高考數(shù)學二輪解題方法篇專題3 解題策略 第8講

b22222222b22222222第8講

構(gòu)造法在題中的應(yīng)用[方法精要]在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方(組)一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，稱為構(gòu)造法．解數(shù)學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手．在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑．構(gòu)造法就是這樣的手段之一．構(gòu)造法作為一種數(shù)學方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維．其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性．數(shù)學證明中的構(gòu)造法一般可分為兩類，一類為直接性構(gòu)造法，一類為間接性構(gòu)造法．題型一構(gòu)造向量解決不等式的題x例若直線＋1過點M(cos，α)，()A．a(chǎn)

2

＋b

2

≤1

B．a(chǎn)＋b

≥11C.＋≤b

1＋≥破題切入點

根據(jù)點在直線上可以得到

αα＋＝聯(lián)想向量的數(shù)量積的坐標運算法則，b可以構(gòu)造向量．答案D1解析sin))αα1ααn≤||n≤

.題型二構(gòu)造不等式解決證明問a＋例已知ab，>0，證明：＋＋≥.＋＋a＋b破題切入點

直接用一個式子或兩個式子都不好直接構(gòu)造輪換不等式．觀察其結(jié)構(gòu)特點，必＋＋c須想辦法去掉不等式左端各項的分母，為此可以做變換：在不等式兩端都加上，我

2222222222222**1x2222222222222**1x＋＋cabcabcc＋a們證明不等式＋＋＋≥a＋＋這把拆＋＋，＋＋a＋b24就可以構(gòu)造輪換不等式了．bc證明≥aabbc≥ca2bcbcab≥ac.4cab4bcbca≥≥≥cc4b4題型三構(gòu)造函數(shù)最值、比較大的問題例已知fx)＝3－4＋x，數(shù)列{a}足－<a<0,nn(1)求f)在[－，0]的最大值和最小值；(2)判斷a與an∈)的大小，并說明理由．n1破題切入點(1)直接按導數(shù)研究函數(shù)的方法解決．

1

＝(∈N)．n(2)根據(jù)給出的條件

1

－

1

＝()n

2

，可以構(gòu)造函數(shù)gx)＝()－2

，通過研究這個函數(shù)解決問題．解(1)′(x4)ln41<0時0<14<2∴′∴()3ln2[，∴()f()()min2(2)

an

2

gx)()2

1

g′x)f′x)

ln2)ln4<0時<2<1<1.21

4

1<02g(x(x)(0)

22n2nn1nn222212222222n2nn1nn2222122222()>g(0)∴(a)>0nn

1

>0a.n題型四構(gòu)造數(shù)列解決數(shù)列求和問題例已知數(shù)列{}前n項為，滿足＝，＝－2(n2)．nn12n1(1)求出通項公式n(2)求證：＋＋?≤－.122破題切入點(1)首先根已知條件求出的通項公式，進求出通項.nn(2)利用放縮法和拆項法證明．(1)解aS(n≥nnn1Sn11Sn

n

12(≥Sn11{}2Sn(d22(2SSn1.nna2(≥2)≥nn1SS2n2n(2)證明n

111<()n41nn≥21S??1×241111<(1)?()1n14nnS－.14×1?≤1nn

nnn1n22222222nnn1n22222222總結(jié)提高用造法解題時，被造的對象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對應(yīng)、數(shù)學模型、反例等，從上面的例子可以看出這些想法的實現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套．但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即以什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造．→→→→→→．在空間四邊形中，AB＋＋ADBC值是)A．0C1D不確定答案B→→→解析AC→→→→→→→→→AD))AD·(ACAB)→→→→→→→→→→→→ABACACACADAB0.．已知數(shù)列{a}，＝1＝＋1則數(shù)列{}通公式為)nnnA．a(chǎn)＝n

n

－1

B．a(chǎn)＝2n

－1C．＝n

n

D．＝2－n答案D解析aaa2(ann1{1}12n122nn

n

1.．函數(shù)f(x)x－4x＋＋－10＋26值域是)A．－5，＋∞C．[－，＋∞答案B

B．[5＋∞)D．(5，＋∞)解析

f)P(0)M(2,3)(5(M(P)fx)f(x)|MNmin[5∞)如圖知球O的面上有點ADDA平面ABC⊥，

2223222<2222222223222<222222＝AB＝＝2，則球O的積于．答案

π解析DABCOCD2RR4πOVπ.

．知＝ln－，＝－，c＝－，，，c的小系為201420142015．答案a>b解析f(x)lnxx′()－.xx<1f′(()(0,1)∵1>

1>>>0∴>bcloglog．若a>>>0，則，，的小關(guān)系是________．bc答案

logloglog22解析fxlog(x1)fxafa))f))(2f))．若＋＝，＋＝4(x，y，，∈)則＋by的值圍．答案[－2，3]解析m(xynb)θnnmn|cos×4cos23cos.∵1≤∴233cos≤∴by2x．在平面直角坐標系中，橢圓＋＝1(>b的焦距為c，以為心，a為徑作圓b

22222222222222222222222222若過點P，0)，所作圓M的切線互垂直，則該橢圓的離心率．c答案

解析(0)caO(0)2ccc2e＝．設(shè)a>>且＋b，a＋b＋1求a范圍．解acc①①a1代ab②①②abx()0c1)

ccc1>0<<1ac>2c∴<c<.3<1ab)<4∴<.aa．求證：≤＋提：＋b≤＋，當且僅當ab0時取等號＋＋b1a|1＋b|x證明f(x)(x≥0)ab≤a(x)[∞(|a≤(|a|bab|a≤|≤

a|1a|b|a|ba|1a|11．求值＋＋cos149°＋＋→解AAA12312

2**2222222225nnnn1n*nnnnn12**2222222225nnnn1n*nnnnn1→→→→108°xAAA77°149°2334455221°→→→→→∵AAAAAAA1223345→→→→→∴AAAAAAA1223345→→→→→|cos5°AAA|cos149°|A|cos221°A|cos293°012∴．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù){}前n項和為，足a＝4S＋4＋1，∈N，，，nn25恰是等比數(shù){}前項．14(1)求數(shù)列{}{}通項公式；n(2)記數(shù)列{}前項為，若對任意的∈N，T＋)k≥3n－6恒立，求實數(shù)的取nn值范圍．解(1)n≥24n∴44Sann11n

4∴a4a4(∵∴annn∴≥{}2n∵aa2514∴aa(a6)·(a24)a