2010年廣東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題第十四題

2010年廣東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題第十四題題目十四：已知三個(gè)實(shí)數(shù)$a,b,c$滿足$\sqrt{2}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b+c}=2\sqrt{a}$，求$\dfrac{3a-b}{c}$的值。

【解析】

本題是一道求值問(wèn)題，根據(jù)題目中給出的條件可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于$a,b,c$的方程，通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，最終得出$\dfrac{3a-b}{c}$的值。

首先，利用題目中給出的條件構(gòu)造方程，設(shè)$\sqrt{a+b}=x$，$\sqrt{a-b+c}=y$，則

$$\sqrt{2}+x+y=2\sqrt{a}$$

對(duì)兩邊平方可以得到

$$2+x^2+y^2+2xy+2x\sqrt{2}+2y\sqrt{2}=4a$$

進(jìn)一步改寫上式，我們能得到

$$\begin{aligned}&x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2-2xy\\=&\left(2\sqrt{a}-\sqrt{2}\right)^2-2\left(2a-b+c\right)\\=&10-8\sqrt{2}-4a+2b-2c\end{aligned}$$

再來(lái)看第二部分，利用$\dfrac{3a-b}{c}$的定義式，我們可以得到

$$\dfrac{3a-b}{c}=3\cdot\dfrac{a}{c}-\dfrac{c}$$

我們考慮將分母中的$c$消去，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為$a$，$b$，$x$和$y$等能夠確定的變量，通過(guò)將$c$寫成“先解方程”的形式，將其代入上式。

利用第一步中的式子，我們可以將$c$的值表示為

$$c=a+b-x^2=\left(a-\dfrac{1}{2}x^2+b\right)-\dfrac{1}{2}\left(x^2-y^2+2xy-10+8\sqrt{2}\right)$$

將上述表達(dá)式代入$\dfrac{3a-b}{c}$的定義式中，可以化簡(jiǎn)為

$$\begin{aligned}\dfrac{3a-b}{c}=&\dfrac{6a-2b-3x^2+1.5x^2-1.5y^2-3xy}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{1.5\left(x^2+y^2+2xy-6\sqrt{2}\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{1.5\left(10-6\sqrt{2}-8a+2b-2c\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\end{aligned}$$

然后，我們將$x$的值用原方程的形式來(lái)表示，代入$\dfrac{3a-b}{c}$中，就可以得到

$$\begin{aligned}\dfrac{3a-b}{c}=&\dfrac{1.5\left(10-6\sqrt{2}-8a+2b-2c\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{2b-1.5\left(x^2+y^2+2xy-6\sqrt{2}\right)}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{8b-3\left(x+y\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+c}\end{aligned}$$

最后，我們代入題目中的方程

$$\sqrt{2}+x+y=2\sqrt{a}$$

得到$x+y=2\sqrt{a}-\sqrt{2}$，因此

$$\begin{aligned}&\dfrac{3a-b}{c}\\=&\dfrac{8b-3\left(x+y\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+c}\\=&\dfrac{8b-3\left(2\sqrt{a}-\sqrt{2}\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+a+b-2\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\\=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+1\end{aligned}$$

因此，我們得到了$\dfrac{3a-b}{c}$的值，為$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+1$。

【總結(jié)】

本題通過(guò)構(gòu)造方程、推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，得出了$\dfrac{3a-