銳角三角函數(shù)（培優(yōu)篇）-人教版九年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練

文檔來源網(wǎng)絡整理侵權刪除專題28.4銳角三角函數(shù)（培優(yōu)篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，與相交于點P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE為∠ABC的平分線.利用尺規(guī)在?ABCD中作圖，作圖痕跡如圖所示，AF交BE于點F，連接FD，則FD的長為（

）A．3 B．3 C．5 D．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于點D，則cosA=（

）A． B． C． D．4．如圖，四邊形為矩形，點為邊一點，將沿折疊，點落在矩形內的點處，連接，且，的正弦值為，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中點，連接AE，，P是AD邊上一動點，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點處，當是直角三角形時，PD的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中當最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．7．如圖，正方形ABCD的邊長為1，取AB中點E，取BC中點F，連接DE、AF，DE與AF交于點O．連接OC，則OC的值為（

）

A． B．1 C． D．8．如圖，菱形ABCD的四個頂點均在坐標軸上，對角線AC、BD交于原點O，于E點，交BD于M點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點N，若，則ME的長為（

）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸和軸上，已知對角線．．是邊上一點，過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，若將沿翻折后，點恰好落在上的點處，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．10．在正方形中，，點E是邊的中點，連接，延長至點F，使得，過點F作，分別交、于N、G兩點，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．如圖，在矩形中，點在邊上，于點，若，則的值為________．12．如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點，垂足為，若，，則的長為______．13．如圖，已知點，點為直線上的一動點，點，，于點，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當?shù)闹底畲髸r，的值為________．14．如圖，在菱形紙片ABCD中，，，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長為__________．15．已知A是雙曲線在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限，已知點C的位置始終在一函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)解析式為__________________．16．如圖所示，，，于點B，點D是線段BC上一個動點，且于點D，，連接CE，則CE長的最小值是______．17．如圖，在矩形中，，，對角線，交于點，點是邊上一動點．將沿翻折得到，交于點，且點在下方，連接．當是直角三角形時，的周長為_______________________．18．如圖，E為正方形ABCD邊AB上一動點（不與A重合），，將繞點A逆時針旋轉得到，再將沿直線DE折疊得到．下列結論：①連接AM，則；②連接FE，當F、E、M三點共線時，；③連接EF、EC、FC，若是等腰三角形，則；④連接EF，設FC、ED交于點O，若EF平分，則O是FC的中點，且；其中正確結論的序號為__________．三、解答題19．如圖，在平面直角坐標系中，已知，點P為線段外一動點，且．點B為x軸上一點，現(xiàn)在以B為中心，將順時針旋轉至，連接．（1）求證：為等邊三角形；（2）當軸，時，求的長；（3）當點B的坐標為時，求線段的最大值（直接寫出結果即可）．20．如圖，在中，點是邊上的動點，點是的中點，，垂足為，，垂足為，連接，.（1）求證：：（Il）若，，連接，求周長的最小值.21．如圖1，矩形ABCD，點E在射線AB上，將沿ED翻折，使得點A與點G重合，連接AG交DE于點F．(1)求證：．(2)如圖2，若點G落在BC邊上，且，求BE的長．(3)如圖3，點P為BG中點，連接AP，，點E在射線AB上運動過程中，求AP長的最大值．22．定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準平行四邊形”，例如：凸四邊形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為準平行四邊形．(1)如圖（1）A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°，延長BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求證：四邊形AQBC是準平行四邊形；(2)如圖（2），準平行四邊形ABCD內接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半徑為5，AB＝6，求四邊形ABCD的面積；(3)如圖（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四邊形ABCD是準平行四邊形，且∠BCD≠∠BAD，求BD長的最大值．23．已知拋物線（b，c為常數(shù)）的圖象與x軸交于，B兩點（點A在點B左側）．與y軸相交于點C，頂點為D．(1)當b=2時，求拋物線的頂點坐標；(2)若點P是y軸上一點，連接BP，當PB=PC，OP=2時，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個交點B的坐標為，對稱軸交x軸于點E，點Q是線段DE上一點，點N為線段AB上一點，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．24．已知：如圖，在中，，cm，cm，為邊上的高，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為cm/s；同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為cm/s．設運動時間為．解答下列問題：當為何值時，；當中點在上時，求的值；設四邊形的面積為，求與的函數(shù)關系式，并求最小值；是否存在某一時刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案1．D【分析】取格點，連接、，設網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，先證得，求得，再根據(jù)題意證得即可求解．解：取格點，連接、，設網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【點撥】本題考查了網(wǎng)格問題中解直角三角形，構造直角三角形是解題的關鍵．2．D【分析】通過分析作圖痕跡的除相應的作圖，可分析出圖中做的是角的角平分線，根據(jù)角平分線的性質，結合平行四邊形的性質，三角函數(shù)，即可解決本題．解：過點作于點，如題所示，由作圖痕跡可知，為的平分線，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵為的平分線，∴，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，，且，∴，∴在中，，，∴，在中，，故選D．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖，平行四邊的性質，角平分線的性質，等邊三角形的性質和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，能夠再圖中構造合適的輔助線是解決本題的關鍵．3．B【分析】過點D作DE⊥AB于E，設AB=AC=a，BC=b．根據(jù)等邊對等角，三角形內角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD和∠CBD，根據(jù)三角形外角的性質求出∠BDC，根據(jù)等角對等邊確定AD=BD=BC，并用b表示出AD的長度，進而表示出DC的長度，根據(jù)該等腰三角形的性質用a來表示AE的長度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質列出比例式，并用a表示b，進而用a表示AD的長度，最后根據(jù)余弦的定義即可求解．解：如下圖所示，過點D作DE⊥AB于E，設AB=AC=a，BC=b．∵AB=AC，∠A=36°，∴．∵BD平分∠ABC，∴．∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．∴∠BDC=∠C，AD=BD．∴AD=BD=BC=b．∴．∵DE⊥AB，∴．∵∠ACB=∠BCD，∴．∴．∴．∴用a表示b得，（舍）．∴．∴．∴．故選：B．【點撥】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，等邊對等角，等角對等邊，三角形外角的性質，等腰三角形三線合一的性質，相似三角形的判定定理和性質，余弦的定義，綜合應用這些知識點是解題關鍵．4．A【分析】過點F作FP⊥AB于點P，根據(jù)折疊的性質及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，從而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值為，設EF=25a，則PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，從而可得BP，則由相似可得，再由折疊的性質可得點E是AB的中點，從而可求得結果．解：如圖，過點F作FP⊥AB于點P由折疊的性質可得：AE=EF，∠AED=∠FED∵BE=EF∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜∴∠AED=∠EBF∵四邊形ABCD為矩形，PF⊥AB∴∠A=∠FPB=90゜∴△ADE∽△PFB∴∵在中，∴設EF=25a，則PF=24a由勾股定理求得∴BP=BE－PE=18a∴∴∴故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質等知識，關鍵是由正弦值出發(fā)設EF與PF的長，難點是證明△ADE∽△PFB．5．B【分析】根據(jù)矩形的性質得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當△APD'是直角三角形時，分兩種情況①當∠AD'P＝90°時②當∠APD'＝90°時分類計算即可；解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中點，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四邊形ABCD是矩形，，由折疊可知，PD＝PD'，設PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當△APD'是直角三角形時，①當∠AD'P＝90°時，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當∠APD'＝90°時，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當△APD'是直角三角形時，PD的值為或；故選：B．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，牢固掌握以上知識點并準確計算是解題的關鍵．6．A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當BD與該圓相切時，∠DBA最大，過C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計算出BD、CF的長，代入面積公式求解即可．解：由題意知，D點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當BD與D點的軌跡圓相切時，∠DBA取最大值，此時∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時三角形ACE的面積==6，故選：A．【點撥】本題考查了旋轉的性質、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點．此題綜合性較強，解題關鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時的位置．7．B【分析】證明△ADE≌△BAF(SAS)可得到∠AOD=90°，證明△ADO≌△DCG(AAS)，得AO=DG，同三角函數(shù)得DO=2AO=2DG，可得CG為DO的垂直平分線，可得結論．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAD=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE+∠DAO=90°，∴∠AOD=90°，∵E、F分別為AB，BC的中點，∴AE=AB，BF=BC，∵AB=BC，∴AE=BF，過C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠CDG=90°，∴∠OAD=∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG(AAS)，∴AO=DG，∵，∴DO=2AO=2DG，∴DG=OG，∴CG為DO的垂直平分線，∴OC=DC=1，故選：B．【點撥】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角函數(shù)等知識，能正確作出輔助線，構建三角形全等是解題的關鍵．8．D【分析】根據(jù)菱形的性質得出D點的坐標，利用反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點N，求出C點的坐標，進而得出；根據(jù)菱形的性質可得，，可判定是等邊三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之間的數(shù)量關系求解．解：∵菱形ABCD，∴∴D點的坐標為（0，2）設C點坐標為（，0）∵線段DC的中點N∴設N點坐標為（，1）又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點N∴，解得即C點坐標為（，0），在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等邊三角形又∵于E點，于O點∴，∵，，∴∴又∵在中，∴∴故選：D．【點撥】本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和特殊角的三角函數(shù)．菱形的性質，四邊相等，對角相等，對角線互相垂直且平分一組對角．等邊三角形的判定，有一個角為角的等腰三角形是等邊三角形．特殊角的三角函數(shù)，，，．9．D【分析】作交OB于點G，利用．．求出，，表示出，，進一步求出，，，證明，利用相似的性質求出，再利用勾股定理即可求出k的值．解：作交OB于點G，∵矩形的對角線．．∴，，即，∵E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且在反比例函數(shù)上，∴，，∵將沿翻折后，點恰好落在上的點處，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，又∵，即，解得：．故選：D【點撥】本題考查矩形性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，已知正切值求邊長及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．解題的關鍵是求出，，表示出，，，利用相似的性質求出．10．B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點撥】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．11．【分析】先證得△ABE≌△FCB，可得設，，則，分別表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質得出，解一元二次方程，根據(jù)銳角三角形函數(shù)值為正取舍即可求解．．解：在矩形中，∠BAE=90°，AEBC，AD=BC，∴∠CBF=∠AEB，∵，∴∠BFC=∠BAE=90°，∵，∴△ABE≌△FCB，,，設，，則，，，中，，，，，，，，，解得（負值舍去）故答案為：．【點撥】本題考查了求正弦，相似三角形的性質與判定，矩形的性質，全等三角形的性質與判定，解一元二次方程，根據(jù)題意建立方程是解題的關鍵．12．【分析】如圖，連接AN，過點N作NE⊥AC于E，設AB=2x，則AC=2x，根據(jù)等角的余弦列式可得CE和AE的長，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根據(jù)勾股定理計算可得MN的長．解：如圖，連接AN，過點N作NE⊥AC于E，設AB=2x，則AC=2x，∵AB的垂直平分線MN交BC邊于點N，∴AN=BN=6，BM=x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cos∠B=cos∠C，∴，即，∴∴，由勾股定理得：，，解得：（負值舍去），∴．故答案為：．【點撥】本題考查了線段的垂直平分線性質，勾股定理以及等腰三角形的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．13．【分析】設直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，根據(jù)平行線的性質得到∠ABH＝α，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論．解：如圖，設直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當BA最小時sinα有最大值；即BH最小時，sinα有最大值，即BG最大時，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當n時，BG最大值故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角函數(shù)的定義，平行線的性質，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關鍵．14．【分析】連接BE，BD，根據(jù)菱形的性質可得△BCD是等邊三角形，結合E是CD的中點，可得DE，BE，再根據(jù)CD∥AB可得BE⊥AB，利用勾股定理即可求解．解：如圖，連接BE，BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，∴△BCD是等邊三角形，∵E是CD的中點，∴DE=CE=1，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=BC×cos∠EBC=2×，∵CD∥AB，BE⊥CD，∴BE⊥AB，由折疊的性質可得AF=EF，在Rt△BEF中，，∴，即，解得，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，余弦等知識，解題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線．15．（）．解：設A（a，），∵點A與點B關于原點對稱，∴OA=OB，∵△ABC為等邊三角形，∴AB⊥OC，OC=AO，∵AO=，∴CO=，過點C作CD⊥x軸于點D，則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），設點C的坐標為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，即，解得：，在Rt△COD中，，即，將代入，可得：，故，，則，故可得：（），故答案為（）．16．3【分析】在BC上截取，構造相似，可得出，過C點作CH⊥EQ可得出即可求出CE的長解：在BC上截取，則，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．過C點作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【點撥】本題主要考查相似的性質與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．17．或【分析】根據(jù)矩形和勾股定理的性質，計算得，結合等腰三角形性質，得；結合題意，根據(jù)軸對稱的性質，得，，，；根據(jù)三角形內角和，推導得，結合三角形外角性質，得；分和兩種情況分析；根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)的性質分析，即可得到答案．解：在矩形中，沿翻折得到，，，，，分兩種情況：①如圖，當時，即∵∴∴．的周長為：；②如圖，當時，．，，．的周長為：．的周長為或．【點撥】本題考查了矩形、等腰三角形、三角形內角和、三角形外角、勾股定理、三角函數(shù)、軸對稱的知識；解題的關鍵是熟練掌握矩形、等腰三角形、三角形內角和、勾股定理、三角函數(shù)的性質，從而完成求解．18．①②③④【分析】①連接AM，延長DE交BF于J．證明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．②當F、E、M共線時，易證∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一點J，使得ME＝MJ，連接EJ，設AE＝EM＝MJ＝x，則EJ＝JD＝x，構建方程即可解決問題．③連接EC，CF，只有EF＝CE，設AE＝AF＝m，利用勾股定理構建方程即可解決問題．④連接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，連接EN，易證△BFE≌△BNE（SSS），則∠BNE＝∠BFE，證出∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，得出∠OCD＝∠ODC，得出OC＝OD，證出∠OFD＝∠ODF，得出OF＝OD＝OC，即O是FC的中點，設AE＝AF＝n．根據(jù)tan∠CFD＝tan∠EDA，構建方程即可解決問題．解：①如圖1中，連接AM，延長DE交BF于J．由旋轉的性質得：△BAF≌△DAE，∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，∴∠BJE＝90°，∴DJ⊥BF，由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，∴DE垂直平分線段AM，∴AMBF，故①正確，②如圖2中，當F、E、M共線時，∵AE＝AF，∠BAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一點J，使得ME＝MJ，連接EJ，∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，∴∠JED＝∠JDE＝∠MJE＝22.5°，∴EJ＝JD，設AE＝EM＝MJ＝x，則EJ＝JD＝x，則有x+x＝4，∴x＝4﹣4，∴AE＝4﹣4，故②正確，③如圖3中，連接EC，CF，∵∠CEF＞∠CBF＞90°，△FEC是等腰三角形，∴EF＝CE，設AE＝AF＝m，則有：2m2＝42+（4﹣m）2，∴m＝4﹣4或﹣4﹣4（舍棄），∴AE＝4﹣4，故③正確，④如圖4中，連接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，連接EN，則∠DAC＝∠ACD＝∠BDC＝∠BDA＝45°，∠AEN＝45°，∴AN＝AE＝AF，∠BEN＝135°，則BF＝BN，EF＝EN，易證△BFE≌△BNE（SSS），則∠BNE＝∠BFE，∵∠AFE＝45°＝∠DAC，∴EF∥AC，∴∠CFE＝∠ACF，∴∠OCD＝45°+∠ACF，∵∠BEN+∠BDA＝180°，∴D、B、E、N四點共圓，∴∠BNE＝∠BDE，∵EF平分∠BFC，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，∵∠ODC＝45°+∠BDE，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∵∠OCD+∠OFD＝∠ODC+∠ODF，∴∠OFD＝∠ODF，∴OF＝OD＝OC，即O是FC的中點，設AE＝AF＝n．∵∠FDC＝90°，OF＝OC，∴OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF，∴tan∠CFD＝tan∠EDA，∴，∴n＝2﹣2或﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，故④正確．故答案為：①②③④．【點撥】此題考查了旋轉變換的性質，翻折變換的性質，正方形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)、四點共圓等知識，解題的關鍵是學會學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．19．（1）見分析；（2）；（3）5【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質和等邊三角形的判定解答即可；（2）由勾股定理求得PB=4，再根據(jù)正切定義求得，進而可證得，，由勾股定理求解即可；（3）分情況討論，當點P在第一象限時，將△APM繞點P順時針旋轉60°到△DPB，連接AD，根據(jù)旋轉的性質可求得AM的最大值，當點P在第四象限時，同理求得AM的最大值即可．解：（1）∵線段繞B點順時針旋轉得到線段，∴，且，∴為等邊三角形．（2）∵，，∴PA=2，∵軸，∴∠PAB=90°，AB=，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴．（3）如圖，當點P在第一象限時，將△APM繞點P順時針旋轉60°到△DPB，連接AD，則△DPB≌△APM，∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，∴△APD是等邊三角形，∴AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，當點D在BA的延長線上時BD最長，∵B（5，0）,A（2，0），∴AB=3，∴BD≤AD+AB=2+3=5，即AM的最大值為5；當點P在第四象限時，同理可得AM的最大值為5，綜上，AM的最大值為5．【點撥】本題考查等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、旋轉的性質、勾股定理、三角形的三邊關系等知識，解答的關鍵是熟練掌握相關知識的聯(lián)系和運用，利用旋轉構造全等三角形，學會轉化和分類討論的思想解決問題．20．（Ⅰ）見分析；（Ⅱ）周長最小值為.【分析】（Ⅰ）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DM＝EM＝AP＝AM，再由等邊對等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，最后結合三角形外角的性質即可證明；（Ⅱ）根據(jù)∠B＝45°，∠C＝75°以及第（Ⅰ）問的結論可知△MDE為頂角為120度的等腰三角形，過點M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函數(shù)值可將△MDE的周長表示為（2＋）×AP，進而將周長最小轉換為AP最短的問題，根據(jù)垂線段最短即可求解．解：（Ⅰ）∵，，為中點，∴.∴，.∴，.∴.（Ⅱ）過點作于，由（Ⅰ）知，∴，.∵，，∴.由（Ⅰ）知.∴.∴∴.周長.∴當最短時，周長最小.此時.當時，∵，..∴周長最小值為.【點撥】本題考查了直角三角形的性質，垂線段最短，正確的用AP表示出三角形MDE的周長是解題的關鍵．21．(1)見分析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質，得到DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，結合DF=DF，證明△ADF≌△GDF即可．（2）證明△ADF∽△EDA，求得DF、AE=EG的長，再利用三角函數(shù)，確定DC=AB=BG，再利用勾股定理計算即可．（3）連接BD，取BD的中點O，連接OA，OP，根據(jù)中位線定理計算OP=3，根據(jù)勾股定理計算BD=，利用直角三角形斜邊上的中線性質，計算AO=，根據(jù)兩點之間線段最短，得到AO+OP≥AP，計算最大值即可．解：（1）∵沿ED翻折，使得點A與點G重合，AG交DE于點F，∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，∵DF=DF，∴△ADF≌△GDF，∴AF=FG．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAE=90°，∵沿ED翻折，使得點A與點G重合，AG交DE于點F，∴∠AFD=90°，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴，∴，∴，解得DF=2或DF=-3（舍去），故DE=DF+EF=3,∴AE===EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠B=90°，∵沿ED翻折，使得點A與點G重合，AG交DE于點F，∴∠EGD=90°，∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，∴∠DGC=∠BEGO，∴sin∠DGC=sin∠BEG，∴，∴，∴DC=AB=BG，∴BE=AB-AE=，∴，解得BG=或BG=0（舍去），∴BE=．（3）如圖，連接BD，取BD的中點O，連接OA，OP，則OP是△BDG的中位線，∴OP=．∵四邊形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，∴BD=，∵AO是直角三角形ABD斜邊BD上的中線，∴AO==，根據(jù)兩點之間線段最短，得到AO+OP≥AP，當A、O、P三點共線時，AP最大，最大為．【點撥】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，三角形的相似，勾股定理，三角函數(shù)，線段最短原理，三角形中位線定理，熟練掌握折疊性質，三角形相似，三角函數(shù)，勾股定理是解題的關鍵．22．(1)證明見分析(2)49(3)2+2【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的判定定理可得是等邊三角形，可得，由，可證四邊形AQBC是準平行四邊形；（2）連接BD，由準平行四邊形的性質可得，，得出BD是直徑，利用勾股定理可得，，結合圖形，四邊形ABCD的面積為與的面積和，求解即可得；（3）根據(jù)題意作，然后作的外接圓⊙O，過點O作OE⊥AC于E，OF⊥BC延長線于F，利用三角形內角和定理及銳角三角函數(shù)解三角形可得，，根據(jù)四邊形ABCD是準平行四邊形，得出，由等邊對等角及三線合一性質可得，，利用銳角三角函數(shù)可得，，由矩形的判定可得四邊形CFOE是矩形，，利用勾股定理得出，結合圖形可得：當點D在BO的延長線時，BD的長有最大值，求解即可得．（1）證明：∵，∴，，∵四邊形APBC是圓的內接四邊形，∴，∴，∵，