【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】1數(shù)列的通項(xiàng)公式

1第四課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式第十四章數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式的幾種常見類型：（1）由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納其通項(xiàng)公式（用觀察法）；（2）由an與Sn的關(guān)系求an由Sn求an時(shí)，要分①

和②

兩種情況.然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示.若不能則用分段函數(shù)的形式表示為an=③

（n=1）④

（n≥2，n∈N*）.2n=1n≥2S1

Sn-Sn-1

（3）由遞推公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式常用方法：（?。┮阎猘1,且an-an-1=f（n），宜用⑤

求an；（ⅱ）已知a1，且=f（n），宜用⑥

求an；（ⅲ）已知a1,且an+1=qan+b（n∈N*），宜用⑦

求an.3待定系數(shù)法累加法累乘法41.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)

且滿足

則a2011=

.

由

知，數(shù)列{

}是以

=3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列.故所以2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且對所有n≥2，n∈N*，有a1·a2·…·an=n2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是__________________________.5

依題意，a1·a2·…·an=n2，①則當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，a1·a2·…·an-1=(n-1)2.②①÷②得63.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2n,則an=

.

因?yàn)閍n+1-an=2n,所以an-an-1=2（n-1）,an-1-an-2=2（n-2）,…,a3-a2=4,a2-a1=2.將上述各式相加，得an-a1=2［1+2+…+（n-1）］=n（n-1）,所以an=n2-n+2.7n2-n+24.在數(shù)列{an}中，已知a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是_______________________________.

因?yàn)?/p>

故an=nan-1=n（n-1）an-2=…=n（n-1）（n-2）·…·2a1=n（n-1）（n-2）·…×2×1.8an=n（n-1）（n-2）·…×2×15.設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1,則其通項(xiàng)公式

.

因?yàn)樗约磠

}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.所以從而an=n2.9an=n21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，則an=①

.（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，則an=②

.102n-12.利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式（1）若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=an+2，則an=③

.（2）若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2an，則an=④

.112n-12n-1123.利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=an+n+1，則an=⑤

.4.利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2n·an，則an=⑥

.5.利用an與Sn的關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an-1，則an=⑦

.6.利用“取倒數(shù)”求數(shù)列的通項(xiàng)若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=，則an=⑧

.132n-1

14已知數(shù)列{an}中，a1=5,且an=a1+a2+…+an-1（n≥2），求an.

方法1：因?yàn)閍n=a1+a2+…+an-1（n≥2,所以an-1=a1+a2+…+an-2（n≥3）,所以an=a1+a2+…+an-1=（a1+a2+…+an-2）+an-1=2an-1,題型1：給出an與Sn的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)即這說明數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是一個(gè)首項(xiàng)為a2=a1=5，公比為2的等比數(shù)列.所以an=5·2n-2（n≥2,n∈N*）.而a1=5不適合上式，15方法2：因?yàn)镾n-1=an,所以Sn=an+1，兩式相減得Sn-Sn-1=an=an+1-an，所以an+1=2an，即所以數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列，所以an=5·2n-2（n≥2,n∈N*）.而a1=5不適合上式，16【評注】給出an與Sn-1的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，給出了兩種解法，方法1思路簡單，但下標(biāo)出現(xiàn)了n-2，所以n≥3，這里很容易出錯(cuò)；方法2是常規(guī)解法.一般的，an與Sn出現(xiàn)在同一個(gè)關(guān)系式中的問題，都可以由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）轉(zhuǎn)化為等差、等比問題，或轉(zhuǎn)化為可以用累加、累乘等辦法解決的問題，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.這里要注意驗(yàn)證a1是否適合，若不適合，只能寫成分段的形式.17已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=

(an+1)2，且an>0.（1）求a1,a2；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.18（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=（a1+1）2，得a1=1.又S2=a1+a2=（a2+1）2，所以a2=3.（2）因?yàn)?Sn=（an+1）2，所以4Sn+1=（an+1+1）2，19兩式相減得4an+1=a2n+1+2an+1-a2n-2an,即（an+1+an）（an+1-an-2）=0.因?yàn)閍n>0，所以an+1+an≠0，從而an+1-an=2，即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.所以an=1+（n-1）·2=2n-1.20已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，點(diǎn)Pn（an，）（n∈N*）在曲線y=f（x）上，且a1=1,an>0.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1，前n項(xiàng)和記為Tn，且求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn.21

題型2：由遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式（1）由題意得即所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，所以又an>0，所以22（2）因?yàn)樗杂深}設(shè)知（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），所以即數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.23所以=1+（n-1）·1=n，從而Tn=n（4n-3）=4n2-3n.所以bn=Tn-Tn-1=（4n2-3n）-［4（n-1）2-3（n-1）］=8n-7（n≥2）.因?yàn)閎1=1也適合上式，所以bn=8n-7（n∈N*）.24【評注】本題考查等差數(shù)列.由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基礎(chǔ)知識和基本方法，旨在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分析問題和解決問題的能力.本題較好地體現(xiàn)了方程的思想和函數(shù)思想.第（2）問較難，解題的關(guān)鍵是通過變形構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，先得到Tn的表達(dá)式，再由bn=Tn-Tn-1（n≥2）求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.數(shù)列與函數(shù)、不等式的結(jié)合是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以重視.25已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n,Sn）（n∈N*）在函數(shù)f（x）=3x2-2x的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，求使得成立的最小正整數(shù)n.26

（1）由題意得Sn=3n2-2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（3n2-2n）-［3（n-1）2-2（n-1）］=6n-5.a1=S1=1也適合上式，所以an=6n-5（n∈N*）.27（2）因?yàn)樗訲n=b1+b2+…+bn而n是正整數(shù)，所以n的最小值是9.28在數(shù)列{an}中，an+2=3an+1-2an，且a1=1，a2=3.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

由an+2=3an+1-2an，得an+2-an+1=2（an+1-an），即（常數(shù)）.29題型3：由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式故數(shù)列{an+1-an}是以2為公比的等比數(shù)列,所以an+1-an=（a2-a1）·2n-1=2n，即a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1,上述（n-1）個(gè)式子相加得an-a1=2+22+23+…+2n-1，所以an=1+2+22+…+2n-1==2n-1.30【評注】求解本題的關(guān)鍵是由已知等式發(fā)現(xiàn)

即發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an+1-an}是以2為公比的等比數(shù)列.31已知數(shù)列{an}中，a1=2,an+1=2(1+

)2·an（n∈N*）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)

數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和記為Tn，試比較Tn與2的大小.32（1）由得所以{}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列,所以=2n，即an=n2·2n.33（2）因?yàn)?4本節(jié)內(nèi)容主要從三個(gè)方面考查，一是直接利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求通項(xiàng)，一般要根據(jù)已知條件先求出首項(xiàng)和公差（或公比），再代入公式求得結(jié)果；二是將遞推公式變形，引進(jìn)一個(gè)相關(guān)式子，構(gòu)造一個(gè)成等差或等比數(shù)列，然后再相應(yīng)地求得數(shù)列的通項(xiàng)；三是已知前n項(xiàng)和Sn，或者已知Sn與an在同一關(guān)系式中的都要用到an=Sn-Sn-1（n≥2）來求.35后面兩方面需要具備一定的觀察力和較好的運(yùn)算能力，解題時(shí)要觀察所給的式子與特殊數(shù)列之間的聯(lián)系，因此平時(shí)要多總結(jié)、積累，以便培養(yǎng)自己解題的靈活性.1.已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)的方法：（1）形如an+1=an+f（n）的，將其變形為an+1-an=f（n），然后用累加法求通項(xiàng).特別地，當(dāng)f（n）是常數(shù)時(shí)，則用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求，其中f（n）就是公差.36（2）形如an+1=f（n）·an的，將其變形為

然后用累乘法求通項(xiàng).特別地，當(dāng)f（n）是常數(shù)時(shí)，則用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求，其中f（n）就是公比.（3）形如an+1=p·an+q（p,q是常數(shù)）的，構(gòu)造等比數(shù)列.設(shè)an+1+α=p（an+α）,即an+1=p·an+（p-1）·α.令（p-1）·α=q，得α=

.這樣一來，{an+

}就是等比數(shù)列，且公比是p.37(4)形如

（p,q,r是常數(shù)）的，將其變形為若p=r，則{

}是等差數(shù)列，且公差為

，可用公式求通項(xiàng)；若p≠r，則采用（3）的辦法來求.(5)形如an+2=p·an+1+q·an（p,q是常數(shù)，且p+q=1）的，構(gòu)造等比數(shù)列.將其變形為an+2-an+1=（-q）·（an+1-an），38則{an-an-1}是等比數(shù)列，且公比為-q，可以求得an-an-1=f（n），然后用累加法求得通項(xiàng).2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=f（n），用an=Sn-Sn-1（n≥2）來求通項(xiàng)，但要驗(yàn)證a1是否適合，如果不適合，則寫成分段函數(shù)的形式.3.Sn與an在同一關(guān)系式中的，用an=Sn-Sn-1（n≥2）代入后變形為等差、等比數(shù)列問題來解.391.（2008·福建卷）已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)（an,an+1）（n∈N*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=

.依題意得an+1=an+1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an=n.40n2.

（2009·廣東卷）已知點(diǎn)（1，

）是函數(shù)f（x）=ax（a>0,且a≠1）的圖象上一點(diǎn).等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）-c.數(shù)列{bn