專題講座五知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)

1．(2015·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2015年3月29日在鄭州舉行的“中國鄭開國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動．抽獎盒中裝有六個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志．搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回)，若抽到的兩個球都印有“鄭開馬拉松”標(biāo)志即可獲獎，并停止取球；否則繼續(xù)抽取．第一次取球就抽中獲一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾個印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘美麗綠城行’標(biāo)志的概率是eq\f(4,5).”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)；(2)若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．解：(1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A，則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))，由對立事件的概率：P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(4,5)，即P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，解得n＝3.故盒中印有“鄭開馬拉松”的小球有3個．(2)由已知，兩種球各三個，故η的可能取值分別為1，2，3，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＋eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,6))·eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,5)，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝eq\f(3,5).則η的分布列為：η123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,5)所以E(η)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).2．(2015·東北四市聯(lián)考)在海島A上有一座海拔1km的山峰，山頂設(shè)有一個觀察站P.有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午11∶00時，測得此船在島北偏東15°、俯角為30°的B處，到11∶10時，又測得該船在島北偏西45°，俯角為60°的C處．(1)求船的航行速度；(2)求船從B到C的行駛過程中與觀察站P的最短距離．解：(1)設(shè)船速為xkm/h，則BC＝eq\f(x,6)km.在Rt△PAB中，∠PBA與俯角相等為30°，∴AB＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3).同理，在Rt△PCA中，AC＝eq\f(1,tan60°)＝eq\f(\r(3),3).在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝eq\r(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)－2×\r(3)×\f(\r(3),3)cos60°)＝eq\f(\r(21),3)，∴x＝6×eq\f(\r(21),3)＝2eq\r(21)(km/h)，∴船的航行速度為2eq\r(21)km/h.(2)法一：作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當(dāng)船行駛到點D時，AD最小，從而PD最?。藭r，AD＝eq\f(AB·AC·sin60°,BC)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀察站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.法二：由(1)知在△ACB中，由正弦定理eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin60°)，∴sinB＝eq\f(\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2),\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(21),14).作AD⊥BC于點D(圖略)，∴當(dāng)船行駛到點D時，AD最小，從而PD最小．此時，AD＝ABsinB＝eq\r(3)×eq\f(\r(21),14)＝eq\f(3,14)eq\r(7).∴PD＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,14)\r(7)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(259),14).∴船在行駛過程中與觀察站P的最短距離為eq\f(\r(259),14)km.3．(2015·福建福州模擬)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．解：(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有(8－eq\f(t－25,1)×0.2)t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．(2)依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等價于x＞25時，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解，∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時，等號成立)，∴a≥10.2.∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．4．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年投入各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)f(n)表示前n年的純收入(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)．(1)從第幾年開始獲取純利潤？(2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？解：由題意知，每年投入的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列．則f(n)＝50n－[12n＋eq\f(n（n－1）,2)×4]－72＝－2n2＋40n－72.(1)獲取純利潤就是要求f(n)＞0，故由－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18.又n∈N*，故從第三年開始獲利．(2)①平均利潤為eq\f(f（n）,n)＝40－2(n＋eq\f(36,n)