【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】函數(shù)的圖像

1第十二課時函數(shù)的圖像第三章基本初等函數(shù)（Ⅰ）

1．函數(shù)圖象的作法函數(shù)圖象的作法有

和

.

2．函數(shù)圖象的幾種變換（1）y=f（x-a）的圖象可由y=f（x）的圖象沿x軸

（a＞0）或

（a＜0）平移

個單位長度得到.2圖象變換法描點(diǎn)法|a|向右向左（2）y=f（x）+h的圖象可由y=f（x）的圖象

（h＞0）或

（h＜0）平移

個單位長度得到.（3）y=kf（x）（k＞0）的圖象可由y=

f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍而得到.（4）y=f（kx）（k＞0）的圖象可由y=

f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍而得到.3|h|向上向下k（5）y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于

對稱；y=f（x）與y=-f（x）的圖象關(guān)于

對稱；y=f（x）與y=-f（-x）的圖象關(guān)于

對稱.（6）y=|f（x）|的圖象是保留y=f（x）的圖象中位于坐標(biāo)平面上半平面內(nèi)的部分及與x軸的交點(diǎn)，將y=f（x）的圖象中位于坐標(biāo)平面下半平面內(nèi)的部分而得到.4原點(diǎn)y軸x軸以x軸為對稱軸翻折到上半平面中去（7）y=f（|x|）的圖象是保留y=f（x）的圖象中位于坐標(biāo)平面右半平面內(nèi)的部分及與y軸的交點(diǎn)，去掉坐標(biāo)平面左半平面內(nèi)的部分，而利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將y=f（x）的圖象中位于坐標(biāo)平面右半平面內(nèi)的部分

而得到.5以y軸為對稱軸翻折到坐標(biāo)平面左半平面中去（8）若f（a+x）=f（b-x）,x∈R恒成立，則y=f（x）的圖象關(guān)于直線

成軸對稱圖形.

（9）函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖象關(guān)于直線

對稱.6

1.若函數(shù)y=ax+b-1（a>0,且a≠1）的圖象不經(jīng)過第一象限，則（）

A.0<a<1,b>0

B.a>1,b>0

C.0<a<1,b≤0

D.a>1,b≤0

當(dāng)a>1時，無論b取何值都不能使函數(shù)圖象不經(jīng)過第一象限；當(dāng)0<a<1時，只需b-1≤-1，即b≤0，故選C.7

2.函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在［1,2］上存在反函數(shù)的充要條件是（

）

A.a≤1

B.a≥2

C.1≤a≤2

D.a≤1或a≥28D

3.若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線

對稱（）

A.y=0

B.x=0

C.y=1

D.x=1

將函數(shù)y=f（x-1）的圖象向左平移1個單位長度得到y(tǒng)=f（x）的圖象；將函數(shù)y=f（1-x）=f［-（x-1）］的圖象向左平移1個單位長度得到y(tǒng)=f（-x）的圖象.因?yàn)閥=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，故y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，應(yīng)選D.9

4.為了得到函數(shù)y=3·（

）x的圖象，可以把函數(shù)y=（

）x的圖象（

）

A.向左平移3個單位長度

B.向右平移3個單位長度

C.向左平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度

y=3·（

）x=（

）x-1，它的圖象可看作把函數(shù)y=（

）x的圖象向右平移一個單位長度而得到，故選D.10

5.函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是（

）

易知所給函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A、C.對于一個較小的正數(shù)，其函數(shù)值為負(fù)，所以應(yīng)選D.11

1.函數(shù)圖象的識別（1）如圖1，函數(shù)y=f（x-1）的圖象總在x軸上方，則f（0）=

；f

-1（1）=

;

f（x）<1的解集是

.1210（0,+∞）（2）若函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象不經(jīng)過第

象限.（3）如圖2是函數(shù)f（x）的圖象，則f（x）的解析式是

.13|x-1|+1二

2.函數(shù)圖象變換

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2,3）上是增函數(shù)，那么函數(shù)f（x+5）的單調(diào)遞增區(qū)間

是

.

（2）將函數(shù)y=f（-x）的圖象向右平移1個單位長度得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式

為

.

（3）若函數(shù)y=log2x與函數(shù)

的圖象關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為

.14（-7,-2）f（1-x）x+y=0

3.函數(shù)圖象與性質(zhì)（1）與曲線

關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線的表達(dá)式是

.（2）函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=

f（2x）的對稱軸方程是

.（3）函數(shù)f（x）=ax2+bx-4，其中a,b,4成等比數(shù)列，則函數(shù)f（x）的最小值是

.15-5

4.函數(shù)圖象的應(yīng)用（1）已知奇函數(shù)f（x）的定義域是［-5,5］，圖3是x∈［0,5］時的圖象，則不等式f（x）<0的解集是

.16（-2,0）∪（2,5）（2）函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）-2（a<b），α、β（α<β）是方程f（x）=0的兩個實(shí)數(shù)根，則α、β、a、b的大小關(guān)系是

.（3）偶函數(shù)f（x）在（0,+∞）上是減函數(shù)，若f（）>0>f（），則f（x）=0的根的個數(shù)為

.17α<a<b<β2

題型１作函數(shù)的圖象作出下列函數(shù)的圖象.（1）y=|x-2|（x+1）;（2）y=|log2x-1|;（3）y=2|x-1|.

（1）函數(shù)化為18

圖象如下圖.19

（2）函數(shù)化為圖象如右下圖.20

（3）函數(shù)化為函數(shù)的圖象如下圖.21

【評注】作出函數(shù)的圖象，首先要對函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡，再根據(jù)自變量的范圍描畫函數(shù)的圖象；也可以應(yīng)用函數(shù)圖象的變化規(guī)律作出函數(shù)的圖象.要熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象.22作出下列函數(shù)的圖象.（1）y=|lgx|和y=lg|x|;（2）y=a|logax|（a>0,且a≠1）.

（1）第一個函數(shù)的圖象只需將y=lgx在x軸下方部分的圖象沿x軸翻折上去，并去掉x軸下方的圖象，如下圖（1）；第二個函數(shù)的圖象只需將y=lgx的圖象沿y軸翻折過去，同時保留y軸右邊的圖象,如下圖（2）.2324（2）分0<a<1或a>1兩種情況討論:當(dāng)a>1時，函數(shù)化為當(dāng)0<a<1時，函數(shù)化為25如下圖（3）（4）.26

題型2

函數(shù)圖象的識別

如右圖,等邊三角形OAB的邊長為2，直線x=t從t=0滑動到t=2，設(shè)直線x=t掃過△OAB的面積為S，則S=f（t）的圖象為（）圖形面積的曲線關(guān)于點(diǎn)（1,）對稱，在［0,1］上的增長是先慢后快，在［1,2］上的增長是先快后慢，故選C.答案：C27

【評注】注意到三角形底邊OB上的高為3，可以用分段函數(shù)表示三角形的面積，再畫出其函數(shù)圖象，這樣做要花較多的時間.28函數(shù)f（x）=ln|x-1|的圖象大致是（）

由于函數(shù)y=ln|x|是偶函數(shù)，其圖象的對稱軸方程是x=0，于是函數(shù)y=ln|x-1|圖象的對稱軸方程為x=1;當(dāng)x>0時，y=ln|x|是增函數(shù)，則當(dāng)x>1時，y=ln|x-1|是增函數(shù)，故選B.29

題型3函數(shù)圖象變換分別敘述下列各題的求解過程.（1）已知函數(shù)f（x）的圖象，求作函數(shù)f（2x）和2f（x）的圖象；（2）已知函數(shù)f（x）=的圖象，求作函數(shù)y=log2x的圖象；（3）已知函數(shù)y=f（x-1）的圖象，求作函數(shù)y=f（-x+2）的圖象.30（1）由函數(shù)f（x）的圖象，得到函數(shù)f（2x）的圖象，只需將y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頇M坐標(biāo)的；要得到函數(shù)2f（x）的圖象，只需將y=

f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砜v坐標(biāo)的2倍.31（2）先作出函數(shù)f（x）=的圖象，再作出它關(guān)于直線y=x對稱的函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)

的圖象.接著作函數(shù)

的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象，就得到函數(shù)y=log2x的圖象.32（3）分如下三個步驟求解：第一步，將函數(shù)y=f（x-1）的圖象沿x軸的負(fù)方向（或向左）平移一個單位長度，得到函數(shù)y=f（x）的圖象；第二步，將函數(shù)y=f（x）的圖象以y軸為對稱軸翻折180°，得到函數(shù)y=f（-x）的圖象；第三步，將函數(shù)y=f（-x）的圖象沿x軸的正方向平移2個單位長度，得到y(tǒng)=f［-（x-2）］=f（-x+2）的圖象.33

【評注】圖象變換有三種：平移變換、對稱變換、伸縮變換，要掌握三種變換的基本規(guī)律.本題（1）小題是伸縮變換（聯(lián)系三角函數(shù)中的周期變換和振幅變換）；（2）小題是對稱變換，也可以理解為翻折變換，對稱變換有軸對稱變換和中心對稱變換；（3）小題是平移變換，對自變量作平移必須注意，如將-x向右平移1個單位長度，即-（x-1），而不是-x-1.34

分別敘述下列各題的求解過程.

（1）已知函數(shù)f（x）=

的圖象，求作函數(shù)y=

的圖象；

（2）已知函數(shù)y=f（2x-1）的圖象，求作函數(shù)y=f（3-2x）的圖象.35

（1）函數(shù)

分兩步完成:

第一步，將函數(shù)y=

的圖象沿x軸的正方向平移一個單位長度，得到函數(shù)y=

的圖象；

第二步，將函數(shù)y=

的圖象沿y軸的正方向平移1個單位長度，得到函

數(shù)

的圖象.36（2）分兩步完成：第一步：將函數(shù)y=f（2x-1）的圖象沿y軸翻折180°，得到函數(shù)y=f（-2x-1）的圖象；第二步，將函數(shù)y=f（-1-2x）的圖象沿x軸的正方向平移2個單位長度，得到函數(shù)y=f（3-2x）的圖象.37

題型4

數(shù)形結(jié)合求參數(shù)取值

若不等式x2-logax<0對x∈（0,

）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，即設(shè)f（x）=x2，g（x）=logax.因?yàn)?<x<12，所以logax>x2>0，得0<a<1.38作出兩函數(shù)在（0,）上的圖象，易知所以，當(dāng)函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（,）時，由=loga，得a=

.當(dāng)x∈（0,）時，由loga

>，得a>

;當(dāng)a=時，由于f（x）<（0<x<），而g（x）＞.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［,1）.39

【評注】將不等式（含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的關(guān)系，借助于函數(shù)圖象來研究，是數(shù)學(xué)思想靈活運(yùn)用的體現(xiàn).本題直接解不等式是困難的.本題也可以作另外的解釋，即x2<logax(0<x<

)恒成立，就是函數(shù)f（x）=x2的最大值小于函數(shù)g（x）=logax的最小值.因?yàn)樵冢?,

）上，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x→

時，f（x）→

，所以f（x）<

.函數(shù)g（x）=logax（0<a<1）在（0,

）上是減函數(shù)，當(dāng)x→

時，g（x）→

，所以g（x）>

.40已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，如右圖是函數(shù)f（x）的圖象.令g（x）=af（x）+b，證明：當(dāng)a=-1,-2<b<0時，方程g（x）=0有大于2的根.41

由圖象可設(shè)f（x）=mx（x+2）（x-2）（m<0）.當(dāng)a=-1時，g（x）=-mx（x+2）（x-2）+b.又-2<b<0，所以g（x）的圖象由f（x）的圖象沿x軸翻折后，向下平移|b|個單位長度得到，所以g（x）在（2,+∞）上是增函數(shù)，且g（2）=b<0，于是方程g（x）=0有大于2的根.42

題型5函數(shù)圖象的應(yīng)用已知函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程f（x）=mx有四個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）函數(shù)化為43

其圖象是函數(shù)y=（x-2）2-1的圖象，保留x軸上方的圖象，而將x軸下方的圖象沿x軸翻折180°到x軸上方去，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)（1,0）,（3,0）.如圖.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,2）,（3,+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞,1）,（2,3）.44（2）根據(jù)圖象可知，直線y=mx的斜率m>0；當(dāng)直線y=mx與函數(shù)y=-x2+4x-3的圖象相切時，方程f（x）=mx只有三個實(shí)數(shù)根，此時的m值為臨界值.由mx=-x2+4x-3，得x2+（m-4）x+3=0.故由Δ=（m-4）2-12=0，得m=4-ｆｄ（m=舍去）.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0,）.45

【評注】能夠有效作出函數(shù)圖象，對于討論兩曲線的位置關(guān)系意義重大.本題中，沒有“形”的輔助，很難順利解答.在討論直線與拋物線相切時，出現(xiàn)了兩個m的值，其中有一個值（m=）是直線與拋物線的另一個切點(diǎn)的值，這個切點(diǎn)在第三象限，故這個值是不符合題意的.46

已知函數(shù)f（x）=|x2-4x+3|，討論方程f（x）-a=x根的個數(shù).

函數(shù)化為其圖象是函數(shù)y=（x-2）2-1的圖象，保留x軸上方的圖象，而將x軸下方的圖象沿x軸翻折180°到x軸上方去，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)（1,0）,（3,0）.47故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,2）,（3,+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞,1）,（2,3）；設(shè)函數(shù)g（x）=x+a，其圖象為平行于y=x的直線系.當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)（3,0）時，a=-3；當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)（1,0）時，a=-1；當(dāng)直線y=x+a與函數(shù)y=-（x-2）2+1（1<x<3）的圖象相切時，a=

.48于是,當(dāng)a<-3時,方程有0個根；當(dāng)a=-3時，方程有1個根；當(dāng)-3＜a<-1或a>時，方程有2個根；當(dāng)a=-1,a=時，方程有3個根；當(dāng)-1<a<時，方程有4個根.49題型6

函數(shù)圖象對稱性的證明與求解已知函數(shù)

（a>0,且a≠1），證明：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（,）對稱.

函數(shù)f（x）的定義域是全體實(shí)數(shù)，在函數(shù)y=f（x）的圖象上任意取一點(diǎn)（x0,y0），設(shè)它關(guān)于點(diǎn)（,）對稱的點(diǎn)為（x,y）.50則根據(jù)兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式有

于是-1-y=f（1-x）=

這說明點(diǎn)（x,y）也在已知函數(shù)的圖象上.所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（,）對稱.51整理得y=

【評注】函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)的對稱性，是指函數(shù)圖象成中心對稱圖形，證明過程分兩步，首先是根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立已知點(diǎn)與對稱點(diǎn)之間的關(guān)系，其次利用已知點(diǎn)所滿足的曲線方程求出對稱點(diǎn)所滿足的曲線方程，如果該曲線方程所表示的函數(shù)關(guān)系式與已知函數(shù)的解析式完全相同，則表示已知函數(shù)的圖象是中心對稱或軸對稱圖形.52已知函數(shù)f（x）=x2-2x，且g（x）與f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）對稱，求函數(shù)g（x）的表達(dá)式.

函數(shù)f（x）的定義域是全體實(shí)數(shù)，在函數(shù)y=f（x）的圖象上任意取一點(diǎn)（x0,y0），設(shè)它關(guān)于點(diǎn)（1,2）對稱的點(diǎn)為（x,y）.則根據(jù)兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式有于是4-y=f（2-x）=（2-x）2-2（2-x）=x2-2x，故y=g（x）=-x2+2x+4.53

1.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)方式，它直觀地顯示了函數(shù)的性質(zhì).正確畫出函數(shù)圖象，熟練識別函數(shù)圖象，熟練應(yīng)用函數(shù)圖象，必須熟悉基本初等函數(shù)的圖象，掌握它們所具有的性質(zhì).同時，需要熟練掌握函數(shù)圖象的幾種變換，詳見“知識盤點(diǎn)”.54