第五章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

第五章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)要求：1、 掌握描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量法、直角坐標(biāo)法和自然法。2、 能求平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。當(dāng)物體的幾何尺寸和形狀在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不起主要作用時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如空中飛行的飛機(jī)，當(dāng)研究其飛行軌跡時(shí)，可將其簡(jiǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)物體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同時(shí)，只需分析其中某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就夠了，這樣的物體也可簡(jiǎn)化為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立的應(yīng)用意義，也是研究一般物體運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。本章研究點(diǎn)的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)，研究點(diǎn)相對(duì)某一個(gè)參考系的幾何位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度等。§5-1矢量法矢徑r——自參考系坐標(biāo)原點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M所作矢量矢徑r隨時(shí)間變化的函數(shù)。運(yùn)動(dòng)方程 r=r(t)以矢量表示的形式運(yùn)動(dòng)軌跡：矢徑r的矢端曲線速度 v=dr/dt矢徑r對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿軌跡的切線，并與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致。單位m/s加速度 a=dv/dt=d2r/dt2 速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，矢徑r對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。單位m/s2§6-2直角坐標(biāo)法建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)任意瞬時(shí)在空間的位置可用矢徑表示，還可用三個(gè)直角坐標(biāo)表示。直角坐標(biāo)與矢徑之間的關(guān)系：r(t)=xi+yj+zk運(yùn)動(dòng)方程：x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)軌跡方程：消去運(yùn)動(dòng)方程中的時(shí)間to*.*r=xi+yj+zk速度：v=dr/dt=dx/dti+dy/dtj+dz/dtk=vxi+vyj+vzkdzv=一zdt,dxdydzv=一zdt,v=一v=一xdtydt， ，xa=ai+aj+xa=ai+aj+ak,速度的大小和方向余弦：v=\Vx+Vy+Vzcos(v,i)=vx/v,cos(v,j)=vy/v,cos(v,k)=vz/v加速度:加速度的大小和方向余弦:*2+a2+a2_dv _d2x_dv _d2y_dv _d2zxdt dt2，ydtdt2，zdtdt2cos(acos(a，i)=aJa，cos(a，j)=ay/a，cos(a，k)=az/a例1、已知橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，OC=例1、已知橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，OC=AC=BC=l，MC=a，件切t。求：動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度與加速度。解：1、動(dòng)點(diǎn) M坐標(biāo)系 oxy運(yùn)動(dòng)方程：x=(l+a)cos中=(l+a)cos切ty=(l-a)sin中=(l-a)sin切t軌跡方程：消去運(yùn)動(dòng)方程中的時(shí)間t得：x12、3、(2=1 橢圓4、速度：Vx=dx/dt=-(l+a)刃sin如，Vy=dy/dt=(l-a)刃cos如,速度的大小和方向余弦：v速度的大小和方向余弦：v=:V2+V2I=①".12+a2-2alcos2①t((l-a)cos①t-(l+a)sin①tcoscos#,0=j)=、.:l2+a2—2alcos2①、.:l2+a2—2alcos2①tcos#， Icos(“，icos(“，i)=(l+a)cos①taa \!l2+a2+2alcos2wtcos(aa —(l—a)sin①t=,j)=a 12+a2+2alcos2?t5、加速度a=dv/dt=d加速度的大小和方向余弦：aK+。2*2罰2+a2+2alcos2?x/dt2=-(l+a)切2cos切，ay=dvy/d加速度的大小和方向余弦：aK+。2*2罰2+a2+2alcos2?例2、正弦機(jī)構(gòu)如圖所示，。曲柄OM長(zhǎng)為r繞O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，它與水平線間的夾角為w=3t+0,①為常數(shù)，已知?jiǎng)訔U上A,B兩點(diǎn)間的距離為b,求A和B的運(yùn)動(dòng)方程及B點(diǎn)的速度和加速度。

解，A,B兩點(diǎn)都作直線運(yùn)動(dòng)。取坐標(biāo)軸如圖所示，則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x=b+rsin甲，x=rsin甲即A,B的運(yùn)動(dòng)方程為x=b+rsin(①t+0),x=rsin(①t+0)B點(diǎn)的速度和加速度=r①cos(tot+0)=-r④=-r④2sin(tot+0)=-④2xBB周期為T周期為T，例3、如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時(shí)，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度a=-kv,初速度為v0，求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。dv7?.?a=一=-kvdt解.J空=-kftdtVov oVln—=-kt,v=ve-kto由v=空=ve-kt—fXdx=ftve-ktdtdt0 x0.V,x=X+危(1—e-kt)

§6-3自然法自然法一一利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立孤坐標(biāo)及自然軸系來(lái)描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。一、弧坐標(biāo)S在軌跡上任取一點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的一側(cè)為正，另一側(cè)為負(fù)，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可由孤坐標(biāo)確定。運(yùn)動(dòng)方程：s=f(t)(-)二、自然軸系ni主法線切線單位矢T一沿切線指向與弧坐標(biāo)正向一致密切面一M］無(wú)限接近動(dòng)點(diǎn)M，將M1點(diǎn)的切線單位矢T1移至1M點(diǎn)，與M點(diǎn)的切線單位矢T確定的平面。ni主法線法平面一與M點(diǎn)的切線垂直的平面主法線一密切面與法平面的交線主法線單位矢n一沿主法線，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。副法線一過(guò)動(dòng)點(diǎn)垂直于切線與主法線的直線副法線單位矢b b=TXnrrArAtAsAtrrArAtAsAtdsdt速度的大小等于動(dòng)點(diǎn)的弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的T階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值。ds dsV|—limAt項(xiàng)—limAt項(xiàng)dt是代數(shù)量，以v表示：v=dtdsdt>0時(shí)，則s值隨時(shí)間增加而增大，點(diǎn)沿軌跡正向運(yùn)動(dòng);dsdt<0時(shí)，點(diǎn)沿軌跡負(fù)向運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)值表示速度的大小，正負(fù)號(hào)表示點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。dsV=VT=dtT四、點(diǎn)的切向和法向加速度dv dv dra————t+v—dt dt dt上式右端兩項(xiàng)都是矢量，第一項(xiàng)反映速度大小的變化，第二項(xiàng)反映速度方向的變化。dv1、aT=dtT——切向加速度，反映速度大小的變化顯然aT沿軌跡的切向，因此稱切向加速度。dv dv當(dāng)dtN0時(shí)，aT指向軌跡正向，當(dāng)dtV0時(shí)，aT指向軌跡負(fù)向。2、an=(v2/p)n——法向加速度，反映速度方向的變化

|△T||△T|e△中v—?dú)?出——它反映了速度方向T的變化。dTds °dTv =v2——a=dsdtds當(dāng)^s—0時(shí)，△中一0,△t與t垂直，△在密切面內(nèi)，指向軌跡內(nèi)凹的一側(cè)，即沿主法線的正向。d At A? 1一——=lim =lim n=一np—ds As項(xiàng)As ast0As p—曲率半徑v2naT=dv/dt，an=v2/p，ab=0?.?an=p〃，大?。篴n=(v2/p)，方向：沿主法線，指向曲線內(nèi)凹的一側(cè)3、全加速度：anaT=dv/dt，an=v2/p，ab=0，所以全加速度也在密切面內(nèi)，加速度沿副法線方向的分量為零。全加速度的大小：a=氣駕*弋方向，與法線間夾角的正切：tg0=aT/an當(dāng)aT=恒量，動(dòng)點(diǎn)作曲線勻變速運(yùn)動(dòng)當(dāng)aT=0，動(dòng)點(diǎn)作曲線勻速運(yùn)動(dòng)。例、已知：列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)。如初速度為零，經(jīng)過(guò)2min后，速度到達(dá)54km/h。求：列車起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。解：列車作曲線加速運(yùn)動(dòng)，取孤坐標(biāo)如上圖。v=atv15m/sa=—= =0.125m/s2tt120s由at常數(shù),v0=0，則1、t=0,a=0,a=a=0.125m/s22、t=120s,a=—=0.281m/s2

nRa=「a2n+"21=0.308m/s2例、已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm，求：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。解：點(diǎn)的速度和加速度沿x、y、z軸的投影分別為x=8cos4t,x=-32sin4ty'=-8sin4t,y=-32cos4tz=4,Z=0v=v2+v2+v2=偵80刀/s,'xyZa=xa2+a2+a2=32m/s2,Xyz.八v（*;麗）2m/sa=v=0,a=一= ,Ia=."2+a2=32m/s2,p=2.5m例、已知：半徑為r的輪子沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)（稱為純滾動(dòng)），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角甲=以+0為常值），如圖所示。求用直角坐標(biāo)和孤坐標(biāo)表示的輪緣上任一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法向加速度。M點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，取直角坐標(biāo)系如圖所示。由純滾動(dòng)條件OC=MC=爬=r^tx=OC—OMsin甲=r(ot—sinot)1y=OC-OM