高中數(shù)學(xué)必修3第三章《概率》單元檢測試卷及高中數(shù)學(xué)必修2-3第二章2.4正態(tài)分布

高中數(shù)學(xué)必修3第三章《概率》單元檢測試卷溫馨提示：可親可敬的奮進者，這就是我們的沙場，請你記?。阂?guī)范出成績，規(guī)范出人才，規(guī)范才能勝利，做好每一題，寫好每一步，規(guī)范每一空間，讓我們的試卷對、全、美，相信你們能行，一定行！一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.1.下列說法正確的是（）A.任何事件的概率總是在（0，1）之間B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)C.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率D.概率是隨機的，在試驗前不能確定2.擲一枚骰子，則擲得奇數(shù)點的概率是（）A.B.C.D.3.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（

）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.964.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A.B.C.D.5.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，B=“三件產(chǎn)品全是次品”，C=“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與C互斥B.B與C互斥C.任何兩個均互斥D.任何兩個均不互斥6.甲，乙兩人隨意入住兩間空房，則甲乙兩人各住一間房的概率是（）A..B.C.D.無法確定7.從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A.1B.C.D.8.有四個游戲盤面積相等，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是（）9.對學(xué)生進行某種體育測試，甲通過測試的概率為，乙通過測試的概率為，則甲、乙至少1人通過測試的概率為（）A． B．C． D．10.已知在矩形中，AB=5，BC=7，在其中任取一點P，使?jié)M足，則P點出現(xiàn)的概率為（）（A） （B） （C） （D）不確定11.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點數(shù)分別為、，則的概率為() A． B． C． D．12.把一條長10厘米的線段隨機地分成三段，這三段能夠構(gòu)成三角形的概率是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當選為組長的概率是___________14.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率30.12則年降水量在[200，300]（m,m）范圍內(nèi)的概率是___________15.今有四張卡片上分別寫有“好”、“好”、“學(xué)”、“習(xí)”四個字，現(xiàn)將其隨機排成一行，則恰好排成“好好學(xué)習(xí)”的概率是．16.以邊長為2的正方形的四個頂點為圓心各作一個半徑為1的四分之一圓周，如右圖，現(xiàn)向正方體內(nèi)任投一質(zhì)點，則質(zhì)點落入圖中陰影部分的概率為．三、解答題（本大題共3小題，共30分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）如圖，在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，

問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？18.（本小題滿分12分）10本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，

能取出數(shù)學(xué)書的概率有多大？19.（本小題滿分12分））甲盒中有紅，黑，白三種顏色的球各3個，乙盒子中有黃，黑，白，三種顏色的球各2個，從兩個盒子中各取1個球，求取出的兩個球是不同顏色的概率.20.（本小題滿分12分）某中學(xué)從參加高一年級上期期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）；(Ⅱ)從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選一人，求選到第一名學(xué)生的概率（第一名學(xué)生只一人）.21.（本小題滿分12分）現(xiàn)有6名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．（Ⅰ）求被選中的概率；（Ⅱ）求和不全被選中的概率．（Ⅲ）若6名奧運會志愿者每小時派倆人值班，現(xiàn)有倆名只會日語的運動員到來，求恰好遇到的概率．22.（本小題滿分12分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，將得到的點數(shù)分別記為.（Ⅰ）求直線與圓相切的概率；（Ⅱ）將的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．《概率》單元測試試卷（A）數(shù)學(xué)答題卷告全體奮進者：考試結(jié)束了，不管我們的成績?nèi)绾?，我們?yīng)該正確面對我們考試中暴露出的問題，對我們來說，問題就是我們的潛力，就是我們的增長點，請你好好分析自己的增長點，誰找出自己的增長點，誰就抓住高考的主動權(quán)，在高考中就能立于不敗之地.一、選擇題（每小題12分，滿分60分）1-5CBDDB6-10CCADA11-12CB二、填空題（每小題5分，共20分）13.14.15.16.三、解答題（本小題共6小題，滿分70分）17.（本小題滿分10分）解：因為均勻的粒子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件.設(shè)A＝“粒子落在中間帶形區(qū)域”則依題意得正方形面積為：25×25＝625.兩個等腰直角三角形的面積為：2××23×23＝529.帶形區(qū)域的面積為：625－529＝96.∴P（A）＝.18.（本小題滿分12分）解：基本事件的總數(shù)為：12×11÷2＝66“能取出數(shù)學(xué)書”這個事件所包含的基本事件個數(shù)分兩種情況：（1）“恰好取出1本數(shù)學(xué)書”所包含的基本事件個數(shù)為：10×2＝20（2）“取出2本都是數(shù)學(xué)書”所包含的基本事件個數(shù)為：1所以“能取出數(shù)學(xué)書”這個事件所包含的基本事件個數(shù)為：20＋1＝21因此,P（“能取出數(shù)學(xué)書”）＝.19.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)A＝“取出的兩球是相同顏色”，B＝“取出的兩球是不同顏色”，則事件A的概率為：P（A）＝＝.由于事件A與事件B是對立事件，所以事件B的概率為：P（B）＝1－P（A）＝1－＝.20.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）依題意，60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為,所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%..............6分（Ⅱ），，”的人數(shù)是18,15,3.―――9分所以從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選一人，選到第一名的概率.………12分21.（本小題滿分12分）解（Ⅰ）從6人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件是：，，.由8個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用表示“恰被選中”這一事件，則{，}.事件由4個基本事件組成，因而．……………...4分（Ⅱ）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于{}，事件有2個基本事件組成，所以，由對立事件的概率公式得．……………..8分（Ⅲ）.……………...12分22.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36．因為直線ax＋by＋5=0與圓x2＋y2=1相切，所以有即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝.所以，滿足條件的情況只有a=3,b=4；或a=4,b=3兩種情況．所以，直線ax＋by＋c=0與圓x2＋y2=1相切的概率是--------6分（Ⅱ）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為a,b,事件總數(shù)為6×6=36．因為，三角形的一邊長為5所以，當a=1時，b=5，（1，5，5）1種當a=2時，b=5，（2，5，5）1種當a=3時，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）2種當a=4時，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）2種當a=5時，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6種當a=6時，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）2種故滿足條件的不同情況共有14種.所以，三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為．-----------12分2．4正態(tài)分布1．問題導(dǎo)航(1)什么是正態(tài)曲線和正態(tài)分布？(2)正態(tài)曲線有什么特點？曲線所表示的意義是什么？(3)怎樣求隨機變量在某一區(qū)間范圍內(nèi)的概率？2．例題導(dǎo)讀請試做教材P74練習(xí)1題．1．正態(tài)曲線函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)，φμ，σ(x)的圖象為__________________正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2．正態(tài)分布一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)________μ和________σ確定，因此正態(tài)分布常記作____________N(μ，σ2)，如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為________X～N(μ，σ2)．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R有以下性質(zhì)：(1)曲線位于x軸________上方，與x軸________不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線________x＝μ對稱；(3)曲線在________x＝μ處達到峰值________eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為________1；(5)當________σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ________越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ________越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖②.4．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4．1．判斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．()答案：(1)×(2)×(3)√2．設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，則C＝()A．0 B．σC．－μ D．μ答案：D3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(X＜3)＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案：D4．已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x2,4π)，x∈(－∞，＋∞)，則該正態(tài)分布的均值為________，標準差為________．答案：0eq\r(2π)正態(tài)分布的再認識(1)參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布．(2)正態(tài)分布定義中的式子實際是指隨機變量X的取值區(qū)間在(a，b]上的概率等于總體密度函數(shù)在[a，b]上的定積分值．(3)從正態(tài)曲線可以看出，對于固定的μ而言，隨機變量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大．這說明σ越小，X取值落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周圍的概率越大．對于固定的μ和σ，隨機變量X取值區(qū)間越大，所對應(yīng)的概率就越大，即3σ原則．正態(tài)分布密度曲線如圖是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的均值和方差．[解]從正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，∴σ＝eq\r(2).于是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，總體隨機變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實質(zhì)，主要有兩點：一是對稱軸x＝μ，另一是最值eq\f(1,σ\r(2π))，這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入便可求出相應(yīng)的解析式．掃一掃進入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)()正態(tài)分布密度曲線1．若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式．解：由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由于eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．求正態(tài)分布下的概率設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因為X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)因為P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.[互動探究]在本例條件下，試求P(X≥5)．解：因為P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228.(1)求解本類問題的解題思路是充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的概率．這一轉(zhuǎn)化過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用．(2)常用結(jié)論有①對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．2．(1)(2015·高考山東卷)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%，故選B.(2)設(shè)隨機變量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，則P(X＜0)＝________．解析：概率密度曲線關(guān)于直線x＝4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于在8右邊的概率，即0.5－0.3＝0.2.答案：0.2(3)設(shè)隨機變量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．①求c的值；②求P(－4＜X＜8)．解：①由X～N(2，9)可知，密度函數(shù)曲線關(guān)于直線x＝2對稱(如圖所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.②P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)＝0.9544.正態(tài)分布的實際應(yīng)用某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70，102)，如果規(guī)定低于60分的學(xué)生為不及格學(xué)生．(1)成績不及格的人數(shù)占多少？(2)成績在80～90之間的學(xué)生占多少？[解](1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機變量X，則X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10.在60到80之間的學(xué)生占的比為P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826＝68.26%，∴不及格的學(xué)生所占的比為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587＝15.87%.(2)成績在80到90之間的學(xué)生所占的比為eq\f(1,2)×[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝13.59%.正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略：解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．3．(2015·杭州質(zhì)檢)某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時間X(單位：分)近似服從正態(tài)分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分內(nèi)趕到火車站的概率．解：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30＜X≤60)＝P(30＜X≤50)＋P(50＜X≤60)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＋eq\f(1,2)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)×0.9544＋eq\f(1,2)×0.6826＝0.8185.即他在(30，60]分內(nèi)趕到火車站的概率是0.8185.數(shù)學(xué)思想正態(tài)分布中的化歸與轉(zhuǎn)化思想已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585[解析]由于X服從正態(tài)分布N(3，1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，故P(X>4)＝eq\f(1－P（2≤X≤4）,2)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587.[答案]B[感悟提高]化歸與轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一，在解決正態(tài)分布的應(yīng)用問題時，化歸與轉(zhuǎn)化思想起著不可忽視的作用．本小題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識，求解時應(yīng)根據(jù)P(X>4)＋P(X<2)＋P(2≤X≤4)＝1將問題轉(zhuǎn)化．1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，則這個正態(tài)總體的均值與標準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10解析：選B.由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2.(2015·高考湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()A．2386 B．2718C．3413 D．4772附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.解析：選C.由P(－1<X≤1)＝0.6826，得P(0<X≤1)＝0.3413，則陰影部分的面積為0.3413，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10000×eq\f(0.3413,1×1)＝3413，故選C.3．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為________．解析：如圖，易得P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，故P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.84．設(shè)X～N(5，1)，求P(6<X≤7)．解：由已知得P(4<X≤6)＝0.6826，P(3<X≤7)＝0.9544.又∵正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝5對稱，∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.由對稱性知P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)，所以P(6<X≤7)＝eq\f(0.2718,2)＝0.1359.[A.基礎(chǔ)達標]1．設(shè)隨機變量ξ～N(2，2)，則D(eq\f(1,2)ξ)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．4解析：選C.∵ξ～N(2，2)，∴D(ξ)＝2.∴D(eq\f(1,2)ξ)＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).2．下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2σπ))eeq\s\up6(\f(（x－μ）2,2σ2))，μ，σ(σ＞0)都是實數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)e－eq\f(x2,2)C．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,4)D．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up6(\f(x2,2))解析：選B.對于A：函數(shù)的系數(shù)部分的二次根式包含σ，而且指數(shù)部分的符號是正的，故A錯誤；對于B：符合正態(tài)密度函數(shù)的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正確；對于C：從系數(shù)部分看σ＝2，可是從指數(shù)部分看σ＝eq\r(2)，故C不正確；對于D：指數(shù)部分缺少一個負號，故D不正確．3．(2015·高考湖北卷)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)解析：選D.由圖象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)，P(Y≥μ1)>eq\f(1,2)，故P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯；因為σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯；對任意正數(shù)t，P(X≥t)<P(Y≥t)，故C錯；對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正確的，故選D.4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：選C.如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以P(ξ＜2)＝0.5，并且P(0＜ξ＜2)＝P(2＜ξ＜4)，則P(0＜ξ＜2)＝P(ξ＜4)－P(ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.5．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)，則μ＝()A．1 B．4C．2 D．不能確定解析：選B.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點時，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)時，μ＝4.6．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，則μ＝________．解析：∵ξ～N(μ，σ2)，故概率密度函數(shù)關(guān)于直線x＝μ對稱，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，從而μ＝eq\f(1＋3,2)＝2，即μ的值為2.答案：27．在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(2，＋∞)上取值的概率為________．解析：由正態(tài)分布的特征易得P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×[1－2P(0<ξ<1)]＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1.答案：0.18．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為________．解析：依題意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，從而屬于正常情況的人數(shù)為1000×0.6826≈683.答案：6839．(2015·蘇州高二檢測)某個工廠的工人月收入服從正態(tài)分布N(2500，202)，該工廠共有1200名工人，試估計月收入在2440元以下和2560元以上的工人大約有多少人？解：設(shè)該工廠工人的月收入為ξ，則ξ～N(2500，202)，所以μ＝2500，σ＝20，所以月收入在區(qū)間(2500－3×20，2500＋3×20)內(nèi)取值的概率是0.9974，該區(qū)間即(2440，2560)．因此月收入在2440元以下和2560元以上的工人大約有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．10．(2015·漳州高二檢測)某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時間(單位為分)服從正態(tài)分布N(50，102)；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布N(60，42)．(1)若只有70分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？(2)若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？解：由已知X～N(50，102)，Y～N(60，42)．由正態(tài)分布的2σ區(qū)間性質(zhì)P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.然后解決問題的關(guān)鍵是：根據(jù)上述性質(zhì)得到如下結(jié)果：對X：μ＝50；σ＝10，2σ區(qū)間為(30，70)，對Y：μ＝60；σ＝4，2σ區(qū)間為(52，68)，要盡量保證用時在X?(30，70)，Y?(52，68)才能保證有95%以上的概率準時到達．(1)時間只有70分鐘可用，應(yīng)該走第二條路線．(2)時間只有65分鐘可用，兩種方案都能保證有95%以上的概率準時到達，但是走市區(qū)平均用時比路線二少了10分鐘，應(yīng)該走第一條路線．[B.能力提升]1．設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，則隨著σ的增大，P(|X－μ|＜3σ)將會()A．單調(diào)增加 B．單調(diào)減少C．保持不變 D．增減不定解析：選C.對于服從正態(tài)分布的隨機變量X，不論μ，σ怎么變化，P(|X－μ|＜3σ)總等于0.9974.2．設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間(－∞，－1)和區(qū)間(3，＋∞)的概率相等，落在區(qū)間(－2，4)內(nèi)的概率為99.7%，則該正態(tài)總體對應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點的坐標為()A．(1，eq\f(1,\r(2π))) B．(1，eq\r(2))C．(eq\f(1,\r(2π))，1) D．(1，1)解析：選A.正態(tài)總體落在區(qū)間(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，說明正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，所以μ＝1.又在區(qū)間(－2，4)內(nèi)的概率為99.7%，∴1－3σ＝－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)，x∈R，∴最高點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2π)))).3．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，則下列結(jié)論正確的是________．①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)．解析：因為P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不