高三數(shù)學(xué)(理科)綜合內(nèi)切球和外接球問(wèn)題(附習(xí)題)

2731427314高考數(shù)學(xué)中內(nèi)切球和外球問(wèn)題一有外球問(wèn)如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接.有多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。一、直接公式)1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例若長(zhǎng)3的方體的頂點(diǎn)都在同一球面上該的表面積為_(kāi)_____________.解析：球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半.故表面積為例一正體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，該球的體積為_(kāi)__________.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例（2007年津高考題）一個(gè)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為

，則此球的表面積為

解析：體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，故球的表面積為例、已知各頂點(diǎn)都在一球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（C）.

20

C.

24

32解析：長(zhǎng)、寬、高分別為2，

8h球2R8h球2R3.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例5.一六棱柱的底面是正六形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同9一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為３，則這個(gè)球的體積為x6x解設(shè)六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，為，則有

,．∴正六棱柱的底面圓的半徑

r

，球心到底面的距離.∴外接球的半徑Rr

3

小結(jié)本是運(yùn)用公式

Rr

求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公.二、構(gòu)造補(bǔ)形)1、構(gòu)造正方體例若棱的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，其外接球的表面積是解把個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.則有

∴

R

2

94

故表面積

S

小結(jié)一地，若一個(gè)三棱錐的條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為

a、、

，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑設(shè)其外接球的半徑為，有

2

a

2

2

2

出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體。

ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱錐為ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱錐為四面體此這與例例一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（A）

C.

解析聯(lián)只有正方體中有這么相等的線段以構(gòu)造一個(gè)正方體再找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖2四面體滿足條件，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線為，而外接球的直徑也為

例（2006年?yáng)|高考題在腰形中，，，為AB的點(diǎn)，將ADE與BEC分沿ED、向折，使A、重于，三棱錐的接球的體積為C）.

4327

62

C.

68

624

解析圖）ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1P-DCE就完全相同了

D

C圖3

CDCD=3OBCADCDCD=3OBCAD例（2008年江高考題）已知的面上四點(diǎn)AB、、，

面

，AB

，

3

，則球的積等于

解析：

3

，則此長(zhǎng)方體為正方體，所以長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的積等于

92

（如圖）OB

A圖4

2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9.知點(diǎn)AB、、D在一個(gè)球面上

AB平BCD

，，若AB6,AC=2

，則球的體積是

解析：構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是為的直徑（如圖5）AOB

C

D圖5

例正棱的面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，SO1在中球AC例正棱的面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，SO1在中球ACABCDBAC球.故三尋軸截面圓徑法S、、、C、D

都在同一球面上，則此球的體積為

解球必1所的直線上.

S∴的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就

D

C是外接球的半徑.

A

圖3

O

B

2，AC

2

2

∴

是C為斜邊的t

∴

2

是外接圓的半徑，也是外接球的半故

3

五確定球心位置法例在形中，

AB4,

，沿將矩形折一直二面角，則四面體的接球的積為（

C）

D

12512

1259

C.

1256

1253

AO

C解點(diǎn)到面體的四個(gè)頂點(diǎn)

、、C、D

的距離相等為

4

B四面體的外接球的球心，

ROA

5426【例題棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球

的球面上，

且，，，

求

的體積。

．．解：

所以知

所以取斜邊的中點(diǎn)，即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為（陜理?）個(gè)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球上其底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．

34

B．

3334答B(yǎng)直棱柱

BC11

的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AC21

，則此球的表面積等于。解在

ABC

中

ABAC

BAC

可得

3

由正弦定理可

外接圓半徑設(shè)此圓圓心為為，在RT

中，易得球半徑

R

，故此球的表面積為

．正三棱柱

BC11

內(nèi)接于半徑為2的球，若A兩點(diǎn)的球距離為，正三棱柱的體積為．答案

表面為23的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)面上，則此球的體積為A．

B．

C．

23

D．

2

答A

【析此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由a，則此球的直徑為，故選A。已知方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（）

a

知，A.2

243C.D.3答D6.（2006山卷正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A.∶

B∶C∶3

D.1∶9答C7.（海南寧理）個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3則這個(gè)球的體積為．答

3（天津理12一長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，23則此球的表面積為．答

9.（2007全國(guó)理）個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為的球面上。如果正棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積cm答

（遼寧如圖，半徑為2半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐ABCDEF則此正六棱錐的側(cè)面積_．

PC

D答

B

A

F

E（寧撫一2009屆三學(xué)學(xué)第次考棱長(zhǎng)為的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形正面體的截面)的面積.答

（棗莊一模）一幾何體的三視圖如右圖所，則該幾何體外接球的表面積為（）

A

B

2C．答案

3

D．上不對(duì)13.(林吉市2008屆上末)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，它的外接球的表面積為（）A

83

Bπ

C．4

D．

43

答C1新課標(biāo)理知三棱ABC的有頂點(diǎn)都在球的