平面幾何考試試題

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題——平面幾何（高二數(shù)學(xué)514）全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1．如圖，在銳角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC邊上不一樣兩點(diǎn)，使得∠BAM=∠CAN，設(shè)ΔABC和ΔAMN外心分別為、，求證：、、A三點(diǎn)共線．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1.（40分）分別是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線中點(diǎn)．若，證實(shí)：．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題加試2.（本題滿(mǎn)分40分）在直角三角形ABC中，，它內(nèi)切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)P，連接PC，PE，PF．已知，求證：∥．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1.（40分）如圖，銳角三角形ABC外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊BC中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、如圖，，分別為銳角三角形△（）外接圓上弧、中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作//交圓于點(diǎn)，為△內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交圓于．（=1\*ROMANI）求證：當(dāng)；（=2\*ROMANII）在弧（不含點(diǎn)）上任取一點(diǎn)（，，），記△，△內(nèi)心分別為，，求證：，，，四點(diǎn)共圓．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試A卷一、（本題滿(mǎn)分50分）圖1如題一圖，給定凸四邊形，，是平面上動(dòng)點(diǎn)，令．圖1（Ⅰ）求證：當(dāng)達(dá)成最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）設(shè)是外接圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足：，，，又是切線，，求最小值．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試B卷題一圖一、（本題滿(mǎn)分50分）題一圖如題一圖，是圓內(nèi)接四邊形．與交點(diǎn)為，是弧上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在，延長(zhǎng)線上，滿(mǎn)足，，求證：四點(diǎn)共圓．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、（本題滿(mǎn)分50分）如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PE⊥AC，垂足為E，做PF⊥AB，垂足為F。O1、O2分別是△BDF、△CDE外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓充要條件為P是△ABC垂心。全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、（本題滿(mǎn)分50分）以B0和B1為焦點(diǎn)橢圓與△AB0B1邊ABi交于點(diǎn)Ci(i＝0，1).在AB0延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧eq\o(P0Q0,\s\up6(⌒))交C1B0延長(zhǎng)線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧eq\o(Q0P1,\s\up6(⌒))交B1A延長(zhǎng)線于點(diǎn)P1；以B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧eq\o(P1Q1,\s\up6(⌒))交B1C0延長(zhǎng)線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧eq\o(Q1P0,\s\up6(⌒))，交AB0延長(zhǎng)線于P0.試證：⑴點(diǎn)P0與點(diǎn)P0重合，且圓弧eq\o(P0Q0,\s\up6(⌒))與eq\o(P0Q1,\s\up6(⌒))相內(nèi)切于點(diǎn)P0；⑵四點(diǎn)P0，Q0，Q1，P1共圓．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試一、（本題滿(mǎn)分50分）如圖，在中，設(shè)，過(guò)A作外接圓切線.又以A為圓心,為半徑作圓分別交線段AB于D;交直線于E、F.證實(shí)：直線DE、DF分別經(jīng)過(guò)內(nèi)心與一個(gè)旁心。（注：與三角形一邊及另兩邊延長(zhǎng)線均相切圓稱(chēng)為三角形旁切圓，旁心圓圓心稱(chēng)為旁心）全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試一．（本題滿(mǎn)分50分） 在銳角三角形中，上高與上高相交于點(diǎn)，認(rèn)為直徑圓分別交、于、兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．已知，，，求長(zhǎng)．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試1、過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為A、B，所作割線交圓于C、D兩點(diǎn)，C在P、D之間，在弦CD上取一點(diǎn)Q，使。求證：

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽題加試一、（本題滿(mǎn)分50分）BACEFOHMN如圖，在BACEFOHMN全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題加試一．（本題滿(mǎn)分50分）如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N．求證：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷加試一、(滿(mǎn)分50分)如圖，在銳角△ABCBC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿(mǎn)足∠BAE=∠CAF，作FMAB,FNAC(M,N是垂足)，延長(zhǎng)AE交△ABC外接圓于點(diǎn)D。證實(shí)：四邊形AMDN與△ABC面積相等。1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一．(滿(mǎn)分50分)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC＝∠EAC．

1998年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試一、（滿(mǎn)分50分）如圖，O、I分別為△ABC外心和內(nèi)心，AD是BC邊上高，I在線段OD上。求證：△ABC外接圓半徑等于BC邊上旁切圓半徑。注：△ABCBC邊上旁切圓是與邊AB、AC延長(zhǎng)線以及邊BC都相切圓。1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷二試一、（本題50分）如圖，已知兩個(gè)半徑不相等⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點(diǎn)，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。1996年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試三、（本題滿(mǎn)分35分）如圖，圓O1和圓O2與△ABC三邊所在三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，而且EG、FH延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)。求證直線PA與BC垂直。EEFABCGHPO1。。O21995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試三、(35分)如圖，菱形ABCD內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．1994年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第二試三、(本題滿(mǎn)分35分)如圖，設(shè)三角形外接圓O半徑為R，內(nèi)心為I，，，外角平分線交圓O于E，證實(shí):(1)IO=AE；

(2)．

1993年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試一、（35分）設(shè)一凸四邊形ABCD，它內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形周界上，不含分割出鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿(mǎn)足充分必要條件是n≥4．三、（35分）水平直線m經(jīng)過(guò)圓O中心，直線lm，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心右側(cè)，直線l上不一樣三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP,BQ,CR為圓O三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l與圓O相交時(shí)，ABCR+BCAP＜ACBQ；(3)l與圓O相離時(shí)，ABCR+BCAP＞ACBQ.1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試一、(35分)設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1

1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試二．設(shè)凸四邊形ABCD面積為1，求證：在它邊上(包含頂點(diǎn))或內(nèi)部能夠找出四個(gè)點(diǎn)，使得以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)所組成四個(gè)三角形面積大于eq\f(1,4)．OOABCOOABCDP1OOO234F一．(本題滿(mǎn)分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)．1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試ABCEABCEF已知在ΔABC中，AB>AC，A一個(gè)外角平分線交ΔABC外接圓于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AB，垂足為F．求證2AF=AB-AC．1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試一．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形．1986年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試2．(本題滿(mǎn)分17分)已知銳角三角形ABC外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是⊿ABC三條高充要條件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC面積．1985年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試4．平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以λ表示這些點(diǎn)間最大距離與最小距離之比，證實(shí)：λ≥2sin54．1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試3．(本題滿(mǎn)分15分)在△ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證實(shí)：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中最少有一個(gè)大于eq\f(4,9)(SXY…Z表示多邊形XY…Z面積)．1983年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試3．(本題滿(mǎn)分16分)在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC面積比是3∶4∶1，點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿(mǎn)足AM∶AC=CN∶CD，而且B、M、N三點(diǎn)共線．求證：M與N分別是AC與CD中點(diǎn)．1982年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽3．(本題16分)已知：⑴半圓直徑AB長(zhǎng)為2r；⑵半圓外直線l與BA延長(zhǎng)線垂直，垂足為T(mén)，|AT|=2a(2a<)；⑶半圓上有相異兩點(diǎn)M、N，它們與直線l距離|MP|、|NQ|滿(mǎn)足條件eq\f(|MP|,|AM|)=eq\f(|NQ|,|AN|)=1．求證：|AM|+|AN|=|AB|．4．(本題20分)已知邊長(zhǎng)為4正三角形ABC．D、E、F分別是BC、CA、AB上點(diǎn)，且|AE|=|BF|=|CD|=1，連結(jié)AD、BE、CF，交成△RQS．點(diǎn)P在△RQS內(nèi)及邊上移動(dòng)，點(diǎn)P到△ABC三邊距離分別記作x、y、z．⑴求證當(dāng)點(diǎn)P在△RQS頂點(diǎn)位置時(shí)乘積xyz有極小值；⑵求上述乘積xyz極小值．1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽3．(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O半徑為1，求證：PC?QE+PD?QF<2．5．(本題20分)一張臺(tái)球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上某點(diǎn)Q，而且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最終擊中AB邊上某一點(diǎn)．設(shè)∠BPQ=θ，求θ范圍．提醒：利用入射角等于反射角原理．1979年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第二試2．命題“一對(duì)對(duì)邊相等及一對(duì)對(duì)角相等四邊形必為平行四邊形”對(duì)嗎？假如對(duì)，請(qǐng)證實(shí)，假如不對(duì)，請(qǐng)作一四邊形，滿(mǎn)足已知條件，但它不是平行四邊形．并證實(shí)你作法．4．在單位正方形周界上任意兩點(diǎn)間連了一條曲線，假如它把正方形分成兩個(gè)面積相等兩部分，試證這條曲線長(zhǎng)度大于1．6．如圖，假設(shè)兩圓O1和O2交于A、B，⊙O1弦BC交⊙O2于E，⊙O2弦BD交⊙O1于F，證實(shí)⑴若∠DBA=∠CBA，則DF=CE；⑵若DF=CE，則∠DBA=∠CBA．1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽第一試6．設(shè)線段AB中點(diǎn)為M，從線段AB上另一點(diǎn)C向直線AB一側(cè)引線段CD，令線段CD中點(diǎn)為N，BD中點(diǎn)為P，MN中點(diǎn)為Q，求證：直線P