高中數(shù)學(xué)人教B版四學(xué)案：2.3.2 向量數(shù)量積的運算律

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.2向量數(shù)量積的運算律［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.掌握平面向量數(shù)量積的運算律及常用的公式。2.會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進行計算或證明．［知識鏈接]1．向量數(shù)乘的運算律有哪些？答（1)λ（μa)＝(λμ)a.（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa.（3)λ（a＋b）＝λa＋λb.特別地，有（－λ）a＝－（λa)＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.2．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1．向量的數(shù)量積（內(nèi)積)|a|｜b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a｜|b｜cos〈a,b>．2．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；（2）a⊥b?a·b＝0且a·b＝0?a⊥b；(3）a·a＝｜a｜2或|a｜＝eq\r（a2)；（4)cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,｜a｜|b｜）；(5）|a·b|≤｜a||b|。3．向量數(shù)量積的運算律(1）a·b＝b·a(交換律)；（2）（λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律）；(3)（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）.要點一向量數(shù)量積運算律的有關(guān)概念例1給出下列結(jié)論：①若a≠0,a·b＝0,則b＝0；②若a·b＝b·c,則a＝c；③（a·b)c＝a（b·c）;④a·[b（a·c）－c（a·b)］＝0。其中正確結(jié)論的序號是________．答案④解析因為兩個非零向量a、b垂直時，a·b＝0,故①不正確;當(dāng)a＝0,b⊥c時，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c,故②不正確；向量（a·b)c與c共線,a(b·c)與a共線,故③不正確;a·[b（a·c)－c(a·b）]＝（a·b）(a·c）－（a·c)（a·b）＝0,故④正確．規(guī)律方法向量的數(shù)量積a·b與實數(shù)a、b的乘積a·b有聯(lián)系,同時有許多不同之處．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特別是向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即一般情況下（a·b)·c≠a·(b·c）．跟蹤演練1設(shè)a，b，c是任意的非零向量,且它們相互不共線，給出下列結(jié)論:①a·c－b·c＝（a－b）·c;②(b·c）·a－(c·a)·b不與c垂直；③｜a｜－｜b|<｜a－b|；④（3a＋2b)·（3a－2b）＝9｜a|2－4|b|2.其中正確的序號是________．答案①③④解析根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知①正確；∵［(b·c)·a－(c·a)·b］·c＝(b·c)·(a·c)－（c·a)·（b·c)＝0，∴（b·c)·a－（c·a）·b與c垂直，②錯誤;∵a，b不共線，∴｜a|、|b|、｜a－b｜組成三角形三邊，∴|a｜－｜b｜〈|a－b|成立，③正確；④正確．故正確命題的序號是①③④。要點二向量數(shù)量積運算律的綜合應(yīng)用例2已知|a|＝6,|b｜＝4，a與b的夾角為60°,求（a＋2b）·（a－3b）．解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝｜a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·｜b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72。規(guī)律方法熟練掌握兩向量的數(shù)量積定義及運算性質(zhì)，是解決此類問題的關(guān)鍵．計算形如（ma＋nb)·(pa＋qb）的數(shù)量積可仿多項式乘法的法則展開計算，再運用數(shù)量積定義和模的公式化簡求解．跟蹤演練2已知向量a與b的夾角為120°，且｜a｜＝4，｜b|＝2，求：(1）(2a－b）·（a＋3b)；（2）｜3a－4b|。解（1）（2a－b)·（a＋3b）＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2｜a｜2＋5a·b－3｜b｜2＝2×16＋5×4×2×cos120°－3×4＝0.(2）|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4）＋16×4＝16×19.∴|3a－4b|＝4eq\r(19)。例3已知｜a｜＝3，｜b|＝4，且a與b不共線，k為何值時，向量a＋kb與a－kb互相垂直．解a＋kb與a－kb互相垂直的條件是(a＋kb)·(a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0?！遼a|＝3，｜b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±eq\f(3,4）.當(dāng)k＝±eq\f(3，4)時，a＋kb與a－kb互相垂直．規(guī)律方法向量a,b夾角為銳角的等價條件是a·b>0且a與b不同向共線；a·b夾角為鈍角的等價條件是a·b<0且a與b不反向共線；a與b垂直的等價條件是a·b＝0.跟蹤演練3已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，k為何值時，向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角？解∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角,∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2）＝keeq\o\al(2，1）＋keeq\o\al（2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0,∴k〉0。但當(dāng)k＝1時，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0，不符合題意,舍去．綜上,k的取值范圍為｛k|k〉0且k≠1}.1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是()①0·a＝0；②a·b＝b·a;③a2＝|a｜2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b）2＝a2·b2。A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正確，④錯誤,⑤錯誤，（a·b）2＝(｜a｜·｜b|·cosθ）2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2,選C。2．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r（10)，|a－b｜＝eq\r（6），則a·b等于（）A．1B．2C．3D．5答案A解析|a＋b｜2＝(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝(a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝6，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b＝4,∴a·b＝1。3．若非零向量a,b滿足|a|＝｜b|，（2a＋b）·b＝0，則a與b的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，設(shè)a與b的夾角為θ,∴2|a|｜b｜cosθ＋｜b｜2＝0。∴cosθ＝－eq\f(｜b|2，2|a|｜b｜）＝－eq\f（|b|2,2｜b｜2)＝－eq\f（1,2），∴θ＝120°。4．已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π，3),則實數(shù)λ＝________。答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0,可得7c＝－(3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c為單位向量，則a2＝b2＝c2＝1，則49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π，3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5。1.向量的數(shù)量積對結(jié)合律一般不成立，因為(a·b)·c＝|a｜|b|·cos〈a，b〉·c是一個與c共線的向量，而a·(b·c）＝a·(｜b||c|cos〈b，c>＝|b｜｜c|cos〈b，c〉·a是一個與a共線的向量，兩者一般不同．2．在實數(shù)中，若ab＝0則a＝0或b＝0，但是在數(shù)量積中,即使a·b＝