固體物理第一章第一節(jié)模型及基態(tài)性質(zhì)

固體物理第一章第一節(jié)模型及基態(tài)性質(zhì)第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五自由電子氣(自由電子費(fèi)米氣體)：自由的、無(wú)相互作用的

、遵從泡利原理的電子氣。一、索末菲模型§1.1模型及基態(tài)性質(zhì)1忽略金屬中電子和離子實(shí)之間的相互作用—

自由電子假設(shè)(freeelectronapproximation)2忽略金屬中電子和電子之間的相互作用—

獨(dú)立電子假設(shè)(independentelectronapproximation)第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五3價(jià)電子速度服從費(fèi)米—狄拉克分布—自由電子費(fèi)米氣體

（freeelectronFermigas)

4不考慮電子和金屬離子之間的碰撞

(Nocollision)由索末菲的假定,金屬晶體盡管是復(fù)雜的多體系統(tǒng),但是對(duì)于其中的價(jià)電子來(lái)說(shuō),每一個(gè)價(jià)電子都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的波函數(shù),該波函數(shù)可由量子力學(xué)中單電子的定態(tài)薛定諤方程得到.下面我們首先利用量子力學(xué)原理討論溫度為零時(shí)單電子的本征態(tài)和本征能量,并由此討論電子氣的基態(tài)和基態(tài)能量.第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、單電子本征態(tài)和本征能量建立單電子的運(yùn)動(dòng)方程---薛定諤方程處理該問(wèn)題的思路：選擇一個(gè)研究對(duì)象---簡(jiǎn)單金屬固體利用索末菲模型---單電子問(wèn)題求解薛定諤方程---本征態(tài)和本征能量第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五由自由電子氣體模型，N個(gè)原子和N個(gè)電子的多體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單電子問(wèn)題。自由電子數(shù)目為：N為計(jì)算方便,設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，內(nèi)有N個(gè)原子，一個(gè)原子提供1個(gè)價(jià)電子。則金屬的體積:V=L3按照量子力學(xué)假設(shè)，單電子的狀態(tài)用波函數(shù)描述,且滿足薛定諤方程。第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中：V(r)為電子在金屬中的勢(shì)能，為電子的本征能量對(duì)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，在自由電子氣體模型下可設(shè)勢(shì)阱的深度是無(wú)限的。取坐標(biāo)軸沿著立方體的三個(gè)邊，則粒子勢(shì)能可表示為：1.薛定諤方程及其解第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在自由電子模型下，由于忽略了電子和離子實(shí)、電子和電子之間的相互作用，所以金屬內(nèi)部的相互作用勢(shì)能可取為零。因而薛定諤方程變?yōu)椋?--電子的本征能量

----電子的波函數(shù)(是電子位矢的函數(shù))第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

C為歸一化常數(shù)由正交歸一化條件：這和電子在自由空間運(yùn)動(dòng)的方程一樣，方程有平面波解：第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

所以，波函數(shù)可寫(xiě)為：

為波矢，其方向?yàn)槠矫娌ǖ膫鞑シ较虻拇笮∨c電子的德布羅意波長(zhǎng)的關(guān)系為：第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五把波函數(shù)得到電子的本征能量：2.電子的動(dòng)量代入薛定諤方程將動(dòng)量算符作用于電子的波函數(shù)得：第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以也是動(dòng)量算符的本征態(tài)

3.電子的速度確定的動(dòng)量電子處在態(tài)時(shí)，電子有第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五相應(yīng)的能量:邊界條件的選取，既要考慮電子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況（表面和內(nèi)部）；又要考慮數(shù)學(xué)上可解。4.波矢的取值波矢的取值應(yīng)由邊界條件來(lái)確定即電子的能量和動(dòng)量都有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，但是,經(jīng)典中的平面波矢可取任意實(shí)數(shù)，對(duì)于電子來(lái)說(shuō)，波矢應(yīng)取什么值呢？第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五常用邊界條件人們廣泛使用的是周期性邊界條件（periodicboundarycondition),又稱(chēng)為波恩-卡門(mén)（Born-vonKarman)邊條件周期性邊界條件駐波邊界條件亦即：顯然，對(duì)于一維第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五一維情形下，相當(dāng)于首尾相接成環(huán)，從而既有有限尺寸，又消除了邊界的存在。

三維情形，可想象成L3的立方體在三個(gè)方向平移，填滿了整個(gè)空間，從而當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來(lái)，而是進(jìn)入相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來(lái)，而是離開(kāi)金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來(lái)。周期性邊條件恰好滿足上述行波的特點(diǎn)，表明了選取該邊條件的合理性第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五將周期性邊界條件代入電子的波函數(shù)得：Wherethequantitynx,ny,nzareanyinteger第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五以波矢的三個(gè)分量為坐標(biāo)軸的空間稱(chēng)為波矢空間或空間。5.波矢空間(-space)和空間的態(tài)密度所以，周期性邊條件的選取，導(dǎo)致了波矢取值的量子化，從而，單電子的本征能量也取分立值，形成能級(jí)。nx,ny,nz取值為整數(shù)，意味著波矢取值是量子化的。第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五金屬中自由電子波矢：nx,ny,nz取值為任意整數(shù)由于波矢取值是量子化的，它是描述金屬中單電子態(tài)的適當(dāng)量子數(shù)，所以，在空間中許可的值是用分立的點(diǎn)來(lái)表示的。每個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)允許的單電子態(tài)。所以，代表點(diǎn)（單電子態(tài)）在空間是均勻分布的。第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五由波矢的取值特點(diǎn)，可以看出：1)在波矢空間每個(gè)(波矢)狀態(tài)代表點(diǎn)占有的

體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點(diǎn)數(shù)):第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、基態(tài)和基態(tài)能量前面得到了索末菲模型下單電子的本征態(tài)和本征能量，那么，如何得到系統(tǒng)的基態(tài)和基態(tài)能量呢？1.N

個(gè)電子的基態(tài)、費(fèi)米球、費(fèi)米面電子的分布滿足：能量最小原理和泡利不相容原理我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，則單位相體積可容納的電子數(shù)為：我們已知自由電子費(fèi)米氣體的單電子能級(jí)的能量(本征能）N電子的基態(tài)(T=0K)，可從能量最低的=0

態(tài)開(kāi)始，從低到高，依次填充而得到,每個(gè)態(tài)兩個(gè)電子。第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在空間中，具有相同能量的代表點(diǎn)所構(gòu)成的面稱(chēng)為等能面，顯然，由上式可知，等能面為球面。(一定）由于N很大，在空間中，N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)最后形成一個(gè)球，即所謂的費(fèi)米球（Fermisphere)。第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五費(fèi)米球相對(duì)應(yīng)的半徑稱(chēng)為費(fèi)米波矢（Fermiwavevector).用kF來(lái)表示。在k空間中，把N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)分開(kāi)的界面叫做費(fèi)米面(Feimisurface)基態(tài)時(shí)(T=0k)，電子填充的最高能級(jí),稱(chēng)為費(fèi)米能級(jí)F基態(tài)時(shí)(T=0k)，N個(gè)電子填滿整個(gè)費(fèi)米球，所以：第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以，費(fèi)米波矢kF為:n為電子密度從而，相關(guān)的電子的費(fèi)米能量F、費(fèi)米動(dòng)量

pF、費(fèi)米速度F、費(fèi)密溫度TF等都可以表示為電子密度n的函數(shù),這也就是前面我們所提到的自由電子氣體模型可用電子密度n來(lái)描述，而且，n是僅有的一個(gè)獨(dú)立參量的原因。第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于給定的金屬,價(jià)電子密度是已知的.由此,我們可以求得具體的費(fèi)米波矢、費(fèi)米能量、費(fèi)米速度、費(fèi)米溫度等.計(jì)算結(jié)果顯示費(fèi)米波矢一般在108cm-1量級(jí),費(fèi)米能量為1.5～15eV、費(fèi)米速度在108cm/s量級(jí)、費(fèi)米溫度在105K量級(jí).第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能量為：考慮到電子數(shù)密度很大,因而上述求和可過(guò)渡到積分.2.基態(tài)能量自由電子氣體的基態(tài)能量E，可由費(fèi)密球內(nèi)所有單電子能級(jí)的能量相加得到。因子2源于泡利原理第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五變?yōu)榉e分得：代入將得：第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能為：考慮到：得到：和第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此可得每個(gè)電子的平均能量為：上述求解是在空間進(jìn)行的，涉及到矢量積分，在一些實(shí)際問(wèn)題中，比較麻煩，為此，人們常把對(duì)的積分化為對(duì)能量的積分，從而引入能態(tài)密度。第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.能態(tài)密度(1)定義:若在能量E~E+dE范圍內(nèi)存在N個(gè)單電子態(tài)，則能態(tài)密度N(E)定義為：

能量E附近單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，稱(chēng)為能態(tài)密度第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五教材中引入的是單位體積的能態(tài)密度，即單位體積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，用g()表示。顯然，能量

~+d

范圍內(nèi)存在的單電子態(tài)數(shù)為：對(duì)于費(fèi)米球內(nèi)的自由電子來(lái)說(shuō)，在k空間中

～

+d

的等能面球殼，分別對(duì)應(yīng)k～

k+dk.第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五下面計(jì)算自由電子氣體模型下單位體積的能態(tài)密度。思路：利用在k空間中波矢密度公式，考慮泡利原理，求得能量間隔在d內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目dN即可。k空間中，k~k+dk對(duì)應(yīng)的體積：我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以，能量間隔在d內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目dN

為：

由自由電子的本征能量公式：第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以：又：所以，單位體積的能態(tài)密度：與電子本征能量的平方根成正比.第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五能態(tài)密度與系統(tǒng)的維度有關(guān)，上述結(jié)果僅是三維自由電子氣的結(jié)果，如果是一維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)閮蓚€(gè)等能點(diǎn)；二維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)榈饶芫€，相應(yīng)的能態(tài)密度為:一維自由電子的能態(tài)密度：與電子本征能量的平方根成反比.二維自由電子的能態(tài)密度：第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五從統(tǒng)計(jì)物理的角度出發(fā),低能激發(fā)態(tài)被熱運(yùn)動(dòng)激發(fā)的概率比高能激發(fā)態(tài)大得多.如果低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度大,體系的熱漲落就強(qiáng),相應(yīng)的有序度降低或消失,不易出現(xiàn)有序相.也就是說(shuō),低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度的大小影響著體系的有序度和相變.三維自由電子體系,在低能態(tài)的能態(tài)密度趨于零,因而低溫下所引起的熱漲落極小,體系可具有長(zhǎng)程序;對(duì)一維自由電子體系來(lái)說(shuō)，在低能態(tài)的能態(tài)密度很大,而且隨能量的降低而趨于無(wú)窮,因而低溫下所引起的熱漲落極大，導(dǎo)致一維體系不具長(zhǎng)程序.第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五利用單位體積的能態(tài)密度，同樣可求得自由電子氣在基態(tài)時(shí)的總能量E(費(fèi)米球內(nèi)所有單電子能級(jí)和）和基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量。基態(tài)能量：

二維自由電子體系的能態(tài)密度是常數(shù),介于一維和三維中間,體系可具有準(zhǔn)長(zhǎng)程序,而且極易出現(xiàn)特殊相變,導(dǎo)致新的物理現(xiàn)象.如二維電子氣系統(tǒng)中的量子霍爾效應(yīng)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)象.第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五這和前面的計(jì)算結(jié)果一致。類(lèi)似的基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量為：（同學(xué)們課下自己推算）（SeeP8)由此可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。按照經(jīng)典的自由電子氣體（Drude)的模型，電子在T=0時(shí)的平均能量為零。第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在統(tǒng)計(jì)物理中，把體系與經(jīng)典行為的偏離，稱(chēng)為簡(jiǎn)并性(degeneracy).因此，在T=0K時(shí)，金屬自由電子氣是完全簡(jiǎn)并的。系統(tǒng)簡(jiǎn)并性的判據(jù)是：

因而,只要溫度比費(fèi)米溫度低很多,電子氣就是簡(jiǎn)并的.由于費(fèi)米能量在幾個(gè)電子伏特,而室溫下的熱擾動(dòng)能大約為0.026電子伏特,所以室溫下電子氣也是高度簡(jiǎn)并的.需要指出的是這里電子氣簡(jiǎn)并的概念與量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并毫無(wú)關(guān)系,量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并通常指不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)相同能量的情形.第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編