§4.2-不定積分的換元積分法

§4.2

不定積分的換元積分法換元積分法通常有兩類:第一類換元積分法和第二類換元積分法.一、第一類換元積分法但若把積分作如下改寫:,不能直接利用基本積分公式直接計算.對于不定積分,則上式可寫成(因為令則有即將用到上,定理1(第一類換元積分法)具有原函數(shù)設函數(shù)則是的原函數(shù),換元公式即有即可導,（4.2.1）這個定理表明,把基本積分公式中的積分變量換成的連續(xù)可微函數(shù),公式仍然成立.這就使基本積分公式的適用范圍大大地擴充了.例如

在求不定積分

,而又不能直接利用基本積分公式時,如果能將被積表達式改寫成如下形式:且是基本積分公式的類型,那么問題就可得到解決.例4.2.1求解

例4.2.2求解

從上面的例子可以看出,用第一類換元法求不定積分,關鍵是要從被積式中分出一部分因子湊成微分

，而余下的部分又是的函數(shù)

，從而可引入變量代換將所求的不定積分轉化為

積分公式中所具有的形式,那么通過積分后,再代回原來的變量

即可求得原來的不定積分.所以這類換元法又稱為湊微分法.如果正好是基本

解例4.2.3求例.

求解:

原式

=注:

當時解例4.2.4求解例4.2.5求例4.2.6

求解下列是一些常用的湊微分等式，其中均為常數(shù),且等.一般有,例4.2.7

求下列不定積分：解例4.2.8求下列不定積分：解注：例4.2.7、例4.2.8中的積分結果可作積分公式使用.解例4.2.9

求解例4.2.10

求,得解例4.2.11

求解例4.2.12

求幾種湊微分的形式:湊冪法例.

求解:

原式=例.

求解:

原式例.

求解:

原式=例.

求解法1解法2例.

求解法1解法2同樣可證或

§4.2

不定積分的換元積分法換元積分法通常有兩類:第一類換元積分法和第二類換元積分法.定理1(第一類換元積分法)具有原函數(shù)設函數(shù)則是的原函數(shù),換元公式即有即可導,例.

求解法1解法2第一類換元法難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，二、第二換元積分法對某些積分，例如等，這種積分方法就是所謂的第二類換元積分法.有時可適當?shù)剡x擇變換其中可微，將積分轉化為易計算的以為積分變量的積分，定理2(第二類換元積分法)，則有換元公式單調，可導且設這里是的反函數(shù).(4.2.2)

又設具有原函數(shù)注意須用的反函數(shù)代回原變量.之后，在求出第二類換元積分法的關鍵在于選擇合適的換元:下面按所設變量代換

的類型，分別進行討論.1.簡單根式代換當被積函數(shù)中含時，可令解，于是有得例4.2.13求令則回代變量，解例4.2.14求，于是有被積函數(shù)含根式為去根號,令則，得回代變量，2.三角代換可作如下三角代換：當被積函數(shù)含有時，(1)含根式時,可作代換或(2)含根式時,可作代換或(3)含根式時,或可作代換解例4.2.15求令，則于是有由所以為將換回原變量，axtarcsin=解例4.2.16求，則令于是根據作輔助直角三角形（如圖4-3），因此根據作輔助直角三角形（如圖4-3），解例4.2.17求

于是令則根據三角形，作輔助直角因此補充的積分公式：必須指出:如何選擇變量代換要根據被積函數(shù)的不同情況靈活運用,不可呆板地拘泥于某一種代換.就不必用三角代換,可用湊微分法.如求及時,用換元積分法求不定積分時,有些積分可以用幾種變量代換方法.解例4.2.18求方法一:（三角代換法）于是令則方法二:（湊微分法）倒代換是第二類換元積分法中常用的一種代換方式,使積分變得簡單.采用這種代換?？上ケ环e函數(shù)的分母中的變量因子方法三:（倒代換法）令則于是例4.2.19求解設，那么，于是有解當被積函數(shù)含二次三項式或時,可先對配方,然后再用換元積分法.例4.2.20求因為，應用公式（21）得

解例4.2.21