平面幾何公式

四種常用直線系方程定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)P(x,y)的直線系方程為y-y二k(x-x)(除直線00000X二X)，其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)P(x,y)的直線系方程為0000A(x-x)+B(y-y)二0，其中A,B是待定的系數(shù).00共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過兩直線l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0的交點(diǎn)11112222的直線系方程為(Ax+By+C)+九(Ax+By+C)二0(除l),其中入是待定的系數(shù).1112222平行直線系方程：直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+X=0(九鼻0)，入是參變量．垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(AMO,BHO)垂直的直線系方程是Bx—Ay+九=0,入是參變量.點(diǎn)到直線的距離d二空0B0—(點(diǎn)P(x,y)，直線/:Ax+By+C=0).JA2+B2 00Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線/:Ax+By+C=0，則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：若B豐0,當(dāng)B與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域?簡言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.若B二0，當(dāng)A與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域111222設(shè)曲線C:(Ax+By+C)(Ax+By+C)=0(AABB豐0)，貝y1112221212(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；1 1 1 2 2 2(Ax+By+C)(Ax+By+C)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.1 1 1 2 2 2圓的四種方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x一a)2+(y一b)2-r2.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).「x二a+rcos0圓的參數(shù)方程｛［y二b+rsm6圓的直徑式方程 (x-x)(x-x)+(y一y)(y一y)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是1212A(x，y)、B(x，y)).1122圓系方程過點(diǎn)A(x，y),B(x，y)的圓系方程是1122(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)+九［(x-x)(y-y)-(y-y)(x-x)］二01212112112o(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)+九(ax+by+c)=0,其中ax+by+c=0是直線1212AB的方程，入是待定的系數(shù).過直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+九(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).過圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交11112222點(diǎn)的圓系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+九(x2+y2+Dx+Ey+F)=0,入是待定的111222系數(shù)．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x,y)與圓(x-a)2+(y—b)2二r2的位置關(guān)系有三種00 若d=、((a一x)2+(b一y)2,貝y00d>ro點(diǎn)P在圓外；d二ro點(diǎn)P在圓上；d<ro點(diǎn)P在圓內(nèi).直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2二r2的位置關(guān)系有三種:d>ro相離oA<0;d=ro相切oA=0;d<ro相交oA>0.IAa+Bb+C其中d=—VA2+B29?兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為0,0,半徑分別為r,r,|00|=d1212112d>r+ro外離o4條公切線；12d=r+ro外切o3條公切線；12|r-rI<d<r+ro相交o2條公切線；d=|r-r|o內(nèi)切o1條公切線；0<d<|r-r|o內(nèi)含o無公切線.10.圓的切線方程(1)已知圓x2+y2+Dx+Ey+F=0.若已知切點(diǎn)(x,y)在圓上，則切線只有一條，其方程是00,,D(x+x)[E(y+y)飛nxx+yy+ 0 + 0 +F=0.0o 2 2/ 、 D(x+x)E(y+y)廠_當(dāng)(x,y)圓外時(shí)，xx+yy+ 0 + 0 +F=0表示過兩個(gè)切點(diǎn)000022的切點(diǎn)弦方程．過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-y=k(x-x)，再利用相切條件求k,這時(shí)必00有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.斜率為k的切線方程可設(shè)為y=kx+b，再利用相切條件求b,必有兩條切線.⑵已知圓x2+y2=r2.過圓上的P(x,y)點(diǎn)的切線方程為xx+yy=r2；00000斜率為k的圓的切線方程為y=kx土r、：'l+k2.x2 y2 fx=acos011.橢圓—+-=1(a>b>0)的參數(shù)方程是｛a2b2 [y=bsmUTOC\o"1-5"\h\zx2 y212.橢圓一+—=1(a>b>0)焦半徑公式a2 b2|PF|=e(x+ ),|PF|=e( -x).1 c 2c13．橢圓的的內(nèi)外部x2y2 x2y2點(diǎn)P(x,y)在橢圓 —=l(a>b>0)的內(nèi)部o—+°<1.00 a2b2 a2b2x2y2 x2y2點(diǎn)P(x,y)在橢圓—+—=1(a>b>0)的外部° +°>1.00 a2b2 a2b214.橢圓的切線方程x2 y2 xxyy橢圓—+-=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x,y)處的切線方程是一^+—=1.TOC\o"1-5"\h\za2 b2 00 a2 b2x2 y2過橢圓一+—=1(a>b>0)外一點(diǎn)p(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是a2b2 0 0XX+尋=1.a2 b2x2y2(3)橢圓+—=1(a>b>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是a2b2A2a2+B2b2=c2.TOC\o"1-5"\h\zx2 y215?雙曲線一—[=1(a>0,b>0)的焦半徑公式a2b2|PF|=1e(x+ )1，|PF|=le(空—x)I.1 c 2c雙曲線的內(nèi)外部x2 y2 x2 y2⑴點(diǎn)P(x,y)在雙曲線 =1(a>0,b>0)的內(nèi)部Of—0>1.00 a2 b2 a2b2x2 y2 x2 y2(2)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線一—廠=1(a>0,b>0)的外部Of—亠<1.00 a2 b2 a2b2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x2y2 x2y2 b若雙曲線方程為——一=1=漸近線方程：——一=0°y=±—x.a2b2 a2b2 ab x y x2y2若漸近線方程為y=±-x° ±T=0=雙曲線可設(shè)為——一廠=九.a ab a2b2x2y2 x2 y2若雙曲線與一—J=1有公共漸近線，可設(shè)為———]=九(九〉0，焦點(diǎn)在xa2b2 a2 b2軸上，九<0，焦點(diǎn)在y軸上).雙曲線的切線方程⑴雙曲線——^―=1(a>0,->0)上一點(diǎn)P(x,y)處的切線方程是— =1.a2b2 00 a2 b2x2y2過雙曲線一—[=1(a>0,b>0)外一點(diǎn)P(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是a2b2 0 0xxyy1a2 b2x2y2(3)雙曲線一一]=1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是a2b2A2a2—B2b2=c2.拋物線y2=2px的焦半徑公式

拋物線y 曲線F（x,y）=0關(guān)于直線Ax+By+C=0成軸對(duì)稱的曲線是=2px(p>0)焦半徑|CF|二 曲線F（x,y）=0關(guān)于直線Ax+By+C=0成軸對(duì)稱的曲線是12221220.拋物線y2=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為PG—,y)或P(2pt2,2pt)或p(x,y。)，其中2poy2=2px.^b 4^ac~^）221.二次函數(shù)y=ax2+bx+c=a（x+）2+ （a豐0）的圖象是拋物線：（1）頂2a4a一「/b4ac_b2、 、 ，一「/b4ac_b2+1 ,點(diǎn)坐標(biāo)為（-， ）；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-， ）；（3）準(zhǔn)線方程是2a 4a 2a 4a4acb21拋物線的內(nèi)外部⑴點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部oy2<2px(p>0).00點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).00⑵點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2=_2px(p>0)的內(nèi)部oy2<_2px(p>0).00點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2=_2px(p>0)的外部oy2>_2px(p>0).00(3)點(diǎn)P(x,y)在拋物線x2=2py(p>0)的內(nèi)部ox2<2py(p>0).00點(diǎn)P(x,y)在拋物線x2=2py(p>0)的外部ox2>2py(p>0).00⑷點(diǎn)P(x,y)在拋物線x2=2py(p>0)的內(nèi)部ox2<2py(p>0).00點(diǎn)P(x,y)在拋物線x2=_2py(p>0)的外部ox2>_2py(p>0).00拋物線的切線方程拋物線y2=2px上一點(diǎn)P(x,y)處的切線方程是yy=p(x+x).0000過拋物線y2=2px外一點(diǎn)P(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是yy=p(x+x).0000拋物線y2=2px(p>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是pB2=2AC.兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線f(x,y)=0,f(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程是12f(x,y)+九f(x,y)=0(九為參數(shù)).12x2 y2⑵共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程 + =1,其中k<max{a2,b2}.當(dāng)a2_kb2_k點(diǎn)xi—叮2+(yi_?；騥>min{a2,b2}時(shí),表示橢圓;當(dāng)min{a2,b2點(diǎn)xi—叮2+(yi_叮或21 x_xK'121 x_xK'1+tan2a=|y_yL^-'l+cot2a (弦端點(diǎn)1212y=kx+b消去y得到ax2+bx+c=0，A>0,a為直線F(x,y)=0A(xi,yi),B(x2A(xi,yi),B(x2,y2)，由方程1AB的傾斜角，k為直線的斜率）.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題（1） 曲線F（x,y）=0關(guān)于點(diǎn)P（x,y）成中心對(duì)稱的曲線是F（2x-x,2y_y）=0.00002A（Ax+By+C） 2B（Ax+By+C）F（x- ,y- ）=0.A2+B2 A2+B2“四線”一方程對(duì)于一般的二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F二0,用xx代x2,用yy代y2,00xy+xy x+x y+y用』勺o(hù)代xy，用飛代x，用七代y即得方程xy+xy x+xy+yAxx+B?一o o+Cyy+D?-e +E?厶 +F=0，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)02022弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.28．證明直線與直線的平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3） 轉(zhuǎn)化為線面平行；（4） 轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5） 轉(zhuǎn)化為面面平行.29．證明直線與平面的平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為線線平行；（3） 轉(zhuǎn)化為面面平行.30．證明平面與平面平行的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2） 轉(zhuǎn)化為線面平行；（3） 轉(zhuǎn)化為線面垂直.31．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2） 轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3） 轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4） 轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.32．證明直線與平面垂直的思考途徑（1） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3） 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4） 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5） 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.33．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律（1） 加法交換律：a+b二b+a.（2） 加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）?（3） 數(shù)乘分配律：入（a+b）二入a+入b?平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b（bH0），a〃bO存在實(shí)數(shù)入使a=^b?P、A、B三點(diǎn)共線oAPIIABoAP=tABoOP=（1—t）OA+tOB. ? ? ? ?ABIICDoAB、CD共線且AB、CD不共線oAB=tCD且AB、CD不共線.共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的O存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p=ax+by.推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的O存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MP=xMA+yMB，或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使OP=OM+xMA+yMB.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足OP=xOA+yOB+zOC

(x+y+z=k),則當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)k主1時(shí)，若Oe平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O電平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面. _A、B、C、D四點(diǎn)共面OAD與AB、AC共面OAD=xAB+yACOOD=(1-x-y)OA+xOB+yOC(O電平面ABC).空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y，z,使p=xa+yb+zc?推論設(shè)0」、B、_￡是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC.射影公式已知向量AB二a和軸l,e是l上與l同方向的單位向量?作A點(diǎn)在l上的射影A'，作B點(diǎn)在l上的射影B'，則A'B'=1ABIcos〈a,e〉=a?e向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(a,a,a),b=(b,b,b)則123123a+b=(a+b,a+b,a+b)；1 1 2 2 3 3a－b=(a-b,a-b,a-b)；1 1 2 2 3 3入a=(九a,九a,九a)(入WR)；123a?b=ab+ab+ab；11223342.設(shè)A(x,y,z),B(x,y,z)，貝 111222AB=OB—OA二(x—x,y—y,z—z).21212143?空間的線線平行或垂直設(shè)a=(x,y,z)設(shè)a=(x,y,z),b=(x,y,z)，則111222x=Xx12y=Xy；12z=Xz12Oxx+yy+zz121212a*bOa=Xb(b主0)O<a丄bOa-b=044.夾角公式=0.設(shè)a設(shè)a=(a,a,a),123b=(b,b,b)，則123

ab+ab+ab1 1 2 2 3 3cos〈a,b〉二「a2+a2+a空、:b2+b2+b2

12 3 12 3推論(ab+ab+ab)2<(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)，此即三維柯西不等式.11 22 33 1 2 3 1 2 345.四面體的對(duì)棱所成的角四面體ABCD中，AC與BD所成的角為6，則

cos01(AB2+CD2)-(BC2+DA2cos02AC^BD46?異面直線所成角ia-bix2+yia-bix2+y2+z2-111x2+y2+z2222(其中0(0<0<90°)為異面直線ab所成角，a,b分別表示異面直線ab的方向向量)47.直線AB與平面所成角.AB-m一卩二arcsin (m為平面a的法向量).IABIImI48.若AABC所在平面若卩與過若AB的平面a成的角0,另兩邊AC,BC與平面a成的角分別是0、0,A、B為AABC的兩個(gè)內(nèi)角，貝U12sin20+sin20=(sin2A+sin2B)sin20.1 2特別地，當(dāng)ZACB=90°時(shí),有sin20+sin20=sin20.1249.若AABC所在平面若卩與過若AB的平面a成的角0,另兩邊AC,BC與平面a成的角分別是0、0,A'、B'為AABO的兩個(gè)內(nèi)角，則12tan20+tan20=(sin2A'+sin2B')tan20.1 2特別地，當(dāng)ZAOB=90。時(shí),有sin2