第04講曲線運(yùn)動(dòng)

2020年強(qiáng)基計(jì)劃物理專題講解（核心素養(yǎng)提升）第4講曲線運(yùn)動(dòng)知識精講1.曲線運(yùn)動(dòng)的基本知識軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)叫曲線運(yùn)動(dòng)。它一定是一個(gè)變速運(yùn)動(dòng)。如圖表示一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，它經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，在P點(diǎn)兩旁的軌跡上取兩點(diǎn)，過三點(diǎn)可作一圓，當(dāng)這兩點(diǎn)無限趨近于P點(diǎn)時(shí)，則圓亦趨近于一個(gè)定圓，我們把這個(gè)圓叫P點(diǎn)的曲率圓，曲率圓的半徑叫P點(diǎn)的曲率半徑，曲率圓的圓心叫P點(diǎn)的曲率中心，曲率半徑的倒數(shù)叫P點(diǎn)的曲率。如圖，亦可做出Q點(diǎn)的曲率圓。曲率半徑大，曲率小，表示曲線彎曲較緩，曲率半徑小，曲率大，表示曲線彎曲厲害。直線可認(rèn)為是曲率半徑為無窮大的曲線。質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的方向總是沿該點(diǎn)的切線方向。如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在△t時(shí)間內(nèi)沿曲線由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度由VA變化到VB，則其速度增量為兩者之矢量差，=VB―VA，這個(gè)速度增量又可分解成兩個(gè)分量：在VB上取一段AC等于VA，則△V分解成△V1和△V2，其中△V1表示質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B的速度方向上的增量，△V2表示速度大小上的增量。法向加速度an表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度方向改變的快慢，其大小為在A點(diǎn)的曲率圓的向心加速度：其方向指向A點(diǎn)的曲率中心。切向加速度az表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。2.拋物運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特例物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動(dòng)在地球表面附近，它的運(yùn)動(dòng)高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動(dòng)過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運(yùn)動(dòng)是一種加速度恒定的曲線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理，拋體運(yùn)動(dòng)可看成是由兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。如圖,取拋物軌跡所在平面為平面，拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。則拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：其軌跡方程為這是開口向下的拋物線方程。在拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上的情況下，飛行時(shí)間T，射程R和射高H分別為拋體運(yùn)動(dòng)具有對稱性，上升時(shí)間和下降時(shí)間（拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一水平面上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點(diǎn)和從最高點(diǎn)下降到同一高度的時(shí)間相等）；上升和下降時(shí)經(jīng)過同一高度時(shí)速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。下面介紹一種特殊的拋體運(yùn)動(dòng)——平拋運(yùn)動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運(yùn)動(dòng)叫平拋運(yùn)動(dòng)。它可以看成水平方向上的勻速運(yùn)動(dòng)（速度為v0）與豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成。①速度：采用水平豎直方向的直角坐標(biāo)可得：，其合速度的大小為，其合速度的方向?yàn)椋ㄔO(shè)水平方向夾角為θ），可見，當(dāng)時(shí)，，即表示速度趨近于自由落體的速度。②位移：仍按上述坐標(biāo)就有，。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論，當(dāng)時(shí)間很長時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)趨近于自由落體運(yùn)動(dòng)。③加速度：采用水平和豎直方向直角坐標(biāo)系有,，用自然坐標(biāo)進(jìn)行分解，如圖2-3-4其法向加速度為，切向加速度為，θ為速度與水平向方的夾角，將速度在水平與豎直方向的坐標(biāo)系中分解可知：由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為：由上兩式可以看出，隨著時(shí)間的推移，法向加速度逐漸變小趨近于零，切向加速度趨近于定值g，這表示越來越接近豎直下拋運(yùn)動(dòng)。在生活中也很容易看到，平拋物體的遠(yuǎn)處時(shí)就接近豎直下落了。運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：從方程可以看出，此圖線是拋物線，過原點(diǎn)，且越大，圖線張開程度大，即射程大。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，經(jīng)常把斜拋運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的豎直上拋運(yùn)動(dòng)來處理，但有時(shí)也可以用其它的分解分法。拋體運(yùn)動(dòng)另一種常用的分解方法是：分解沿方向的速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。如圖所示，從A點(diǎn)以的初速度拋出一個(gè)小球，在離A點(diǎn)水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點(diǎn)。問小球以怎樣的角度拋出，才能使最?。繉⑿睊佭\(yùn)動(dòng)看成是方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和另一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，如圖所示。在位移三角形ADB在用正弦定理 ①④軌跡：由直角坐標(biāo)的位移公式消去時(shí)間參數(shù)t便可得到直角坐標(biāo)系中的平拋運(yùn)動(dòng)由①式中第一個(gè)等式可得 ②將②式代入①式中第二個(gè)等式當(dāng)有極大值1時(shí)，即時(shí)，有極小值。因?yàn)?，所以?dāng)小球越過墻頂時(shí)，y方向的位移為零，由②式可得③式代入式①：我們還可用另一種處理方法以AB方向作為x軸這樣一取，小球在x、y方向上做的都是勻變速運(yùn)動(dòng)了，和g都要正交分解到x、y方向上去。小球運(yùn)動(dòng)的方程為∴當(dāng)最大，即時(shí)，，有極小值3.質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)：如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為R的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用角度θ表示（習(xí)慣上以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角正，順時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度表示：質(zhì)點(diǎn)P的速度方向在圓的切線方向，大小為ω（或v）為常量的圓周運(yùn)動(dòng)稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時(shí)刻在變。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度，其加速度沿半徑指向圓心，稱為向心加速度（法向加速度）。an向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，速度不僅大小可以變化，方向也在不斷變化，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在沿圓周由A到B的過程中，其速度的增量。其瞬時(shí)加速度：上式中，為法向加速度，它描述速度方向的變化快慢，大小為；為切向加速度，它描述速度大小的變化快慢。對勻速圓周運(yùn)動(dòng)而言，=0，而對一般曲線運(yùn)動(dòng)，，式中為質(zhì)點(diǎn)所在位置的曲線的曲率半徑。物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件是，物體受到始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小恒定的力的作用。由牛頓第二定律可知，其大小為。在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量產(chǎn)生向心加速度。切向分量產(chǎn)生切向加速度。4.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)都繞轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，且各點(diǎn)的角位移θ、角速度ω、角加速度β都相同。，當(dāng)β為常量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可類比于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，因而有：做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其上一點(diǎn)（到轉(zhuǎn)軸的距離為R）的線速度v、切向加速度、向心加速度與剛體的角速度ω和角加速度β的關(guān)系是：，，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種周期性運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律的描述不同于勻變速運(yùn)動(dòng)。在圓周運(yùn)動(dòng)中，位移、速度與時(shí)間的關(guān)系再不是研究的重點(diǎn)，其重點(diǎn)是研究周期、角速度、速率、半徑等物理量與加速度的聯(lián)系。從而進(jìn)一步研究運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系。在一般圓周運(yùn)動(dòng)中，要注意加速度一方面描述了速度大小的變化快慢，另一方面又描述了速度方向的變化快慢。典型例題題型一平拋運(yùn)動(dòng)的理解與應(yīng)用例1（浙江大學(xué)自招）在仰角α＝30°的雪坡上舉行挑臺滑雪比賽，如圖所示。運(yùn)動(dòng)員從坡上方A點(diǎn)開始下滑，到起跳點(diǎn)O時(shí)借助設(shè)備和技巧，保持在該點(diǎn)的速率而以與水平成θ角的方向起跳。最后落在坡上B點(diǎn)，坡上OB兩點(diǎn)距離L為此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的記錄。已知A點(diǎn)高于O點(diǎn)h＝50m，不計(jì)摩擦和阻力，則最遠(yuǎn)可跳多少米？此時(shí)起跳角為多大？變式1.（上海交通大學(xué)自招）如圖所示，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)測量平拋運(yùn)動(dòng)初速度的實(shí)驗(yàn)裝置。O點(diǎn)是小球平拋運(yùn)動(dòng)拋出點(diǎn)，在O點(diǎn)有一個(gè)頻閃的點(diǎn)光源，閃光頻率為30Hz，在拋出點(diǎn)的正前方，豎直放置一塊毛玻璃，在小球拋出后的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)光源閃光時(shí)，在毛玻璃上有一個(gè)投影點(diǎn)，在毛玻璃右邊用照相機(jī)多次曝光的方法拍攝小球在毛玻璃上的投影照片。已知圖中O點(diǎn)與毛玻璃水平距離L=1.2m，相鄰的小球投影點(diǎn)之間的距離△h=5cm，則小球在毛玻璃上的投影點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)，小球平拋運(yùn)動(dòng)的初速度是m/s。（g取10m/s2）變式2．（華約自主招生）小球從臺階上以一定初速度水平拋出，恰落到第一級臺階邊緣，反彈后再次落下經(jīng)0.3s恰落至第3級臺階邊界，已知每級臺階寬度及高度均為18cm，取g=10m/s2。且小球反彈時(shí)水平速度不變，豎直速度反向，但變?yōu)樵俣鹊?/4。（1）求小球拋出時(shí)的高度及距第一級臺階邊緣的水平距離。（2）問小球是否會落到第5級臺階上？說明理由。題型二斜拋運(yùn)動(dòng)的理解與應(yīng)用例2．(“卓越”自主招生)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度v0運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)開始受到恒力F0作用，速度大小先減小后增大，其最小值為v1＝eq\f(1,2)v0。質(zhì)點(diǎn)從開始受到恒力作用到速度最小的過程中的位移為()A.eq\f(3mv02,8F0) B.eq\f(\r(6)mv02,8F0)C.eq\f(\r(3)mv02,4F0) D.eq\f(\r(21)mv02,8F0)變式3.（25屆預(yù)賽）為訓(xùn)練宇航員能在失重狀態(tài)下工作和生活，需要?jiǎng)?chuàng)造一種失重的環(huán)境．在地球表面附近，當(dāng)飛機(jī)模擬某些在重力作用下的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以在飛機(jī)座艙內(nèi)實(shí)現(xiàn)短時(shí)間的完全失重狀態(tài)．現(xiàn)要求一架飛機(jī)在v1=500m/s時(shí)進(jìn)入失重狀態(tài)的試驗(yàn)，在速率為v2=1000m/s時(shí)退出失重狀態(tài)試驗(yàn)．重力加速度g=10m/s2試問：（1）在上述給定的速率要求下，該飛機(jī)需要模擬何重運(yùn)動(dòng)，方可在一定范圍內(nèi)任意選擇失重的時(shí)間的長短？試定量討論影響失重時(shí)間長短的因素．（2）飛機(jī)模擬這種運(yùn)動(dòng)時(shí)，可選擇的失重狀態(tài)的時(shí)間范圍是多少？題型三圓周運(yùn)動(dòng)的描述例3．(“華約”自主招生)如圖所示，AB桿以恒定角速度繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)套在水平桿OC上的小環(huán)M運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，AB桿在豎直位置，則小環(huán)M的加速度將()A．逐漸增大 B．先減小后增大C．先增大后減小 D．逐漸減小變式5.（26屆預(yù)賽）某同學(xué)選了一個(gè)傾角為θ的斜坡，他騎在自行車上剛好能在不踩踏板的情況下讓自行車沿斜坡勻速向下行駛，現(xiàn)在他想估測沿此斜坡向上勻速行駛時(shí)的功率，為此他數(shù)出在上坡過程中某一只腳蹬踩踏板的圈數(shù)N（設(shè)不間斷的勻速蹬），并測得所用的時(shí)間t，再測得下列相關(guān)數(shù)據(jù)：自行車和人的總質(zhì)量m，輪盤半徑Rl，飛輪半徑R2，車后輪半徑R3．試導(dǎo)出估測功率的表達(dá)式．己知上、下坡過程中斜坡及空氣作用于自行車的阻力大小相等，不論是在上坡還是下坡過程中，車輪與坡面接觸處都無滑動(dòng)．不計(jì)自行車內(nèi)部各部件之間因相對運(yùn)動(dòng)而消耗的能量．題型四圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題例4.(浙江大學(xué)自主招生)如圖所示，連通器有三根豎直開口的細(xì)管A、B、C，兩管之間的距離為L?，F(xiàn)向連通器中注入適量的水，并讓它繞中間的細(xì)管B轉(zhuǎn)動(dòng)起來，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω時(shí)，中間細(xì)管B內(nèi)的水面恰與橫管內(nèi)水面相齊。則A管中水面的高度h為多大？變式6.如圖所示，半徑為eq\f(l,4)、質(zhì)量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)相距為l，當(dāng)兩輕繩伸直后，A、B兩點(diǎn)到球心的距離均為l。當(dāng)豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)(輕繩a、b與桿在同一豎直平面內(nèi))。求：(1)豎直桿角速度ω為多大時(shí)，小球恰好離開豎直桿；(2)輕繩a的張力Fa與豎直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω之間的關(guān)系。題型四曲線運(yùn)動(dòng)的綜合問題例5.（23屆預(yù)賽）一半徑為的水平光滑圓桌面，圓心為，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線，如圖預(yù)17-2所示。一根不可伸長的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速度。物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為時(shí)，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)．（1）．問繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長度為多少?（2）．．物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰．取重力加速度大小為．變式7.(17屆預(yù)賽)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水