第1課時集合（解析版）

第一章集合、常用邏輯用語與不等式第1課時集合編寫：廖云波【回歸教材】1.元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或2.集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4.集合的運算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【常用結(jié)論】（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【典例講練】題型一集合的基本概念【例1-1】設(shè)集合，若，則的值為（）．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】【分析】由集合中元素確定性得到：，或，通過檢驗，排除掉.【詳解】由集合中元素的確定性知或．當(dāng)時，或；當(dāng)時，．當(dāng)時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．【例1-2】（多選題）設(shè)集合，則下列是集合中的元素的有（）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【解析】【分析】分別對，取整數(shù)，，可判斷A；由，可判斷B；令，通過驗證不成立可判斷C；由，可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為，，，，所以，故選項A正確；對于B：因為，，，，所以，故選項B正確；對于C：若，則存在，使得，則，易知和同奇或同偶，若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)，矛盾；若和都是偶數(shù)，則能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故選項C不正確；對于D：，，，所以，故選項D正確；故選：ABD.【例1-3】集合，用列舉法可以表示為_________．【答案】、【解析】【分析】根據(jù)集合元素屬性特征進行求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，所以，集合．故答案為：歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知集合，且，則實數(shù)m的值為（）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】【分析】依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗即可；【詳解】解：因為，且，所以或，解得或或，當(dāng)時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時滿足條件；故選：A【練習(xí)1-2】已知集合，且，則實數(shù)的所有取值構(gòu)成的集合是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合與元素見的關(guān)系直接列不等式，進而得解.【詳解】由，得，解得，故答案為：.【練習(xí)1-3】已知均為非零實數(shù)，則代數(shù)式的值所組成的集合的元素個數(shù)是______．【答案】2【解析】【分析】分析題意知代數(shù)式的值與的符號有關(guān)，按其符號的不同分3種情況討論，分別求出代數(shù)式的值，即可得解.【詳解】根據(jù)題意分2種情況討論：當(dāng)全部為負數(shù)時，為正數(shù)，則；當(dāng)全部為正數(shù)時，為正數(shù)，則；當(dāng)一正一負時，為負數(shù)，則；綜上可知，的值為或3，即代數(shù)式的值所組成的集合的元素個數(shù)是2故答案為：2題型二集合的基本關(guān)系【例2-1】若集合，，則集合之間的關(guān)系為（）A．ABB．BAC． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集的定義證得和，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)任意，則，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，，所以．所以又設(shè)任意，則因為，，且表示所有的偶數(shù)，表示所有的奇數(shù)．所以與都表示所有的奇數(shù)．所以．所以故．故選：C.【例2-2】已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________.【答案】或或0【解析】【分析】先求得集合A，分情況討論，滿足題意；當(dāng)時，，因為，故得到或，解出即可.【詳解】解：已知集合，，當(dāng)，滿足；當(dāng)時，，因為，故得到或，解得或；故答案為：或或0.【例2-3】已知.(1)若是的子集，求實數(shù)的值；(2)若是的子集，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）由題得，解即得解；（2）由題得，再對集合分三種情況討論得解.(1)解：由題得.若是的子集，則，所以.(2)解：若是的子集，則.①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得.將代入方程，得，即，符合要求；③若為雙元素集合，，則.綜上所述，或.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】設(shè)集合，，則兩集合間的關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】變形，，分析比較即可得解.【詳解】由題意可即為的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，又，即為的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，，即故選：B【練習(xí)2-2】已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)，利用數(shù)軸，列出不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實數(shù)的取值范圍或.故答案為：或【練習(xí)2-3】滿足{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【解析】【分析】由題意可得集合A中至少有一個元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，從而可求出集合A【詳解】因為{1，2，3}，所以集合A中至少有一個元素1，且為集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案為：{1}或{1，2}或{1，3}題型三集合的基本運算【例3-1】已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再利用交集運算即可.【詳解】解：由題得集合，所以.故選：B．【例3-2】已知U=R是實數(shù)集，，，則（）A． B． C．D．【答案】D【解析】【分析】先求得集合M、N，再運用集合的交集、補集運算求得答案.【詳解】解：∵，，∴，故選：D.【例3-3】已知集合，或.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由補集和并集的定義可運算求得結(jié)果；（2）分別在和兩種情況下，根據(jù)交集為空集可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.(1)由題意得，或，，故.(2)當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，由，得，故a的取值范圍為．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】解不等式后由補集與交集的概念運算【詳解】因為集合，所以，又集合，所以，故選：A【練習(xí)3-2】設(shè)全集為，或，.(1)若，求，.(2)已知，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）當(dāng)時求出集合，再進行交集，補集，并集運算即可求解；（2）討論和兩種情況，列不等式解不等式即可求解.(1)因為，所以，，所以，.(2)因為，當(dāng)時，滿足，所以，得；當(dāng)時，因為，所以，解得，綜上實數(shù)的取值范圍為：.題型四Venn圖及其應(yīng)用【例4-1】如圖，三個圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（）A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】找到每一個選項對應(yīng)的區(qū)域即得解.【詳解】解：如圖所示，A.對應(yīng)的是區(qū)域1；B.對應(yīng)的是區(qū)域2；C.對應(yīng)的是區(qū)域3；D.對應(yīng)的是區(qū)域4.故選：B【例4-2】已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C．D．【答案】C【解析】【分析】求出集合，陰影部分表示為：，再分析求解即可.【詳解】因為，所以，又，全集，所以圖中陰影部分表示的集合為．故選：C.歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】已知，為R的兩個不相等的非空子集，若，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】依題意可得，結(jié)合韋恩圖即可判斷；【詳解】解：依題意，所以，則集合，與的關(guān)系如下圖所示：所以；故選：C【練習(xí)4-2】已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，結(jié)合題意和集合的運算法則，即可求解.【詳解】由不等式，解得，即集合，又由，解得，即集合，則，又因為圖中陰影部分表示的集合為，所以.故選：B.題型五集合中的創(chuàng)新型問題【例4-1】定義集合的一種運算：，若，，則中的元素個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義確定集合中的元素.【詳解】因為，，，所以，故集合中的元素個數(shù)為3，故選：C.【例4-2】（多選題）設(shè)是一個數(shù)集，且至少含有兩個元素.若對任意的，都有（除數(shù)），則稱是一個數(shù)域.則關(guān)于數(shù)域的理解正確的是（）A．有理數(shù)集是一個數(shù)域B．整數(shù)集是數(shù)域C．若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域D．?dāng)?shù)域必為無限集【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)域的定義逐項進行分析即可求解.【詳解】對于A，若，則，所以有理數(shù)集是一個數(shù)域，故A正確；對于B，因為所以，所以整數(shù)集不是數(shù)域，故B不正確；對于C,令數(shù)集，則但，故C不正確；對于D，根據(jù)定義，如果在數(shù)域中，那么（為整數(shù)），都在數(shù)域中，故數(shù)域必為無限集，故D正確.故選：AD.【例4-3】已知有限集合，定義集合中的元素的個數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則______；若集合，且，則正整數(shù)的值是______．【答案】

3

2022【解析】【分析】化簡A，可得；根據(jù)“容量”定義可得的，解方程即可.【詳解】，則集合，所以．若集合，則集合，故，解得．故答案為：3；2022【練習(xí)4-1】設(shè)集合，，定義，則中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】用列舉法表示出集合，即可得到結(jié)論.【詳解】因為集合，，定義,所以.一共6個元素.故選：D【練習(xí)4-2】若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為_____.【答案】【解析】【分析】分“鯨吞”或“蠶食”兩種情況分類討論求出值，即可求解【詳解】當(dāng)時，，此時滿足，當(dāng)時，，此時集合只能是“蠶食”關(guān)系，所以當(dāng)集合有公共元素時，解得，當(dāng)集合有公共元素時，解得，故的取值集合為.故答案為：【請完成課時作業(yè)（一）】【課時作業(yè)（一）】A組基礎(chǔ)題1．已知全集U＝｛0，1，2，3，4｝，集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛2，3，4｝，則｛0，1，4｝＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用交并補運算法則進行計算，選出正確答案.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，，D正確.故選：D2．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，根據(jù)二次不等式的解法求得，再求交集即可【詳解】由題意，，，故故選：C3．集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】解不等式，求出集合B，進而求出并集.【詳解】，所以故選：B4．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用補集的定義可得正確的選項．【詳解】由補集定義可知：或，即，故選：D．5．集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再結(jié)合韋恩圖及交集、并集、補集的定義計算可得；【詳解】解：∵，，∴，則，，選項A中陰影部分表示的集合為，即，故A錯誤；選項B中陰影部分表示的集合由屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成，即，故B正確；選項C中陰影部分表示的集合由屬于B但不屬于A的元素構(gòu)成，即，有1個元素，故C錯誤；選項D中陰影部分表示的集合由屬于但不屬于的元素構(gòu)成，即，故D錯誤．故選：B．6．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先解出集合A,B,再求交集即可.【詳解】解：因為，由合，解得，所以，又因為，由，解得，所以，所以.故選：D.7．若集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，先對集合進行化簡，再利用交運算即可求解.【詳解】由題意知，，所以．故選:B．8．已知集合，則（）A． B．EC．FD．Z【答案】A【解析】【分析】由交集補集的定義求解即可【詳解】易知，所以．故選：A．9．若全集，集合，集合，則=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，再結(jié)合集合的運算，即可求解.【詳解】由得或，即由可得，，即則所以故選：B10．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和對數(shù)不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】集合，，則.故選：B.二、多選題11．集合，且，實數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C． D．2【答案】ABC【解析】【分析】由題設(shè)且，討論是否為空集求對應(yīng)的參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，又，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，1或2為的解，則或.綜上，或或.故選：ABC三、解答題12．已知全集，集合，(1)求，；(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，或(2)【解析】【分析】（1）首先解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集、并集、補集的定義計算可得；（2）依題意可得，即可得到不等式，解得即可；(1)解：由，即，解得，所以，又，所以，或，所以或；(2)解：因為，所以，所以，解得，即；13．已知全集，集合，集合.(1)若，求和；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法，求解集合，，再根據(jù)補集運算求解即可；（2）由題知，再分和兩種情況討論求解即可；(1)解：由已知，所以當(dāng)時，，所以，(2)若，則當(dāng)時，，適合題意故，從而∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）∴，∴由得，解之得且綜上所述，的取值范圍為B組能力提升題1．已知集合，設(shè)整除或整除，令表示集合所含元素的個數(shù)，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義進行分析，從而確定正確答案.【詳解】表示集合所含元素的個數(shù)，其中，