第07講立體幾何初步（8.6空間直線、平面的垂直）（原卷版）

第07講立體幾何初步2目錄高頻考點(diǎn)1：線面垂直①證明線面垂直②補(bǔ)全線面垂直條件③線面垂直證明線線垂直④線面垂直證明面面垂直高頻考點(diǎn)2：面面垂直①證明面面垂直②補(bǔ)全面面垂直條件③面面垂直證明線面垂直高頻考點(diǎn)3：異面直線所成角高頻考點(diǎn)4：直線與平面所成角①定義法②等體積法求垂線段法高頻考點(diǎn)5：二面角①定義法②三垂線法③垂面法④射影面積法（）高頻考點(diǎn)6：空間距離①直接法（找+證）②等體積法高頻考點(diǎn)1：線面垂直①證明線面垂直1．（2022·山西·高一階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，且，，，分別為，，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn).(1)證明：平面；2．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，已知是等邊三角形，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面．3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．求證：平面；4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）三棱柱被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，平面，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面交于點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：；5．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形中，，，，．將沿折起得到三棱錐，使得．(1)求證：平面；②補(bǔ)全線面垂直條件1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在對(duì)角線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面，且，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵（qiandu）；陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑（bienao）指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，三棱柱，平面，四棱錐為陽(yáng)馬，且，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，三棱錐中，平面，，，，.(1)求三棱錐的體積；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在點(diǎn)，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.③線面垂直證明線線垂直1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，為的中點(diǎn)，(1)若，求證：．2．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知空間幾何體中，與均為等邊三角形，平面平面平面．(1)求證：；3．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（理））如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：；4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．求證：；高頻考點(diǎn)2：面面垂直①證明面面垂直1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面（1）證明：平面平面；2．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，．(1)求證：平面平面；3．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，平面，且，是中點(diǎn).(1)求證：平面平面；4．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，且.(1)求證：平面平面；②補(bǔ)全面面垂直條件1．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)．(1)在上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段上的一點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，并說(shuō)明理由；3．（2022·寧夏·銀川一中三模（文））如圖，四邊形為正方形，若平面，，，．(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面，請(qǐng)說(shuō)明理由；4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三梭柱中，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．（1）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③面面垂直證明線面垂直1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如圖，四邊形是正方形，平面平面，，，，．(1)證明：平面平面；2．（2022·吉林·三模（理））如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點(diǎn)，．(1)求證：平面；3．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是正三角形，平面平面.(1)證明：平面；4．（2022·重慶八中高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，平面平面．(1)證明：平面；高頻考點(diǎn)3：異面直線所成角1．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線為出所成的角為（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，若，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四面體中，為的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2022·山西·高一階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐，底而是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)相等且為4，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（2022·河北邢臺(tái)·高一階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形所在平面外一點(diǎn)，且，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正切值為_(kāi)_____．6．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正四面體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.高頻考點(diǎn)4：直線與平面所成角①定義法核心知識(shí)點(diǎn)1定義法（如右圖）：直線與平面所成角定義：平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；具體操作方法：①在直線上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線；②連接斜足與垂足；③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.1．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，底面，且，，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____．2．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在矩形中，，點(diǎn)為CD的中點(diǎn)（如圖1），沿將△折起到△處，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正切值為_(kāi)__________.3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）等腰直角三角形的斜邊在平面內(nèi)，若與所成的角為，則斜邊上的中線與所成的角為_(kāi)_______．4．（2022·河北廊坊·高三階段練習(xí)）在三棱錐中，底面，，，，則與平面所成角的正切值為_(kāi)_____．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為_(kāi)_______．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，是的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)____________②等體積法求垂線段法核心知識(shí)點(diǎn)等體積法求垂線段法(如右圖）①利用等體積法求垂線段的長(zhǎng)；②1．（2022·浙江金華第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，正四棱錐棱長(zhǎng)均為1，為正四面體，點(diǎn)及點(diǎn)在平面兩側(cè)，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_______．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，且，則與平面所成角的正弦值為_(kāi)_.3.（2021·陜西·西安中學(xué)高二期中（理））如圖，在斜三棱柱中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，平面.已知，.(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值.高頻考點(diǎn)5：二面角①定義法核心知識(shí)點(diǎn)1、定義法在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.1．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））長(zhǎng)方體中，，，則二面角為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(diǎn)(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）若以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在中，的面積是的面積的2倍，沿將翻折，使翻折后平面，此時(shí)二面角的大小為（

）A． B． C． D．②三垂線法核心知識(shí)點(diǎn)三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：①第一垂：過(guò)點(diǎn)向平面引垂線（一般是找+證，證明）②第二垂：在平面中，過(guò)點(diǎn)作,垂足為③第三垂：連接（解答題需證明）1．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，其對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正切值．2．如圖，在三棱錐中，，，平面平面．（1）求證：：（2）求的長(zhǎng)度；（3）求二面角的正切值3．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，圓柱的側(cè)面積為，，．(1)求三棱錐的表面積；(2)求二面角的大?。?．（2022·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，平面，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．(1)若，求證：平面；(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．③垂面法核心知識(shí)點(diǎn)垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，面交棱于點(diǎn)，則就是二面角的平面角.1、設(shè)是二面角內(nèi)一點(diǎn)，到面的距離、分別為8和5，且，求這個(gè)二面角的大小.2、空間的點(diǎn)到二面角的面，及棱的距離分別是4,3，，求二面角的大小3．（2021·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）在二面角內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)作于，于，若，則二面角的大小為_(kāi)_________.4．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）如果二面角的平面角是銳角，空間一點(diǎn)到平面、和棱的距離分別為、4和，則二面角的大小為_(kāi)______________.④射影面積法（）核心知識(shí)點(diǎn)射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，則二面角的正切值為_(kāi)__________.2.正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面所成的二面角的余弦值。高頻考點(diǎn)6：空間距離①直接法（找+證）1．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在三棱錐中，，平面．(1)求證：平面平面；(2)若，是的中點(diǎn)，求到平面的距離．2．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一期中）如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且.(1)求證：平面；(2)若，求到平面的距離.3．（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，為直角三角形，，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，且．(1)求證：面面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．②等體積法1．（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，是圓柱的一條母線，