平方法，求解數(shù)量積.【詳解】，故選：B4.若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得之間的關(guān)系，從而可得到漸近線方程.【詳解】雙曲線離心率為，即，所以，則，故C的漸近線方程為.故選：D.5.某幾何體的三視圖如圖所示（其中俯視圖中的曲線是圓?。瑒t該幾何體的表面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體為圓柱體的一半，結(jié)合表面積公式可得結(jié)果.【詳解】該幾何體為一個圓柱體的一半，所以表面積.【點睛】本題主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求幾何體的表面、體積問題，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知，則滿足（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，是單調(diào)遞增函數(shù)，，，.故選：A【點睛】本題考查對數(shù)的運算，和比較大小，意在考查基礎(chǔ)計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知，且，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求出的值，利用二倍角的正切公式求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，且，可得，解得.故選B.【點睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．8.若，則下列不等式中，一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判斷AB，利用基本不等式可判斷C，利用絕對值的意義可判斷D.【詳解】∵，則，即，故不成立；因為，所以，即，故成立；因為，所以，，所以，又，所以，故成立；因為，所以，故成立．故選：．9.設(shè)，把的圖象向左平移個單位長度后，恰好得到函數(shù)的圖象，則的值可以為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，，則，即，當(dāng)時，，故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式，分類討論，分別求得不等式的解集，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，因為，所以=恒成立,綜上：故選B【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11.在直角坐標(biāo)系中，拋物線：與圓：相交于兩點，且兩點間的距離為，則拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)拋物線與圓C的個交點為分別為，根據(jù)和圓的性質(zhì)，求得點坐標(biāo)為，代入拋物線方程，解得，即拋物線M的焦點到其準(zhǔn)線的距離．【詳解】由題意，設(shè)拋物線與圓的其中一個交點為，設(shè)另一個交點為，因為，所以，則，可得點坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得，解得，即拋物線M的焦點到其準(zhǔn)線的距離為，故選A．【點睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)求得焦點的坐標(biāo)，再代入拋物線的方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.若函數(shù)恰有三個極值點，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因為二次函數(shù)最多有一個極值點，故先分析的部分；時，令，利用參變分離將變形為，構(gòu)造新函數(shù)，判斷的單調(diào)性，得出結(jié)論：最多僅有兩解，因此可確定：時有兩個極值點，時有一個極值點.時，利用與有兩個交點時(數(shù)形結(jié)合)，對應(yīng)求出的范圍；時，利用二次函數(shù)的對稱軸進行分析可求出的另一個范圍，兩者綜合即可.【詳解】由題可知，當(dāng)時，令，可化為，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的圖象如圖所示，所以當(dāng)，即時，有兩個不同的解；當(dāng)，令，，解得，綜上，.【點睛】分析極值點個數(shù)的時候，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為零時方程解的個數(shù)問題，這里需要注意：并不是導(dǎo)數(shù)值為零就一定是極值點，還需要在該點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號相異.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】寫出二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為，從而求得指定項的系數(shù).【詳解】的展開式的通項為．取，可得的展開式的系數(shù)為．故答案為．【點睛】本小題主要考查二項式展開式中指定項的系數(shù)，考查指數(shù)式的運算，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，然后利用點斜式求得切線方程.【詳解】,則,而切點的坐標(biāo)為曲線在的處的切線方程為．故答案為．【點睛】本小題主要考查圖像上某點處的切線方程的求法，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.15.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知得到，利用余弦定理求得的值.【詳解】，，，由正弦定理可得：，．故答案為．【點睛】本小題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.16.已知四點都在以為直徑的球的表面上，若球的體積為，則異面直線與所成角的正切值為_______________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件得一個三棱錐，再在這個三棱錐中確定線線關(guān)系，最后根據(jù)平移以及余弦定理求結(jié)果.【詳解】的外心為的中點，平面，易證平面．從而球的半徑．又過作，過作，、交于，計算可得,因此，即異面直線與所成角的余弦值為，所以．故答案為：【點睛】方法點睛：線線角的尋找，主要找平移，即作平行線，進而根據(jù)三角形求線線角.線面角的尋找，主要找射影，即需從線面垂直出發(fā)確定射影，進而確定線面角.二面角的尋找，主要找面的垂線，即需從面面垂直出發(fā)確定線面垂直，進而確定二面角.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件列方程組求出，從而可求出通項公式；（2）利用錯位相減法求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得,所以，故；【小問2詳解】因為，，所以，，兩式相減得，所以.18.如圖，三棱柱中，，，，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）以為原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）證明：因為平面，所以，因為，，所以，又，所以平面.（2）以為原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，取，則.又平面，取平面的法向量，所以.由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角為.【點睛】本題考查了線面垂直判定與證明，以及二面角的計算問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理．同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19.某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）頻數(shù)10453564男員工人數(shù)7231811（1）其中每月完成合格產(chǎn)品件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計男員工女員工合計（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出件的部分，累進計件單價為1.2元；超出件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查，設(shè)實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用列聯(lián)表求得的觀測值，即可判斷.（2）設(shè)2名女員工中實得計件工資不少于3100元人數(shù)為，1名男員工中實得計件工資在3100元以及以上的人數(shù)為，則，,根據(jù)X、Y的相應(yīng)取值求得Z的相應(yīng)取值時的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【詳解】（1）非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計男員工48250女員工42850合計9010100因為的觀測值，所以有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān).（2）當(dāng)員工每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)為3000件時，得計件工資為元，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，男員工實得計件工資不少于3100元的概率為，女員工實得計件工資不少于3100元的概率為，設(shè)2名女員工中實得計件工資不少于3100元的人數(shù)為，1名男員工中實得計件工資在3100元以及以上的人數(shù)為，則，，的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為0123故.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，考查了二項分布及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．20.在直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，且過點，若的兩焦點與其中一個頂點能構(gòu)成一個等邊三角形.（1）求的方程.（2）已知過的兩條直線，（斜率都存在）與的右半部分（軸右側(cè)）分別相交于，兩點，且的面積為，試判斷，的斜率之積是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)，的斜率分別為，.聯(lián)立直線OA與橢圓方程，求得及點到直線的距離，表示出的面積，平方化簡后得到關(guān)于，的二次方程，解得.【詳解】（1）由題意可知，即，又，得.把代入的方程得，又，解得，從而，，故的方程為.（2）設(shè)，，，的斜率分別為，.聯(lián)立方程組，得，同理得，則.因為點到直線的距離，所以的面積為，則，整理得，即，故，的斜率之積為定值，且定值為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，以及三角形面積問題，考查了橢圓中的定值問題，考查計算能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）對時，對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】(1)函數(shù)的定義域為，求出導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，解不等式即可得到的單調(diào)性；（2）因為，所以，由（1）可得的最值，進而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減；，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減；，，所以在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因為與，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，從而，所以，即.設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以等價于，則.因為，所以的取值范圍為.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點，，求的值.【答案】(1)曲線的軌跡是以為圓