第二章一元二次函數、方程和不等式綜合測試（解析版）

第二章一元二次函數、方程和不等式綜合測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】化簡集合A，利用交集的運算律求.【詳解】∵不等式的解集為，∴

，又，∴

故選：B.2．（2022·河北·武安市第一中學高一期末）若為實數，且，則下列命題正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對于A，當時，，可判斷；對于B，舉反例，當，時，代入比較可判斷；對于C，作差，由已知可判斷；對于D，運用作差比較法可判斷.【詳解】對于A，當時，，A錯誤；對于B，當，時，，，此時，B錯誤；對于C，因為，所以，又，，C錯誤；對于D，，，，，，D正確.故選：D.3．（2022·全國·高一期末）若x>1，則有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1【答案】A【解析】【分析】將給定表達式整理變形，再利用基本不等式即可作答.【詳解】因x>1，則1，當且僅當，即時取等號.所以有最小值為1.故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，若恒成立，則實數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意可得，結合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范圍，從而得解．【詳解】解：，，且，，當且僅當且時取等號，此時，若恒成立．，，解不等式可得，，故實數的最小值為，故選：．5．（2022·河北省三河市第二中學高一期末）已知正數、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由得，再將代數式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】，所以，，則，所以，，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選．【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，對代數式進行合理配湊，是解決本題的關鍵，屬于中等題．6．（2022·全國·高三專題練習（文））已知p：q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據與的互相推出情況判斷出屬于何種條件.【詳解】當時，，所以，所以充分性滿足，當時，取，此時不滿足，所以必要性不滿足，所以是的充分不必要條件，故選：A.7．（2022·全國·高一期末）若不等式對一切實數都成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由對一切實數都成立，分和兩種結合二次函數的性質分類討論進行求解即可.【詳解】解：對一切實數都成立，①時，恒成立，②時，則，解得，綜上可得，.故選：D.8．（2022·浙江·高三專題練習）中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫----秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，進而利用基本不等式，即可得出結論．【詳解】由題意，，，可得，，當且僅當時等號成立，所以此三角形面積的最大值為12．故選：．二、多選題9．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一期末）設，，給出下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】選項A，B可用作差法比較大??；選項C，D可用基本不等式求范圍.【詳解】由可得，故A正確；由可得，故B錯誤；由，當且僅當時取等號，故C正確；由，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：ACD.10．（2022·重慶巫山·高一期末）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】【分析】對各選項逐一通過作差，不等式的性質或者舉特例即可確定對應選項的正確性而得解.【詳解】對于A，因，則，即，A正確；對于B，時，取，則，即不成立，B不正確；對于C：因，則，于是有，C正確；對于D，，當時，，即不成立，D不正確.所以說法正確的是只有選項AC.故選：AC11．（2022·山西師范大學實驗中學高二階段練習）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為或【答案】ABC【解析】【分析】根據題意可得且的根為，利用韋達定理可得，分別代入計算判斷正誤．【詳解】根據二次函數開口與二次不等式之間的關系可知，A正確；的根為，則，即∴，B正確；，C正確；，即，則，解得∴的解集為，D錯誤；故選：ABC．12．（2022·江蘇南通·高二期中）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數x，y為實數，若，則的最大值為3D．設x，y為實數，若，則的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對于A選項，當時，，故A選項錯誤；對于C選項，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項錯誤；對于BD選項，可以根據已知條件，結合不等式的性質，以及基本不等式的公式，即可求解.【詳解】解：對于A選項，當時，，故A選項錯誤，對于B選項，當時，，則，當且僅當時，等號成立，故B選項正確，對于C選項，若正數、滿足，則，，當且僅當時，等號成立，故C選項錯誤，對于D選項，，所以，可得，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，D選項正確．故選：BD．三、填空題13．（2022·全國·高一期末）有下面四個不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有______個．【答案】2【解析】【分析】①使用作差法證明．②利用二次函數的性質．③使用基本不等式證明．④ab＜0時，即可判斷出正誤.【詳解】解：①因為2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正確．②因為，所以②正確．③當a，b同號時有，當a，b異號時，，所以③錯誤．④ab＜0時，不成立.其中恒成立的個數是2個．【點睛】本題考查了基本不等式的性質、不等式的性質及證明，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．14．（2022·全國·高三專題練習）為凈化水質，向一個游泳池加入某種化學藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時間（單位：）的變化關系為，則經過_______后池水中藥品的濃度達到最大.【答案】2【解析】【詳解】C＝＝5當且僅當且t＞0，即t＝2時取等號考點：基本不等式，實際應用15．（2022·江蘇·高三專題練習）設關于x的不等式，只有有限個整數解，且0是其中一個解，則全部不等式的整數解的和為____________【答案】【解析】【分析】先確定，再利用0為其中的一個解，，求出的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數解，從而可得結論.【詳解】設，其圖象為拋物線，對于任意一個給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數解只有有限個，所以，因為0為其中一個解可以求得，又，所以或，則不等式為和，可分別求得和，因為位整數，所以和，所以全部不等式的整數解的和為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的應用，其中解答中根據題設條件確定出實數的值，求出相應的一元二次不等式的解集是解答關鍵，推理與運算能力.16．（2022·河北·武安市第一中學高一期末）已知，，且，則的最大值為____________．【答案】2【解析】【分析】根據基本不等式得，解之可求得答案．【詳解】因為，，且，所以，解得，當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為2，故答案為：2．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.四、解答題17．（2022·浙江·高三專題練習）比較大小.（1）比較與的大??；（2），，比較與的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）采用作差法比較大小：將減去的結果與比較大小，即可比較出大小關系；（2）采用作差法比較大?。簩p去的結果與比較大小，即可比較出大小關系.【詳解】（1）因為，又，所以，所以；（2）因為，又，，所以，所以.18．（2022·江蘇·高一）設，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據不等式的基本性質，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．19．（2022·全國·高一）已知不等式的解集為或(1)求b和c的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據給定條件利用一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的關系即可計算得解；（2）利用（1）的結論直接解一元二次不等式即可作答.(1)因不等式的解集為或，則是方程的兩個根，于是得，解得，，所以b和c的值分別為，.(2)由（1）知，不等式為，解得，所以的解集為.20．（2022·陜西·長安一中高一階段練習）解關于x的不等式．【答案】答案見解析.【解析】【分析】將原不等式轉化為ax2＋(a－2)x－2≥0．根據二次函數開口方向和方程根的大小，分a＝0，a＞0，a＜0，a＜－2，－2＜a＜0五種情況討論求解.【詳解】原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0．①當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1．②當a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．③當a＜0時，原不等式化為(x＋1)≤0．當＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤；當＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1滿足題意；當＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為{x|x≤－1}；當a＞0時，不等式的解集為或；當－2＜a＜0時，不等式的解集為；當a＝－2時，不等式的解集為{－1}；當a＜－2時，不等式的解集為．【點睛】本題主要考查含參一元二次不等式的解法，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（2022·全國·高三專題練習）某農貿公司按每擔200元的價格收購某農產品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點）進行納稅，計劃可收購萬擔，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農產品，決定將征稅降低（）個百分點，預測收購量可增加個百分點.（1）寫出稅收（萬元）與的函數關系式；（2）要使此項稅收在稅率調整后不少于原計劃稅收的，試確定的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據征稅率降低x（x≠0）個百分點，預測收購量可增加2x個百分點，可知降低稅率后的稅率為（10-x）%，農產品的收購量為a（1+2x%）萬擔，收購總金額

200a（1+2x%），從而可求稅收y（萬元）與x的函數關系式；（Ⅱ）利用稅收在稅率調節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，可建立不等關系，從而可得x的取值范圍．試題解析：（1）降低稅率后的稅率為，農產品的收購量為萬擔,收購總金額為萬元.依題意有（2）原計劃稅收為萬元依題意有化簡得.的取范圍是.點睛：解決函數模型應用的解答題，還有以下幾點容易造成失分：①讀不懂實際背景，不能將實際問題轉化為函數模型．②對涉及的相關公式，記憶錯誤．③在求解的過程中計算錯誤.另外需要