2018線代基礎(chǔ)講義1行列式的概念及性質(zhì)

第一章行列 行列式的概念及性 特殊形式的行列式計 行列式按行（列）展 法 第二章矩陣及其運 矩 矩陣的運 伴隨矩 逆矩 矩陣的初等變 2.5矩陣的 2.7分塊矩 n維向量的概念及其運 線性組合與線性表 向量組的線性相關(guān)與線性無 向量組的秩與矩陣的 向量空間、子空間與基、維數(shù)、坐 規(guī)范正交基與Sidt正交 第四章線性方程 線性方程組的表示形式和解向 方程組解的判 基礎(chǔ)解系的概念及其求 線性方程組解的結(jié) 公共解與同 第五章矩陣的特征值與特征向 矩陣的特征值與特征向 相似矩陣的概念與性 矩陣的相似對角 實對稱矩 第六章二次 二次型及其標(biāo)準(zhǔn) 合同矩 正定二次型與正定矩 第一章行列式行列式的概念及性1n個數(shù)1,2,n所構(gòu)成的一個有序數(shù)組，通常用j1j2"jnn列，顯然有n!n級排列逆序與逆序和稱為這個排列的逆序數(shù)，記做W(i1,i2,in)。奇排列與偶排逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列逆序數(shù)的計算方以32415為例，從第一個數(shù)依次查起，分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)序數(shù).對將一個排列中的某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動，這一變換即為一次對【例1】求下列排列的逆序數(shù)（2）n(n)".n

是所有取各自不不同列的n個元素的乘"nj1j2jn是1,2"nj1j2jn是偶排列時，上式帶有正號；當(dāng)j1j2"jn是奇排列時，上式帶有負(fù)號，也就是可寫成""##"#j12"

(1)W(jj"j)a "12 1j12 簡記為det(aijaijn【例2】利用定義計算下列行列式

表示對所有n級排列求和。行列式D通常 a2,nD

a2n an,n 3行列式的性行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等， DT任意對換行列式的兩行（或兩列）注：行列式中有兩行（或兩列）元素對應(yīng)相同，則此行列式為即 kai

k ai ain 注：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以得到行列式幾號的外面行列式中如果兩行（列）行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。即##"###"###"#b1b2" ""######### an2 an2 把行列式的某一列（行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行對應(yīng)的元素上去，行列式不變。即##"####"##ai"ai"########a a a an

a kai aj 3】如果

a23，D1

，則 （B）- （D）- 【例4】計算 0abaa0abb0abaa0abba0aaba0特殊形式的行列式計一般n

aa 類似地，上三角行列式的值也成立同樣的結(jié)論

11

a2

aa

11 關(guān)于副對角線，計

aaa11 a1,n aa "

n(n

2,n

(1)

1n2,n

0"00##"0#00"

OO

(

n(n OO

1 n兩種特殊 展開

B

(1)mnA 階 德（anrne）行列

(x–x xn xn

n≥i! ”表示全體同類因子的乘積。即n階范 德行列式等于x1,x2"xn這n個 xj(1≤j i≤n).的乘積.6】計算

【例7】計算

2333

3n 行列式按行（列）展

"a1"a1#"#"#"#""###"a1,j#a1,j#"#a#"a1,j#a1,j#"#ai"ai1,jai1,j"aiai#"ai1,j#ai1,j#"ai# an,j an,j 稱為元素aij的式， (1)ij稱為元素aij的代數(shù)式注：只改變aij所在行或者列中的值，并不影響其代數(shù)式Aij，并且有關(guān) °M ?M

當(dāng)ij為偶數(shù)時當(dāng) ˉ行列式按行（或列）行列式等于它的任一行（或列）的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)式乘積之和，# #或

#ai#

ai1 ai2Ai ainAini1,2,"", #

a1 a2

a1

a2

A2

j1,2,"",行列式中的某一行（或列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)式乘積之和ai1Aj1ai2Aj2"ain 0,izj或【例8】

a1iA1ja2iA2j"ani 0,izj 1中代數(shù)式A12=-1，則A21 3040222203040222207005322①求第4行各元素代數(shù)式之和②求第4行各元素式之和法如果線性方程

-a11x1a12 a1n ?°

a22

a2n #的系數(shù)行列式不等于零，

ˉan1x1an2 ann 那么，方程組有唯一

#

a2nz Dj

,,"

DDj

a1ja"a2ja"a2ja2j""""""""

a1j anj

注如果線性方程組的系數(shù)行列式Dz0如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零-a11-a11a12 a1n0a22 a2n0° °ˉan1x1an2 ann 0【例10】如果齊次線性方程O 0,有非零解，試求O°° ˉ 【例11】其次線性方程-3O O 有非零解，求O 1O ˉ 【例12】解下列線性方程- a a "n 1 1 ° a "n ? 2 2 a

"2"""na " ˉ n n 其中aizajizj,i, 1,,"n第二章矩陣及其運算矩矩m×n個數(shù)aij（i12,…m，j12,…nm行na a1n? a? 2n? # ? m mn稱為m行n列矩陣，簡稱為mun矩陣，簡記為A，也記為Amun或(aij)mun。若m=n，則稱A是n階矩陣或n階方陣。當(dāng)m 1時，即A a11，此時矩陣為一個數(shù)a11。

a2 am 當(dāng)矩陣元素 全為實數(shù)時，此矩陣稱為實矩陣只有一行的矩陣A a2"an)稱為行矩陣，又稱行向量；同理，只有一列的矩 所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記做ＯA{aij}mun和B{bij}mun bij ,"m; ,"n,則稱矩AB相等，記做A方陣的行列

a2 AA注：矩陣的行列式與矩陣是兩個不同的概念，前者是一個數(shù)，后者是一個數(shù)主對角線上元素全為1，其余元素均為0的n階方陣，稱為n階單位矩陣，記作ＥＥｎ（n階，?1

? ?

# # aa?a設(shè) ?

a1n

am1 2是將A的行和列對應(yīng)互換得到? # ? # ? m mn ? mn的num矩陣，稱它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT如果 A，即 i,j)，則A是對稱矩 稱矩如果 A，即 i,j)，則A是稱矩陣 B, B,OA也是（反）對稱矩陣，但不一定是（反）對稱矩陣設(shè)A{aij}是n階方陣，由行列式|A|中的每個元素aij的代數(shù)式Aij所構(gòu)成的陣a A21 An1? A ? n2?? ? ? nn稱之為矩陣A的伴隨矩陣。記為A注意：伴隨矩陣A*在位置(i,j)上的元素是矩陣A在位置(j,i)上的代數(shù)式An階矩陣，如aij0(izj，則稱其為對角矩陣，記為。設(shè)A是n階矩陣，若存在矩陣BAB=BA=E則稱A是可逆矩陣，并稱矩陣B是A的逆矩陣；A的逆矩陣唯一，記作A1設(shè)A是n階矩陣，如AAT=ATA=E,則稱A是正交矩陣。注：A是正交矩陣等價于A1 AT.矩陣的定設(shè) {aij}和 {bij}是mun的矩陣，A與B的加法（或稱和），記作A+B，

a a1nb1n? b {c A+ ? 2 2n ? m m mn注：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運加法的運算法 ( {aij}，記 {aij}，A稱為矩陣A的負(fù)矩陣，顯然有A( 由此規(guī)定矩陣的減法

A(aa11 a1nb1n? b ( ??

# #

2 2n##定

? m m mn數(shù)O與矩陣 ，a Oa1n? OaO AOO(a (Oa ? 2nij ij ? #??

Oam

(OP) (OP) O( OA21a21a321212? ?121

，且(2 X X 0X

??1 定設(shè)A {aij}是一個mus矩陣，B {bij}是一個sun矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積為一個mun的矩陣C {cij}mun，其中s ai1b1 ai2b2 ais |aikk( 1,2,"m; 1,2,"n)并把此乘積記

注：（i）只有在左矩陣A的列數(shù)和右矩陣B的行數(shù)相等時，才能定義乘法矩陣C=AB的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)則是BC=AB在ijAiBj列對應(yīng)元素的設(shè)A是n階矩陣，定義 A, Ak A(Ak) .由于乘法成立分配律結(jié)合律，Ak AkAl，(Ak 稱A與B是可交換的；(A BAB2z 2 B2；( (AB)(AB)zA2B2(AB)kzAkBk（k為自然數(shù)；( B)z O不是一定有 O或 O；若AzO，而A( Y O，不能得 ( O O(AB)（其中O為數(shù) AC， BA

【例2】設(shè)

?,

?ABBA

3 0 a12 0 0a 【例3】設(shè) a?, , ? 0?a AB和CA

? 22 a 2 ? c? 32 3(AT A( BT OAT),O( BT(AT ,【例4（2002）設(shè)D(1,2,1)T， T ,2

DET，則 On A 【例5】已知A,B均為n階方陣，則必 （A）( 2 （B）( AT（C） 0時， 0或

0或 【例6】計算

??O3 【例7】設(shè) ?，求A 【例8】設(shè) ?，則A2 ，A3 0??1

§ A21 ¨ A設(shè)A是n階矩陣，則 ¨ n2?¨ ?

? nnAn階方陣，A*A A*A|A|

|A|n1;ntA*A*r(

An2AT*-n,若r( °若r( nˉ°0若rA)nˉ* * 1 若A可逆，則 A, ,

AA kn1( B* ?，矩陣B滿足： E,則 1逆矩設(shè)A是n階矩陣，若存在矩陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆矩陣，并稱矩陣B是A的逆矩陣；A的逆矩陣唯一，記作A1【例10（2001）設(shè)n階矩陣A滿足 A 0，則(AE) AAz0 1A*，其中A為矩陣A的伴隨陣 若A可逆，則A1亦可逆，并且(A1) A若A可逆，Oz0，則OA亦可逆，并且(OA) 1A1O|A1

o|AA、BAB亦可逆，且AB1B1A11 A可逆，則AT亦可逆，且AT)1A1)T若A可逆，則|A1 |A

，An A1（因為|A||A1||AA1||E|1n階方陣A可 Az0r( "s齊次方程組Ax=0只有零解若AB=BA=E，則A 伴隨矩陣A 1A*AA初等變換行(A#E)o"（E#A1分塊矩陣1aB

OoaOBo a C1?O

C

C

?B O ? § 【例11】設(shè)A¨ 1?，求A1 ¨ 矩陣的初等變下面三種變換稱為矩陣的初等變互換矩陣中兩行（列）元素（記rimo 或cimocjk乘矩陣的某一行（列（kuri或kuci矩陣的某一行（列元素k倍加到另一行（列對應(yīng)元素上（記ri kurj或ci kucj ?

4?將

4?進行初等變換，得到

3 ?

– ?

?0?

?

0矩陣 稱為行階梯形矩陣，具有以下特點零行（即元素全為零的行）各非零行左起第一個非零元素的列指標(biāo)由上至下是嚴(yán)格增大的矩陣 也稱為行最簡形矩陣，具有以下特點每個非零行左數(shù)第一個非零元是1，并且它所在列的其它元素都是0定單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。有以下三種類型：對調(diào)、倍乘、倍加， % % m第i E(i,

#

mj? % % E m第i行,其中kz0 % % E E

kc ???1???1?m第j??%?

mi,初等矩陣的性-性質(zhì) 初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆陣也是同類初等矩陣-E-1(i, E(i,j)；

-1

E(i())；k

krj

性質(zhì)2初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是同類初等矩陣ET(i,j)E(i,j)；ET E(i(k))；E kr kr 3P左（右）APA（AP）AP同樣

E~

1 1

3?，可以看出PA是A交換兩行得到的

§1 §1，記

110,

001 ? ¨00 ¨0 A P

P1 （C）P

PP2 2定 0矩陣A經(jīng)過有限次初等變換成矩陣B則稱矩陣A與B等價記作A#B若A# ?0 A的等價標(biāo)準(zhǔn)形，其中Err階單位矩陣，rA矩陣間等價的性A A是munmP，nQ PAQ= 2.5非零子式的最

1 【例13（2001）設(shè)矩陣A ?，r(A)3，則 ¨ 1 A為mun階矩陣，則rA)dmin^mr( B)dr( r(B)r(AB)dmin^r(A),r(B)`r(A)r(r(AC)r( r(AT r(AAT)Amun階矩陣，B是nus階矩陣， O，則r( r(B)dn【例14（2010）設(shè)A是mun階矩陣，B是num階矩陣， r( m, r( m, r( n, r( n, 2.7定矩陣分塊是將矩陣用任意的橫線和縱線切開，例 a14A A ? 24??a31 a34?a??a?a??aA

a?；令 A，A

14，

a@a 1 1 a aa 1 1 a a a? ? 22 ? 24Ao 34Ao

a12 A? 22 a14 aa aa? a? 24

a?；令 A，A

13 ? ?a a ?21 ? 23? 34aa14o >@ a@ >@ ?a ?24a AA則A A? 23，， a14 ，，aaaA aaa

?。令A(yù)? ?A? 24 ?21 ?22 a23 a23 a24AAAA@??1234

a B2oaA1 A2B2 ? ? ? 4?? 4?? 4a BoaX YoaAX AY ??CD??ZW?

aAT?CT

?

CT?

DTaB O ? nO 1 1aB

OoaOBo a C1?O

C

?B O ? *§ A·*15（2009）A，B2

2,

3，則 第三章nn維向量的概念及其運1.n（1）nn（實a1a2"ann（實向量（用希臘字母α來表示，記作 (a1,a2,an)，其中第i個數(shù)ai稱為向量α的（第i個）分量§a1¨ ¨a2¨#¨?an為n維列向量。那么n維行向量就是 (a1,a2,an)，顯然它們可以分別看成nu1的所有分量都為零的向量。一般記作02.n設(shè) (a,a"a)T， (b,b"b （1）負(fù)向量：稱向量(a1a2a)n為向量D的負(fù)向量（2）向量加法：稱向量αβ1b, b,2nbT為向量DEn向量減法：γα α(β)=(a1–b,a–b"a–b)T為D和(E)的加法1 數(shù)乘向量：設(shè)k是一個數(shù)。稱向量

kα (ka1,ka2,a

)T為向量D和數(shù)k1122向量內(nèi)積：α, a a αT βT1122向量相等：兩向量大小相等，方向相同稱為兩向量相題。特別的，若α,β 0，則稱α,β正交.長度定義：||α 正交定義：(α,β)αT βT a a "a 01 2 n A AT |A|1β1=(1,a,0),β2(12b，求,a,bβ1β202】3(α1α2(α2α5(α3αα a4 ? ? ??, ??, ?? ?1? ?5? ?? ? ? ?1線性組合與線性表向量組的概若干個數(shù)的列向量（或數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組設(shè)有向量組A：D1、D2"、Dm是向量，k1、k2、…、km是一組實數(shù)，稱量k1D1k2D2"kmDmAA有無窮種組A：D1、D2"、DmE是向量，如果存在實數(shù)O1、O2}、Om，使EλD1λ2D2"λmDm，則稱向量E可以由向量組AE是D1、D2"、Dm的線性組合。向量組等價定義如果向量組（I）D1、D2"、Dm中每個向量都可由向量組（II）E1E2"Em表出，則稱向量組（I可由向量組（II線性表出，如兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價任一向量組和他的極大無關(guān)組等價兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價非零列向量E可由D1,D2",s§x1

¨非齊次方程(D,D",)¨2x?E有 r(D,D,,D r(D,D",,E s¨# ¨?xs若D1,D2,,s線性無關(guān)，D1,D2",s,E線性相關(guān)，則E可 D1,D2",線性表示設(shè)D1,D2",s線性無關(guān)，E(D1,D2", 【例3】β可由向量組α1α2"存在一組不全為零的數(shù)k1,k2"k，使等式 k2 "kmαm成存在一組全為零的數(shù)k1,k2"k，使等式 k2 "kmαm成4】β可由向量組α1α2"線性表示，但不能由向量組（Ⅰα1α2"m"αm不能由（Ⅰ）線性表示，也不能由（Ⅱ）αm不能由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）αm可由（Ⅰ）線性表示，但可由（Ⅱ）線性表示αm可由（Ⅰ）線性表示，但不可由（Ⅱ）線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無 k2D2 kmDm 若k1D1k2D2"ksD 0，則k1,k2,"ks全為零，稱D1,D2,D線性無關(guān)向量組D1、D2"、Dmax1齊次方程組(D,D )??0*有非零解 m?#?x?m向量組的秩rD1,D2D m（向量組的個數(shù)存在某Di（i=1,2，...,s）可由其余 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)只有一個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是這個向量是零向量只有兩個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是這兩個向量的坐標(biāo)對應(yīng)成比例。個數(shù)多于維數(shù)的向量組必線性相關(guān)。向量組中的部分向量線性相關(guān)，則原向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)，則它的部分向量也線性無關(guān)。n向量組D1,D2,,s線性相 有個向量可由其余向量線性表§x1¨齊次方程(D,D",)¨2x?0有非零 r(D,D,,D s¨# ¨?xs特別地nn維向量D1,D2,",nr(D1,D2,",Dn |D1,D2,",Dn 向量組含有零向量或成比例的向量必部分相關(guān)，則整體相相關(guān)，則低維相以少表多，則多必相推論：n+1n維向量必相關(guān)線性無關(guān)的定義對于向量組D1、D2"、Dm，如果k1D1 k2D2 kmDm 0，必有 k 0，則稱向量組D1、D2"、Dm線性無關(guān)?；蛘哒f，只要k1,k2"不全為零，必有k1D1k2D2"kmDmz0，則稱向量組D1、D2"、Dm線性無關(guān)。線性無關(guān)的判定向量組D1、D2"、Dmax1齊次方程組(D,D )??0只有零解 m?#?x?m向量組的秩rD1,D2D m（向量組的個數(shù)每一個向量Di（i=1,2，...,m）s-1線性無關(guān)的性質(zhì)1若向量組D1,D2"D線性無關(guān)，則它的任一個部分組Di1

,,i

必線性關(guān)若向量組D,D

線性無關(guān)，則它的任一延

aD1oaD2oaDmo性無關(guān)

?E??E ?E?1??2 ?m階梯形向量組一定線性無關(guān)兩兩正交、非零的向量組必線性無關(guān)向量組D1,D2"D線性無關(guān)，而向量組D1,D2"D,E線性相關(guān)，則ED1,D2"D若向量組D1,D2"DE1E2"Etmt，則D1,D2D線性相關(guān)注：多數(shù)向量可由少數(shù)向量線性表出，則多數(shù)向量線性相關(guān)若向量組D1,D2D可由向量E1E2"Et線性表出，且D1,D2D線性無關(guān)，則mdt。【例5】設(shè)α1,α2"均為n維向量，那么，下列結(jié)論正確的 (A)若k1α1k2α2" 0，則α1,α2"線性相k1k2"k，都有k1α1k2α2"kmαmzα1α2"若α1,α2" 線性相關(guān)，則對任意一組不全為零 k1,k2 ，都k1α1k2α2" 【例6】n維向量組α1α2"s3dsdn線性無關(guān)的充要條件是A)存在一組不全為零的數(shù)k1k2"ks，使k1α1k2α2"ksαszα1α2"α1,α2"α1,α2"【例7】已知α1,α2,α3線性無關(guān)，證明 α2, 2α3, 【例8】設(shè) O5,1,3, 1,O5,3, 3,3,O3 時，α1,α2,線性相關(guān)； 時，α1,α2,α3線性無關(guān)向量組的秩與矩陣的極大線性無關(guān)在向量組D1,D2",s中，如果存在一個部分組Di,Di"D 線性無關(guān)，且再添加 組中任意向量Dj，向量組Di,Di"D，Dj一定線性相關(guān)，則稱向量組Di,Di"D 向量組D1,D2",s（i）只由一個零向量構(gòu)成的向量組不存在極大線性無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0，一個線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是該向量組自身。（ii）一般來說，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的，但這些極大線性無關(guān)組是等價的，從而每個極大線性無關(guān)組所包含的向量的個數(shù)都是r，即個數(shù)r是由原向量組唯一確定的。向量組的向量組D1,D2",sr(D1,D2",s)=r（1）r（A）=A的行秩（A的行向量組的秩）=A的列秩（A的列向量組的秩）注：經(jīng)初等變換，向量組的秩均不變向量組（I）可由向量組（II）rIdrII。特別的，等價的向量組具注：秩相同的向量組不一定等價【 9】求向量組的極大線性無關(guān)組，并線性表示其余向量§ § §5 §¨ ¨1 ¨ ¨3D¨? ¨3?

¨?¨1?

¨?¨8?

¨¨1¨ ¨ ¨ ¨?1 ?3 ?9 ?7向量空間、子空間與基、維數(shù)、坐VnV是向量空間稱W是V的子空間。V是向Vr個向量線性無V中任一向量都r個向量線性表出，則稱r個向量為向量空V的一組基，r稱為向V的維數(shù)，并Vr維向量坐設(shè)D1,D2,",Dn維向量空V的一組基，那么EV，有唯一的一組數(shù)TxDxD"xDE,稱有序數(shù)組xx,x是向E在基D,D",T1 2 n的坐標(biāo)基變換及過渡矩

若D1,D2,",n與E1,E2"En是n維向量空間V的兩組基，則基變換?? C1n?? E,E"E=D,D ? 2n

? # ? nn

D1,D C是可逆矩陣，稱為由基D1,D2",nE1E2"En坐標(biāo)變換若向量JnV的任一向量，它在基D1,D2,,nE1E2"En標(biāo)分別為X=x,x"xT，Y=y,y" " y2 則向量坐標(biāo)變換為 CY或 C1E1,E2"En

C是從D1,D2,,n到注：當(dāng)向量空間取定一組基后，每個向量都可以由這組基唯一地線性表出，求向量的1及坐標(biāo)變換，要會求過渡矩陣，由于 D,D1,2,DnE,E1,2,En除可1 求 D,D

再作乘法求 外，亦可用初等行變D1,D2D#E1E2" 規(guī)范正交基與 idt正交向量空間中一組基中的向量如果兩兩正交，就成為正交基規(guī)范正交若正交基中每個向量都是單位向量，就稱其為規(guī)范正交基 idt正D1,D2",s線性無關(guān)，則可構(gòu)造E1E2"Es使其兩兩正交，且Ei僅是a,a,,a的線性組合（i=1,2,...,s再把E單位化，記JEi，則J,J, 是規(guī) 正交向量組 其中ED， D2, 1

E, D–D3,E1E–D3,E2 E, E, E Ds,

Ds,

Ds,Es s E1 E E,

E,

E, s s s【例10】將下列向量Sidt正交化D1(0,1,2)T (1,0,1)T (1,1,第四章線性方程組線性方程組的表示形式和解向-a11x1a12 a1n °?線性方程組a a22 a2n ?" amn a a1n ax1 ab1? a ?x ?b令 ? 2n?，? #

?2?， b?# ?# ?

? ?xbx m mn ?n ?m對系數(shù)矩陣A按列分塊，方程組又可用向量形式x1D1x2D2"xnDnb§ a1n¨其中A¨

a2n¨ #¨ am

amn 如果n維向量[(c,c"c)T滿足方程組Axb，即A[b，則稱[是 b 一個解向量方程組解的判 0有非零解的充分必要條件是r 的列向量線性 0 0有非零解的充分條件是 n(即方程個數(shù)<未知數(shù)個數(shù))注：齊次方程組有非零解，關(guān)鍵在于系數(shù)矩陣的秩要小于未知數(shù)的個數(shù)（也就是系數(shù)矩陣如AB0，則B的每一列都是Ax0的解，當(dāng)Bz0時，蘊含Ax0有非零解，進而有rA rBdn.設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的非齊次線性方程-a11x1a12 a1n °?

a22 a2n " amn a a1n ab1 ax1? a ?b ?x令 ? 2n?，? #

?2?， ?2?# ?#? ?

? ? m mn ?m ?n 定義增廣矩陣

a b1? b ? 2 2? # ? m m設(shè)A是mun矩陣，方程組 有唯一 有無窮多 無 r(A) 如Axb有唯一解，則 當(dāng)Ax0只有零解， 1（2002）A是mun階矩陣，B是當(dāng)nm當(dāng)nm當(dāng)mn當(dāng)mn

ABx§ 1·§x1·§1 ?¨?¨【例2（2001）方程組 1?¨x2?¨1?無窮多解，則 ax?¨ 1?31 （1）若[1,[2是 0的解，則 k2[2是 若[是 0的解，K是 b的解，則[K是 若K1,K2是 b的解，則K1K2是 0的解設(shè)K1,K2K是Axb的解，則當(dāng)|ki 0時k1K1k2K2"ksKs為Ax 解；當(dāng)|ki1時k1K1k2K2"ksKs為Axb的解；設(shè)K1,K2"K是 K1"K個線性無關(guān)的解基礎(chǔ)解系的概念及其求

為 0的s-Ax0恒有解（必有零解。當(dāng)有非零解時，由于解向量的任意線性組合仍Ax0解空間，解空間的維數(shù)是基礎(chǔ)解系概念

（[1、[2、}、s是方程組的s個解向量，則對任意的k1、k2、}、ks[k1[1k2[2}ksξs仍是方程組的解向量。若[1、[2、}、[r是方程組的r個解向量，方程組的任意解向量都可由[1、[2}、[r線性表示。則稱[1、[2}、[r為方程組一個基礎(chǔ)解系。所謂基礎(chǔ)解系，其實就是Ax0的解向量組的一個極大無關(guān)組。設(shè)[1、[2[rAx0的基礎(chǔ)解[1、[2}、[rAx0Ax0的任一解都可以由[1、[2[r【例3】設(shè)A是mun階矩陣，B是nus階矩陣， r( r(B)d在求基礎(chǔ)解系時，可對A作初等行變換變換成為階梯形矩陣通常稱每個非零行中第一個非0系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r(A)個主元）的行列式，那么其他各列的未知數(shù)就是自由變量對自由變量按階梯形賦值后，再代入求解就可以得到基礎(chǔ)解系。注：一定是對矩陣進行初等行變換§§234【例4】Ao¨123?,Ax0的基礎(chǔ)解系? ¨ 0 的基礎(chǔ)解系

D1,D2,D3

D2,D3線性方程組解的結(jié)1.設(shè)r( r，[1,[2,",[nr為 0的基礎(chǔ)解系，則 0的通解k1[1k2[2"knr[nr，其中k1k2"knr為任意常數(shù)6】An階矩陣，r(A)=n-若A的各行元和為0，則Ax=0的通解 若A的代數(shù)式A11z0，則Ax=0的通解 如n元線性方程組Ax b有解，設(shè)[1、[2}、[r是相應(yīng)齊次方程組Ax 系，[0是 b的某個已知解，則 稱為非齊次方程組 b的特解k1[1 }kr ξ0是 b的通解【例7（2011）設(shè)A為4u3階矩陣，K1,K2,K3是非齊次方程Ax 則Ax E的通解為K（A） k(KKK K

k(KKK KK k(KK k(KKK KK k(KK k(KK 公共解與同 0的解，又是方程組 Ax0Bx0

§

0有非零

§n

¨ ¨?B ?B§ 0與 0同 r( r¨?r?B8】A是mun 0與 r(AT r(【例9】設(shè)A是mun階矩陣，r( n，B是nus階矩陣，證 0與 0同解r( r(B)矩陣的特征值與特征向Ax方程組|OEA|0是以O(shè)為未知數(shù)的一元n次方程，稱為方陣A的特征方程，n階矩陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個特征值．其左端|OE A|是O的n次多項式，記作f（O，稱為方陣A的特征多項式。顯然，A的特征值就是特征方程的解．特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個A的非零特征值為【例2】設(shè)A是3階矩陣，A的各行元和均為5，則A必有特征值對于抽象的矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義與其性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值對于具體的數(shù)字矩陣，應(yīng)先根據(jù)特征方程|OEA|0求出矩陣A的全部特征值ii12n），其中可能有重根。然后對每個不同的特征值Oi，分別解齊次方程組OiEAx0。設(shè)rOiEAri，如果求出方程組的基礎(chǔ)解系（A關(guān)于特征值Oi的線性無關(guān)的特征向量）[1,[2,",[nr，則矩陣A屬于Oi的全部特征向量為ik1[1k2[2"knr[nr，其中k1k2"kr是不全為零的任意常數(shù) § 0 【例3】求矩陣 ¨ 0?的特征值與特征向量465 465 如果D1,D2都是特征值Oi對應(yīng)的特征向量，則D1,D2的線性組合k1D1k2D2（0時）仍是屬于Oi的特征向量。屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當(dāng)OiAk重特征值時，矩陣A屬于Oik個。即：設(shè)OA的特征值，則它的重數(shù)tnr(OE。O1，O2" (i)O1 a11 ann.；即 i in（ii）O1O2 A， i注：這兩個在相似、證明可逆求行列式的值等方面很適用方陣A與AT具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但是它們的特矩陣A可逆的充分必要條件是A的所有特征值不為零．如果A可逆，則A1的特征值是1,1"1；A*的特征值是 O1 O1 總結(jié):設(shè)DA屬于特征值O【例4】設(shè)A，B為3階相似矩陣，

01，－1B式A 相似矩陣的概念與性設(shè)A，B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P1AP B則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似，記作A~B。反身性對任意的方陣AAA相似A與B相似，則BAA與BB與CA與CABfA)fB相似的矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素的和）.5】A，BA2與B2相似當(dāng)A可逆時，AB與BA相似AT與BT相似AA1與B1相似 相似矩陣的秩和行列式都相同nABABAB有相同的特/dia（l，"，lAn個特

On 若n階矩陣A與B相似，則A與B具有相同的跡（ |aiii i若n階矩陣A與B相似，由 P1AP，要聯(lián)想到以下結(jié)論 P1 kE)P P1AnPAkE~

kE)以及r kE)An~Bn，進而可以用相似求方冪 P1AnA~BA，BA1~B1A~BAT~BT矩陣的相似對角的相似?；蛘邔で笠粋€相似變換矩陣P，使得P1AP/為對角矩陣，稱作把方陣A注：若P1AP/，則A的全部特征值，P的每一列是對應(yīng)的特征向推論：如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似（2）對于矩陣A的每一個ni重特征值Oi，其線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)恰好等 特征值的重根數(shù)ni，亦即r(OiEA)nni.A~，且O0是ni重特征值，則O0應(yīng)有ni(O0EA)x0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有nr(O0EA)ni個向量，故可以通過秩r(O0EA)來判斷A是否能對角化。A（1）AnA先求A的特征值O1O2"Onp，p2"，p

構(gòu)造可逆矩陣 "，p

，則P1 O n § § ¨

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0· ·?

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0· ·? 0 0實對稱元素aij實對稱矩陣必可相似對角化特征值全是實數(shù)，特征向量都是實向不同特征值的特征向量相互正交ni重特征值必有ni個線性無關(guān)的特征向量，或者說秩r(OiE ni用正交矩陣化A相似，只是要保證P是正交矩陣，為此當(dāng)求出特征向量之后應(yīng)改造特征向量。當(dāng)A的特征值互不相同時，僅需要把特征向量單位化就可構(gòu)造矩陣P當(dāng)特征值有重根Oi時，要檢查特征向量是否正交，否則必須對Oi的特征向量用 正交化法進行處理，這樣才能構(gòu)造出正交矩陣P注：做題的時候切記要單位化，或者對重特征值要進行判斷Sidtk1D1k2D2亦不再是特征向量，也就不能構(gòu)造矩陣P。正交矩陣Q|OEA|0A的n個特征值O1O2"解齊次方程(OiE- 0得屬于特征值Oi的線性無關(guān)的特征向量 idt正交化，得正交矩陣 (J1,J2,n§11·§11

r( 2,

¨0

? 0?0求A的特征值與特征向量求矩陣

? 1 1 1 1第六章二次型二次型及其標(biāo)準(zhǔn)二次型的定義nx1，x2"，xn的二次齊次多項式函數(shù)（即每項都是二次的多項式 f(x1,x2,xn ||aijxixj, ai1j 令 x,x" T,A=(a),則二次型可用矩 f(x,x,x xT 其中A是n階實對稱矩陣（ A）,稱A為二次型f(x,x,x)的矩陣，矩陣 注：二次型矩陣是實對稱矩陣，且二次型的矩陣是唯一的【例1】（2004）二次 f(x,x,x