湖南省三湘名校教育聯(lián)盟五市十校教研教改共同體2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學試卷word版含答案

三湘名校教育聯(lián)盟·五市十校教研教改共同體2022年上學期高二期末考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知的解集為，則的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-23．若雙曲線的離心率為，則直線與兩條漸近線圍成的三角形的面積為（）A． B．4 C． D．4．已知，，若向量在向量上的投影向量為，則（）A． B．C． D．5．的展開式中的常數(shù)項為（）A．40 B．60 C．80 D．1206．已知圓C經(jīng)過點，且與直線相切，則其圓心到直線距離的最小值為（）A．3 B．2 C． D．7．已知定義域是R的函數(shù)滿足：，，為偶函數(shù)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-38．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入A、B兩個封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入盒子A中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復兩次后，盒子A中恰有8個球的概率是（）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．若復數(shù)z滿足：，則（）A．z的實部為3 B．z的虛部為1C． D．z在復平面上對應的點位于第一象限1O．點P，Q為邊長為1的正六邊形ABCDEF的邊界上的兩個不同的動點，則的值可以為（）A．-5 B．-1 C． D．411．已知a，b為正實數(shù)，且，則的取值可以為（）A．1 B．4 C．9 D．3212．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．從1，3，5，7這4個數(shù)中隨機取出2個不同的數(shù)a，b，則的概率為______．14．《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數(shù)學著作．在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，其中記載：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù)．設這個正整數(shù)為a，當時，符合條件的所有a的個數(shù)為______．15．已知點D為△ABC的邊BC的中點，，，，，的夾角為，則______．16．已知函的圖象與函數(shù)的圖象關于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若△ABC為銳角三角形，且，，求△ABC的面積．18．（本小題滿分12分）若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量以下問題的求解中可以利用這一結論．根據(jù)以往的考試數(shù)據(jù)，某學校高三年級數(shù)學模考成績，設從X的取值中隨機抽取25個數(shù)據(jù)的平均值為隨機變量Y．現(xiàn)在從X的取值中隨機抽取25個數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，其余5個數(shù)分別為97，97，98，98，98．（1）求的中位數(shù)及平均值；（2）求．附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．19．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．（1）求與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．20．（本小題滿分12分）在三棱錐ABCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，，，BC⊥AC．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）若E為△ABC的重心，，求平面CDE與平面ABD所成銳二面角的正弦值．21．（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓E截拋物線的準線得到的弦長為3．（1）求橢圓E的標準方程；牙（2）設兩條不同的直線m與直線l交于E的右焦點F，且互相垂直，直線l交橢圓E于點A，B，直線m交橢圓E于點C，D，探究：A、B、C、D四個點是否可以在同一個圓上？若可以，請求出所有這樣的直線m與直線l；否則請說明理由．22．（本小題滿分12分）潮設，，．（1）求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，．2022年上學期高二期末考試數(shù)學參考答案一、選擇題1．C【解析】由題意可知，，故選C．2．B【解析】因為的解集為，所以為方程的一個根，所以．故選B．3．C【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，所以，所以漸近線的方程為，所以直線即直線，與兩條漸近線的交點坐標為，所以直線與兩條漸近線圍成的三角形的面積為．故選C．4．D【解析】，故選D．5．A【解析】在的展開式中，，的展開式中常數(shù)項為．故選A．6．D【解析】依題意，設圓C的圓心，動點C到點P的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為，設圓心C到直線距離為d，，當時，，故選D．7．B【解析】因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．故選B．8．A【解析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個紅球和3個白球，盒子B中有2個紅球和3個白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個球的概率為，所以兩次取球后，盒子A中恰有8個球的概率是．故選A．二、選擇題9．ABD【解析】設，因為，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的實部為3，虛部為1，故A，B正確；，故C不正確；z在復平面上對應的點位于第一象限，故D正確．故選ABD．10．BCD【解析】，其中α為向量與的夾角，即與的夾角，當點P為點A，點Q為點D時，，取最大值為4；當點P為點D，點Q為點A時，，取最小值為-4．故選BCD．11．BD【解析】因為a，b為正實數(shù)，，所以，當且僅當時等號成立，即，所以，所以或，因為a，b為正實數(shù)，，所以，所以或．所以或．故選BD．12．CD【解析】選項A：，故不正確；設，因為，所以，所以在上單調遞減，所以選項B：，故不正確；選項C：，故正確；選項D：，故正確，故選CD．三、填空題13．【解析】取出的6組數(shù)分別為1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7，其中有3組1，3；1，5；1，7滿足，所以的概率為．14．7【解析】當時，滿足條件的整數(shù)a組成一個等差數(shù)列，首項為8，公差為3與5的最小公倍數(shù)15，令，所以．所以符合條件的所有a的個數(shù)為7．15．【解析】因為，所以，所以，所以．16．【解析】令，則，，．因為與關于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)關于直線對稱，所以P，Q兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，函數(shù)在點處的切線斜率為，令得，，，所以點P到直線距離的最小值為，所以這兩點之間距離的最小值為．四、解答題17．解：（1）由正弦定理和得，， （2分）因為，所以， （4分）所以，即，因為，所以或． （6分）（2）因為三角形ABC為銳角三角形，所以， （7分）由余弦定理得，， （8分）因為，，所以，所以，， （9分）所以三角形ABC的面積為． （10分）18．解：（1）由已知得，有10個數(shù)不超過97，有10個數(shù)不低于98，中間的5個數(shù)為97，97，98，98，98，所以的中位數(shù)為98， （3分）進一步由已知得，的平均值為． （6分）（2）由題意知，即 （8分），因為，，所以． （12分）19．解：（1）設公差為d，由已知得，，解得， （2分）所以，即通項公式為； （4分）設正項等比數(shù)列的公比為q，因為，，所以，所以，解得或（負值舍去），所以． （6分）（2）， （7分）所以， （8分）所以，相減得，， （10分）所以． （12分）20．解：（1）因為，，，所以，所以AD⊥BD， （1分）又因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，因為平面ABD，所以AD⊥平面BCD，因為平面BCD， （2分）所以AD⊥BC，又因為BC⊥AC，，所以BC⊥平面ACD． （4分）（2）因為BC⊥平面ACD，平面ACD，所以BC⊥CD，因為，，所以，， （6分）以D為坐標原點，直線DB，DA分別為x，z軸，在平面BCD內過點D與BD垂直的直線為y軸建立空間直角坐標系，所以，，，，所以，所以，， （8分）平面ABD的一個法向量為， （9分）設平面CDE的一個法向量為，所以，取，，則，所以， （11分）設平面CDE與平面ABD所成的銳二面角為θ，所以，所以，即平面CDE與平面ABD所成銳二面角的正弦值為． （12分）21．解：（1）拋物線的焦點坐標為，準線方程為， （1分）設，由已知得，，解得，，則橢圓E的標準方程為． （4分）（2）因為兩條不同的直線m與l直線均過橢圓的右焦點，且互相垂直，由題意可知當斜率均存在且不為0時，可設直線l為，直線m為，其中， （5分），，，，將直線l的方程代入橢圓方程得，，所以，， （7分）若A、B、C、D四個點可以在同一個圓上，則， （8分）所以，所以，所以，，同理，所以， （10分）則，所以，此時存在這樣的直線m與直線l，其方程為和．當直線l的斜率為0或斜率不存在時，A，B，C，D顯然不在同一個圓上．綜上，存在這樣的直線m與直線l，其方程為1和． （12分）22．解：（1），∵， （1分）令，得；令，得； （2分）所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． （3