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Question1:EntryUsetheexamplenumericalexampleinyourlecturePPT.Supposetheentrycostforfirm2,thepotentialentrant,isF.Firm1istheincumbentfirm.Pleasefindtheoptimalcapacityoffirm1underdifferentF’s.下文給出本題的一般性參考答案，并針對具體的數(shù)值例子給出解答。首先，我們介紹題目中博弈框架；然后討論Stage3中的Firm1和Firm1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，刻畫競爭均衡；然后我們討論Firm2的進入條件以及Stage1中Firm1投資K1的選擇。1:如上圖所示，博弈分成三期第一期：Firm1決定投資多少第二期 1的投資，并預(yù)期到其進入市場和不進入市場的兩種情況下的利潤第三期：如果Firm2進入市場，則兩家企業(yè)進行競爭；如果Firm2不進入市場，則只有Firm1在生產(chǎn)，F(xiàn)irm2不生產(chǎn)、獲得零利潤 競爭，從而刻畫 2進入市場得到的利潤(從而使得 2在第二期有依據(jù)和零利潤比較，1這邊的劃分跟ppt上的不而決定是否進入市場)、Firm1競爭得到的利潤。顯然，F(xiàn)irm2得到的利潤大小受到Firm1的投資K1的影響，F(xiàn)irm1可以通過在第一期改變投資額，從而影響Firm2是否進入市場，進而最大化自己刻畫競爭的前提是兩家企業(yè)此時都已經(jīng)在市場上了，需要決定各自的產(chǎn)量。此時，K1已經(jīng)給定，F(xiàn)irm1的固定成本F和投資K1都成為從沉沒成本(sunkcost)。對于Firm2，此時因為已經(jīng)進入了市場，所以利潤同樣只受到可變成本的影響，固定成本F的成為了沉沒成本。根據(jù)題目，F(xiàn)irm1在競爭中的生產(chǎn)成本為VC1=wq1 q1<

VC1=wq1+r(q1? q1>MC1=wif q1<K1MC1=w+r q1>K1類似地，對于Firm2，邊際成本為MC2=w+ 我們首先刻畫IncumbentFirm1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。在競爭中，最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是指，給定對方給定Firm2的產(chǎn)量q2，F(xiàn)irm1得到的市場需求為P=A?B(q1+q2)。這個市場需求實際上就是residualdemand。Firm2的產(chǎn)量越大，則留給Firm1的越少。我們可以求出Firm1的邊際利潤：Revenue1=P?q1=[A?B(q1+q2)]?MR1=?Revenue1=?2Bq1+(A?.從而，MR1和MC1相比較，從而決定Firm1的最優(yōu)產(chǎn)量。這邊注意到，q2的值越大，那么MR1就越小。我們現(xiàn)在給出MR1和MC1的示意圖。從圖2，橫軸為q1，縱軸為P。可以看出根據(jù)不同的q2的值，紅色線MR1和邊際成本MC1的相交可能有三種情況。最優(yōu)的產(chǎn)量q1由兩者的比較決定，MR>MC，產(chǎn)量應(yīng)該提升；MR<MC，第一種情況，即panela:此時，當(dāng)q2較大的時候，MR1較低，MR1和MC1相交于w的水平，即此時最優(yōu)的產(chǎn)量q1<K1。2不完全競爭中生產(chǎn)實際上只由邊際成本和邊際利潤決定，所以只需要關(guān)心邊際成2:MR1and第二種情況，即panel: 此時，當(dāng)q在特定范圍的時候，MR和MC1相交于的水平，優(yōu)的產(chǎn)量q1=1。第三種情況，即panel 此時，當(dāng)q2較小的時候，MR1較大，MR1和MC1相交于w+r的水平即此時最優(yōu)的產(chǎn)量q1>K1分第一種和第三種情況，可以分別計算出Firm11q?=–B–q2whenq1< 1q1?=–w–rB–q2whenq1> 1對于第二種情況3，最優(yōu)的產(chǎn)量就是q?=K1。這邊可以看出來，隨著q2的值從小到大，MR從高到低進行移動4，分別與MC交于第三種、第二種、第一種情況，而q11從圖中可以看出，隨著q(棕色

N)的值從小到大，最優(yōu)的q首先是在q?=––rB–q上然后處在

=––rB–q這條線上，分別對應(yīng)了上面提到的三種情況。請大家注意理解一下1的水平上，最后到q

1=K1的這種情況實際上是來自于圖2中的第二種情況。而之所以隨著q2變化，最優(yōu)的q1之所以會有轉(zhuǎn)折，MR1隨著q2在移動，并與不連續(xù)的MC13:Bestresponsefunctionoffirm3第一種情況實際上是，q2>q?2(K1)；第三種情況實際上是，q2<q?2(K1)；第二種情況實際上是q2夾在一個特定值范圍內(nèi)。這邊的q?2是跟K1相關(guān)的一個門檻值。這邊反映了，q2的值越大，那么MR1就越小。4觀察MR1的表達式，是q2的減1在圖4中，注意到當(dāng)K1足夠高的時候，F(xiàn)irm1的最優(yōu)反應(yīng)曲線可以不與q?=––rB–q相交，甚至K1大于L點的情況也可能發(fā)生。此時，市場的大小使得Firm2的產(chǎn)出一般在其產(chǎn)能之內(nèi)能夠14:Bestresponsefunctionoffirm1;whenK1ishigh接下來我們刻畫Firm2的最優(yōu)反應(yīng)曲線。由于Firm2的邊際成本沒有不連續(xù)，同時MR2在給定q1的時候也是連續(xù)的。所以我們有2q?=––B1 2我們可以將兩家企業(yè)的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)畫在同一張圖上，其中深藍色的線

0R是 縣。根據(jù)均衡的定義，顯然兩條最優(yōu)反應(yīng)曲線的交點就是均衡點。注意到我們可以更加5:Nash般地考慮均衡的情況，如同圖6所示。如果K1<T1，畫出Firm1的反應(yīng)函數(shù)，則倆反應(yīng)函數(shù)的交點在T;類似，如果K1>V1，則反應(yīng)函數(shù)的交點在V;如果K1大小在上述二者之間，則反應(yīng)函數(shù)的交點在TV上。所以綜上所述，如果存在均衡，那么均衡點一定在TV上。至此為止，我們已經(jīng)刻畫清楚第三階段的競爭。同時，在上述過程中，我們注意到實際Firm1通過選擇K1，對自己的反應(yīng)函數(shù)進行調(diào)整，從而選擇第三階段的均衡具體是TV上的哪一點6:NashEntrantdecision:Firm2接下來我們對第二階段Firm2如何下決定進行刻畫。因為考慮的是Firm2在最開始決定自己是否進入市場，所以此時，我們實際上要考慮的是加上沉沒的固定成本F，F(xiàn)irm2進入市場之后能否獲得利顯然，如果Firm2不進入市場，獲得零利潤。那么Firm2進入市場的充要條件是上一個Section刻畫的均衡能夠給它帶來非負(fù)的利潤。所以，我們需要確定Firm2的最優(yōu)反應(yīng)曲線上哪一個點是它的盈虧平衡點(break-evenpoint)。之所以只需要考慮Firm2的bestresponsefunction上的點，是因為形這邊需要注意的一個是，在Firm2的最優(yōu)反應(yīng)曲線上的點，越靠近R0的時候，F(xiàn)irm2的利水平越高。這是因為，越靠近R0，F(xiàn)irm1的給定產(chǎn)量越小，F(xiàn)irm2B∈R,T現(xiàn)在我們假設(shè)break-evenpoint在T點左邊某處B，則由上述性質(zhì)知，只有第三階段的均衡是在R0B上某處，F(xiàn)irm2在第二階段觀察并做決定的時候，才覺得未來是有非負(fù)的利潤，并進入市場。然而，從上一個section的分析知道，無論K1的值是多少，均衡點只可能出在TV上，所以，第二階段的Firm2知道這點，明白自己進入市場之后，市場的均衡不可能在R0B上，也就是不可能有非負(fù)的利潤5。故而，F(xiàn)irm2第二階段不會進入市場。作為聰明的Firm1，在第一期的時候，對上面的情況了若指掌(完全信息)。具體來說，F(xiàn)irm1知道，無論他的K1怎么選擇，F(xiàn)irm2在第二期的時候都不會進入市場。所以，F(xiàn)irm1在第三階段可以成為(肆無忌憚的)廠商，進行定價和生產(chǎn)，獲得利潤。從考慮了所有成本的N0N上來看0我們知道的產(chǎn)量是N點。這是因為在N點，q2=0，可以從Firm1最優(yōu)反應(yīng)曲線的含義可以知道，此時Firm1就是廠商，產(chǎn)量就是產(chǎn)量。我們這邊是從第一期來看，NN可以理解為考慮了所有成本的線，而L0L可以理解為只考慮了可變成本的線，所以產(chǎn)量是N而不是L。綜上所述，均衡05這邊我們“不可能”的說法，好像帶有一點信息不對稱的意味，可能會引起誤會。實際上，在第二階段Firm2做決定的時候，K1的值已經(jīng)決定了，從而兩個企業(yè)在第三階段的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)也決定了，均衡點也是確定的，是一個“點”。Firm2在第二階段做決定的時候，是判斷這個第三階段決定下來的均衡點，從第二階段來看，是不是有非負(fù)的利潤。假定這個均衡點是TV上某個點，我們從它比B更靠右邊，知道這個點在第二階段是負(fù)利潤的，從而Firm2在第二階段是不會選擇進入市場，而是選擇不進入市場并且獲得零利潤結(jié)果是，F(xiàn)irm1在第一期可以隨便選擇一個比N小的K1，并在第三期選擇生產(chǎn)N的產(chǎn)量6。Firm2則注意到，形成這個均衡本質(zhì)上是因為，F(xiàn)太高了，以至于第二階段m2的盈虧平衡點在T的左邊7。這個故事告訴我們，如果進入成本或者固定成本很高，則在位廠商輕輕松松就可以憑借著“一個市場太小”嚇走可能的進入者。因為進入者知道，即使進入了市場，兩家企業(yè)競爭，掙到的錢還不夠付當(dāng)初下的血本。在位廠商甚至不用在第一期做什么前期投資。7:SuperhighB∈(T, 沒那么的情形：當(dāng)F 稍微小一點，使得盈虧平衡點位于TS之間的時候。此時，F(xiàn)irm1的K1的作用就明顯起來了。假設(shè)盈虧平衡點是圖8中的B點。此時，如果K1的值小于T1諾競爭均衡點應(yīng)該是T點，在B點左邊，所以Firm2如果在第二期進入市場，可以獲得正的利潤。如果K1的值位于TB之間，那么第三期的競爭的均衡點是K1和TB的交點，在B點左邊，F(xiàn)irm2如果在第二期進入是市場，同樣可以獲得正的利潤，所以Firm2同樣會選擇進入市場。如果K1的值在BV之間，則第三期競爭的均衡點是K1和BV的交點，此時交點在B的右側(cè)，所以第二期的時候Firm2預(yù)期到第三期的均衡位置，就不會進入市場。如果K1的值在VL之間，甚至比V更大，那么同樣由最優(yōu)反應(yīng)曲線交點可知，第三期競爭的均衡點是V，同樣在B點的右側(cè)，故而企業(yè)Firm2不會進入市場。從上面的分析來說，通過K1的選擇，F(xiàn)irm1可以決定是否讓Firm2進入市場。下面我們就分這兩如果rm1決定讓rm進入市場，則K1的選擇應(yīng)該在B的左側(cè)。此時，第三期均衡在T點或者TB上的某一點，具體由1的值給定。那么在讓rm2進入市場的前提下，rm應(yīng)該選擇哪一點作為均衡點，才能夠?qū)崿F(xiàn)(條件利潤的最大化呢？我們這邊需要利用到talbergcompetitin的性質(zhì)。注意到rm這邊的選擇時在irm的最優(yōu)反應(yīng)曲線進行的挑選，可以理解為是一個irm1是Leaer的talberggam。rm1是Leaer是因為，是irm1具有主動權(quán)，通過1實際上先決定6注意到，這邊選擇生產(chǎn)N實際上是由第三階段Firm1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)決定的：當(dāng)Firm2不進入市場，此時有q2=0，而Firm1對此的7上，F(xiàn)越高，則盈虧平衡點越靠左8這個說法可能不太嚴(yán)格，因為F對于Firm1了自己的產(chǎn)量q1，然后均再由Firm2的最優(yōu)反應(yīng)曲線給出。我們知道，作為一個Stackelberggame，Leader的產(chǎn)量和產(chǎn)量M1是一樣的。這個重要的性質(zhì)可以在之前上課的PPT中找到證明過程。由于我們這邊的需求和生產(chǎn)函數(shù)都是線性的，所以利潤函數(shù)是二次的，進而我們知道Firm1在最優(yōu)反應(yīng)曲線上挑選均的時候，均點越接近S點(即M點的產(chǎn)量)，則利潤越高。這些分析告訴我們，在要讓Firm2進入市場的前提下，F(xiàn)irm1只能在TB這個線段上挑選均，從而為了最大化利潤，會挑選B點。此時，F(xiàn)irm1為了實現(xiàn)B點的均，只需要在第一期的時候，選擇K1，由第三期的最優(yōu)反應(yīng)曲線自然就導(dǎo)致了B點的均。此時，均時，F(xiàn)irm1獲得不高于Stackelbergleader狀態(tài)下的利潤，F(xiàn)irm2如果Firm1決定不讓Firm2進入市場，這時候只要讓Firm2知道，萬一進入市場之后帶來的均在B點右側(cè)，那么Firm2在第二期就不會選擇進入市場。所以不讓Firm2進入市場，F(xiàn)irm1只需要將K1的值設(shè)置在高于B的位置就可以了。如果Firm2不進入市場，那么Firm1唯一一家企業(yè)，此時，它最事情就是實現(xiàn)的產(chǎn)量M和利潤，因為這相比于其他任何情況，都是利潤最大的。如果他設(shè)置了K1位于BS上任意某點，那么Firm2不會進入市場，且他可以選擇生產(chǎn)M，從而實現(xiàn)利潤的最大化。如果他設(shè)置了K1位于SV上，根據(jù)圖9的反應(yīng)曲線9，F(xiàn)irm2產(chǎn)量為q2=0，那么Firm2的最優(yōu)選擇是生產(chǎn)B1，這個值從整體上（從第一階段的角度來看）偏離了產(chǎn)量M，從而利潤是小于前面的情況(K1位于BS)。這邊注意到，K1的選擇除了嚇走了Firm2之外，同時還決定了Firm2在競爭中的反應(yīng)曲線，進而決定了第三期的Firm1的最優(yōu)產(chǎn)量。即通過這個反應(yīng)曲線我們可以知道第三期Firm2不在，也就是q2=0時，根據(jù)Firm1最優(yōu)反應(yīng)曲線,Firm1會在第三期選擇反應(yīng)曲線和橫軸的交點作為最優(yōu)產(chǎn)量。所以，如果K1小于M但是大于B的時候，雖然嚇走了Firm2，F(xiàn)irm1仍然不會選擇M最優(yōu)產(chǎn)量(此時，F(xiàn)irm1的最優(yōu)反應(yīng)曲線和橫軸的交點不是M)。綜上，F(xiàn)irm1在不讓Firm2進入市場的前提下，會在第一期選擇生產(chǎn)K1=M，并且在第三期的確生產(chǎn)M10。8:Whenbreakevenbetween9忽略掉B?，這個跟B點沒關(guān)系，截圖沒截這邊有 mitment的感覺在里面。K1相當(dāng)于告訴別人我在第三期要生產(chǎn)多少，但是具體是不是這樣不一定。舉個反例，我在第一設(shè)置K1(BS)，這時候，在第一期我naive的覺得Firm2不會進入市場，所以到了第三期我生產(chǎn)M就全局上最大化自己的利潤了；但是事實上，到了第三期，由于此時最優(yōu)反應(yīng)曲線和橫軸的交點在M點的稍左邊，也就是Firm1并不會真的生產(chǎn)M，因為此時在交點上多生產(chǎn)一單+9:WhenK1liesbetween綜上所述，如果F的值使得Firm2的盈虧平點在TS之間，那么Firm1第一期的最優(yōu)選擇是K1B∈(S,V接下來，我們討論如果F的值使得Firm2的盈虧平點在SV之間的情形觀察圖1，我們同樣分類討論rm1決定是否讓irm2進入市場。如果rm1決定讓irm2進入市場，只需要將1設(shè)置為比B點小即可。如果1<T，則競爭的均是T；如果K1∈[T,B，則競爭的均是TB和irm1的最優(yōu)反應(yīng)線的交點。上述兩個情況，說明均點在TB上選擇，類似前文，這邊形成了一個類talbergcompetitio，rm的最優(yōu)產(chǎn)量是M，所以為了形成這個產(chǎn)量，irm1在第一期投資1=M，M。現(xiàn)在假設(shè)，如果Firm1決定不讓Firm2進入市場，那么Firm1需要設(shè)置K1>B，使得競爭的均點對Firm2是沒有利潤的。那么問題來了，K1應(yīng)該設(shè)置多少呢？如果K1=K#，如同圖11所示，在BV之間，那么這就決定了第三期Firm1的最優(yōu)反應(yīng)曲線。同樣，我們知道Firm2不會進入市場，此時q2=0，所以Firm1的最優(yōu)選擇是生產(chǎn)Q。從第一階段的視角上面來看，這個Q越接近產(chǎn)量M，則利潤越高。所以最優(yōu)的K1應(yīng)該剛好設(shè)置為B的值11。如果K1∈(VL)，則我們類似前面的推理，通過K1與橫軸的交點這個均點的比較，可以知道最優(yōu)的K1是V的水平。如果K1是大于V的，那么第三階段Firm1的最優(yōu)選擇是V點的生產(chǎn)(贅述一下，此時Firm2不進入，所以q2=0，根據(jù)Firm1的最優(yōu)反應(yīng)曲線，生產(chǎn)點就是V)。比較上面三個K1的選擇情況，由利潤函數(shù)的連續(xù)性和單調(diào)性知道還是K1=B+lim=0的地方，在嚇走Firm2的前提下利潤最高。上述irm1讓irm2分別產(chǎn)生了兩個各自條件下的最大利潤talbergLeader的利潤和市場上只有一家企業(yè)的、B處的利潤。這兩個利潤的大小只有在數(shù)值情況下才能夠具體給出，從而決定rm1到底是否讓irm2進入市場，進而決定1的具體大小。但是，我們?nèi)匀荒軌蚪o出irm1的選擇和B點位置的大致關(guān)系。具體來說，如果B點越接近S，則選