高三數(shù)學(xué)(理科)綜合內(nèi)切球和外接球問題(附習(xí)題)

2731427314高考數(shù)學(xué)中內(nèi)切球和外球問題一有外球問如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接.有多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點。一、直接公式)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例若長3的方體的頂點都在同一球面上該的表面積為______________.解析：球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半.故表面積為例一正體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，該球的體積為___________.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例（2007年津高考題）一個方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為

，則此球的表面積為

解析：體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為例、已知各頂點都在一球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（C）.

20

C.

24

32解析：長、寬、高分別為2，

8h球2R8h球2R3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5.一六棱柱的底面是正六形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同9一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個球的體積為x6x解設(shè)六棱柱的底面邊長為，為，則有

,．∴正六棱柱的底面圓的半徑

r

，球心到底面的距離.∴外接球的半徑Rr

3

小結(jié)本是運用公式

Rr

求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公.二、構(gòu)造補形)1、構(gòu)造正方體例若棱的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，其外接球的表面積是解把個三棱錐可以補成一個棱長為的正方體于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.則有

∴

R

2

94

故表面積

S

小結(jié)一地，若一個三棱錐的條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為

a、、

，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體長體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑設(shè)其外接球的半徑為，有

2

a

2

2

2

出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體。

ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱錐為ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱錐為四面體此這與例例一個四面體的所有棱長都，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（A）

C.

解析聯(lián)只有正方體中有這么相等的線段以構(gòu)造一個正方體再找棱長相等的四面體，如圖2四面體滿足條件，由此可求得正方體的棱長為，體對角線為，而外接球的直徑也為

例（2006年東高考題在腰形中，，，為AB的點，將ADE與BEC分沿ED、向折，使A、重于，三棱錐的接球的體積為C）.

4327

62

C.

68

624

解析圖）ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1P-DCE就完全相同了

D

C圖3

CDCD=3OBCADCDCD=3OBCAD例（2008年江高考題）已知的面上四點AB、、，

面

，AB

，

3

，則球的積等于

解析：

3

，則此長方體為正方體，所以長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的積等于

92

（如圖）OB

A圖4

2、構(gòu)造長方體例9.知點AB、、D在一個球面上

AB平BCD

，，若AB6,AC=2

，則球的體積是

解析：構(gòu)造下面的長方體，于是為的直徑（如圖5）AOB

C

D圖5

例正棱的面邊長和各側(cè)棱長都為，SO1在中球AC例正棱的面邊長和各側(cè)棱長都為，SO1在中球ACABCDBAC球.故三尋軸截面圓徑法S、、、C、D

都在同一球面上，則此球的體積為

解球必1所的直線上.

S∴的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就

D

C是外接球的半徑.

A

圖3

O

B

2，AC

2

2

∴

是C為斜邊的t

∴

2

是外接圓的半徑，也是外接球的半故

3

五確定球心位置法例在形中，

AB4,

，沿將矩形折一直二面角，則四面體的接球的積為（

C）

D

12512

1259

C.

1256

1253

AO

C解點到面體的四個頂點

、、C、D

的距離相等為

4

B四面體的外接球的球心，

ROA

5426【例題棱錐的四個頂點在球

的球面上，

且，，，

求

的體積。

．．解：

所以知

所以取斜邊的中點，即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為（陜理?）個三棱錐的四個頂點都在半徑為的球上其底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A．

34

B．

3334答B(yǎng)直棱柱

BC11

的各頂點都在同一球面上，若AC21

，則此球的表面積等于。解在

ABC

中

ABAC

BAC

可得

3

由正弦定理可

外接圓半徑設(shè)此圓圓心為為，在RT

中，易得球半徑

R

，故此球的表面積為

．正三棱柱

BC11

內(nèi)接于半徑為2的球，若A兩點的球距離為，正三棱柱的體積為．答案

表面為23的正八面體的各個頂點都在同一個面上，則此球的體積為A．

B．

C．

23

D．

2

答A

【析此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由a，則此球的直徑為，故選A。已知方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（）

a

知，A.2

243C.D.3答D6.（2006山卷正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A.∶

B∶C∶3

D.1∶9答C7.（海南寧理）個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3則這個球的體積為．答

3（天津理12一長方體各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，23則此球的表面積為．答

9.（2007全國理）個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為的球面上。如果正棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積cm答

（遼寧如圖，半徑為2半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐ABCDEF則此正六棱錐的側(cè)面積_．

PC

D答

B

A

F

E（寧撫一2009屆三學(xué)學(xué)第次考棱長為的四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形正面體的截面)的面積.答

（棗莊一模）一幾何體的三視圖如右圖所，則該幾何體外接球的表面積為（）

A

B

2C．答案

3

D．上不對13.(林吉市2008屆上末)設(shè)正方體的棱長為，它的外接球的表面積為（）A

83

Bπ

C．4

D．

43

答C1新課標(biāo)理知三棱ABC的有頂點都在球的