相似應(yīng)用（學(xué)生版+解析版）

相似應(yīng)用

一.中考真題

1.如圖，在矩形紙片ABCQ中，AD=10,AB=8,將4?沿AE翻折，使點(diǎn)B落在B'處，

AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段E和上的點(diǎn)。處，EF為折痕，連

接4C.若CF=3,貝Ijtan/B'AC'=.

2.如圖，在矩形紙片ABC。中，將48沿翻折，使點(diǎn)4落在8c上的點(diǎn)N處，BM為折

痕，連接MN；再將CQ沿CE翻折，使點(diǎn)。恰好落在MN上的點(diǎn)F處，CE為折痕，連

接EF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,若AZ）=8,AB=5,則線段PE的長(zhǎng)等于.

3.如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形ABCD的各條邊上,AB=EF,FG=2,GC=3.有

1

以下四個(gè)結(jié)論：①NBGF=NCHG：②△8FG絲△￡＞，￡：；③tan/BFG=/；④矩形EFGH

的面積是4百.其中一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

4.如圖，在菱形ABC￡>中，AB=6,ZDAB=6Q°,AE分別交8C、BD于點(diǎn),E、F,CE=

2,連接CF,以下結(jié)論:①AAB尸且△CBF；②點(diǎn)E到A8的距離是2g；③tan/QCF=孥；

?/\ABF的面積為9W.其中一定成立的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在

橫線上）.

5.將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)8',

折痕為￡凡已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)8',F,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相

似，那么BF的長(zhǎng)度是（）

A.—B.2C.一或2D.一或2

757

6.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E（-4,2）,F（-1,-1）,以原點(diǎn)0為位似中心，把△￡：人?

縮小為F'0,且F'。與△EFO的相似比為1：2,則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐

標(biāo)為（）

A.(2,-1)B.(8,-4)

C.(2,-1)或(-2,1)D.(8,-4)或(-8,4)

7.如圖,在AABC中，中線BE、CD相交于點(diǎn)0,連接DE,下列結(jié)論：（璞S&DOE1

2S&COB2

ZD0E點(diǎn)4DOE

其中正確的個(gè)數(shù)有（)

4BOBS〉A(chǔ)DC6

C.3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖，在△A8C中，NA4c=90°,AB=AC=V2,點(diǎn)。、E分別在BC、AC上（點(diǎn)。

不與點(diǎn)8、C重合），且NAOE=45°,若△ADE是等腰三角形，則CE

9.如圖，菱形A8CQ中，EFA.AC,垂足為點(diǎn)”，分別交A。、A3及C3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)區(qū)

則A”：AC的值為（）

1121

A.一B."C.一D.-

4655

10.如圖，BD=CD,AE：DE=l：2,延長(zhǎng)BE交AC于況且A尸=4om則AC的長(zhǎng)為（）

C.12cmD.8cm

11.如圖，在直角三角形ABC中（NC=90°）,放置邊長(zhǎng)分別3,4,x的三個(gè)正方形，則

x的值為

12.如圖，各邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，設(shè)△B2AC1面積為S”△

3302c2的面積為$2，…，△&019。2018c2018的面積為52018>則52018

三.練習(xí)（共8小題）

13.如圖，在RtZVIBC中，NC=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，BC

=4,AB=8,當(dāng)△ABC和△AEO相似時(shí)，AE的長(zhǎng)為.

°為位似中心，相似比為今把△所°

14.己知：如圖，￡(-4,2),F(-1,-1),以

的坐標(biāo)為（）

B.(8,-4)或(-8,4)

C.(2,-1)D.(2,-1)或(-2,1)

15.如圖，在△ABC中，中線BE,CO相交于點(diǎn)。，連接。E,下列結(jié)論:

①患/嗖碟焉@S=3

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

16.如圖，在等邊△ABC中，。為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且NAQE=60°,BD

=3,CE=2,則△ABC的邊長(zhǎng)為（）

A.9B.12C.15D.18

17.如圖，在平行四邊形A3CZ）中，M是AB上一點(diǎn)，且AM：MB=2：3,AC與QM交于

點(diǎn)N,若的面積是1,則平行四邊形A8CZ）的面積是（）

A.16.5B.17.25C.17.5D.18.75

18.如圖，已知AB、CD、EF都與8。垂直，垂足分別是從D、尸，且AB=1,CD=3,

19.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,棱長(zhǎng)為1的立方體的表面展開圖有兩條邊分別在

AC,BC上，有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊AB上，則aABC的面積為

B

20.如圖，/XABC中，ZC=90°,AC=BC=2,取BC邊中點(diǎn)E,作E￡>〃A8,EF//AC,

得到四邊形ED4F,它的面積記作Si；取BE中點(diǎn)E”作EiG〃F8,E\F\//EF,得到四

邊形EiOiFQ,它的面積記作S2.照此規(guī)律作下去，則52016=.

四.求線段長(zhǎng)（共9小題）

21.如圖，在矩形A8CD中，48=4,BC=3,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)尸在邊CO上，點(diǎn)G、

H在對(duì)角線AC上.若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（）

EF2FC

22.如圖，矩形回。中，NBEF=90。，點(diǎn)E是AO中點(diǎn)，靛=?則^的值為（）

23.如圖，矩形ABCO中，AB=4,4。=6,點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接EP,將沿PE折疊得到△FPE,連接CE,CF,當(dāng)△ECF為直角三角形時(shí),

24.已知正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F分別在A。，DC±,AE=DF=1,BE與AF

相交于點(diǎn)G,點(diǎn)丹為的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長(zhǎng)為.

25.如圖，矩形A8CO中，/ABC的平分線交4。邊于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)，連接EF若

AB=S,且￡尸平分NBED,則AD的長(zhǎng)為.

26.如圖，正方形48CO的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,/AC8的角平分線分別交A3、

27.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，點(diǎn)石是邊A￡＞中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CD上，且尸￡_L

則△OEG的面積是（）

11

A.-B.-c.一D.-

5678

28.如圖，在平行四邊形A3CO中，A8=12,49=8,NA8C的平分線交CO于點(diǎn)F,交

AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,CGLBE,垂足為G,若EF=2,則線段CG的長(zhǎng)為.

B

29.如圖，E,G,F,〃分別是矩形A8CO四條邊上的點(diǎn)，EFA.GH,若A8=2,8C=3,

則EF：GH=

30.如圖，矩形ABC。中，A8=8,BC=4.點(diǎn)E在邊A8上,點(diǎn)、F在邊CD上，點(diǎn)G、H

在對(duì)角線AC上.若四邊形EGF”是菱形，則AE的長(zhǎng)是（）

A.2V5B.3^5C.5D.6

31.如圖，在矩形ABC。中，尸為8c邊的中點(diǎn)，E、尸分別為48、8邊上的點(diǎn)，若BE=

2,CF=3,Z￡P(guān)F=90°,則EF的長(zhǎng)為（）

A.5B.2V6C.2V5D.4

32.如圖，在矩形48CZ)中，AB=8,BC=6,連接8￡),點(diǎn)M,N分別是邊8C,OC上的

動(dòng)點(diǎn)，連接MN,將△CMN沿MN折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P始終落在8。上，當(dāng)△PBM

為直角三角形時(shí)，線段MC的長(zhǎng)為.

33.矩形ABCD與CEFG如圖放置，點(diǎn)8,C,E共線，點(diǎn)C,D,G共線，連接A尸，取

AF的中點(diǎn)H,連接G”.若BC=EF=2,CD=CE=\,則G”=

BCE

34.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4.點(diǎn)P是邊4c上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PQ〃AB交BC于點(diǎn)Q,。為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)8。平分/ABC時(shí),AP的長(zhǎng)度為（）

13131313

35.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線4c與BD相交于點(diǎn)O,NACB的平分線分別交AB、BD

D.8-4V2

36.如圖，在nABCD中，AB=6,AD=9,的平分線交BC于點(diǎn)E,交OC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)凡BGLAE,垂足為G,BG=4^2,則△（7￡：尸的周長(zhǎng)為（）

A.8B.9.5C.10D.11.5

37.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,以BC為邊作等邊△8CM,連接AM并延長(zhǎng)交

A.2>/3—2B.2V5-2C.V3-1D.V5-1

六.四邊形綜合（共12小題）

38.如圖，在正方形ABCC中，aAEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CQ邊上，高AG與正方形

的邊長(zhǎng)相等，連接3。分別交A￡,AF于點(diǎn)M,N,下列說(shuō)法：

?ZEAF=45°；

②連接MG,NG,則△MGN為直角三角形；

③△AMNs"FE；

④若BE=2,FZ）=3,則MN的長(zhǎng)為1g.

其中正確結(jié)論的是.

39.如圖，在正方形ABC。中，是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交A。于點(diǎn)E、

F,連接3￡＞、DP,3￡＞與CF相交于點(diǎn)H,給出下列結(jié)論：

①8E=24E；②△DFPSABPH；③△PFDS^PDB；?DP2=PH'PC

其中正確的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

40.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)尸是8C邊上一點(diǎn)，連接AF,以AF為對(duì)角線作正方形AEFG,

邊FG與正方形ABC。的對(duì)角線AC相交于點(diǎn)“，連接。G.以下四個(gè)結(jié)論:

①/EA8=/GAO；②XAFCs"AGD；?DG1.AC；@2AE2=AH'AC.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

41.如圖，已知E,F分別為正方形ABC。的邊AB,BC的中點(diǎn)，A尸與OE交于點(diǎn)則

下列結(jié)論：①NAME=90°,?ZBAF=ZEDB,③AM=鉀尸，?ME+MF=其

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

42.如圖，在矩形ABC。中，AD=2yf2AB.將矩形ABC3對(duì)折，得到折痕用M沿著C/W

折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重

合，折痕為MP,此時(shí)點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

①△CMP是直角三角形

②AB=&BP

③PN=PG

?PM=PF

43.如圖，正方形A8c。的邊CO在正方形ECGF的邊CEE。是EG的中點(diǎn)，/EGC的

平分線G4過(guò)點(diǎn)D,交.BE于點(diǎn)、H,連接0",FH,EG與FH交于點(diǎn)M,對(duì)于下面四個(gè)

結(jié)論:

①G//_LBE；②BG=EG；③△MFG為等腰三角形；④DE：A8=l+&,

其中正確結(jié)論的序號(hào)為

E

BG

44.如圖所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,8G分別交AE,A尸于M,N,

下列結(jié)論：?AF±BG；②BN=^NF；③］彳1=J；④S四邊形CGNF=四邊形ANGO.其中正

確的結(jié)論的序號(hào)是（）

B.②④C.①②D.③④

45.如圖，在矩形ABC￡＞中，AB=V2,E是BC的中點(diǎn)，若AEJ_8￡）于點(diǎn)F,M是。F的中

點(diǎn)，連接CM、AM,則下列正確的結(jié)論是（）

?FC=CD

②NDBC=NFAM

1

@EF=^CM

④矩形ABCD的面積是2

A.①②③B.②③④C.①?@④D.①④

46.將一張正方形紙片ABC。對(duì)折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上

一點(diǎn)，將△（?￡石沿OE所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕MN上的點(diǎn)F處，連接AF,

BF,BD,則得下列結(jié)論:

1

①△49F是等邊三角形；@tanZ￡BF=2-V3;③SA4>/=生正方形ABCD;?BF=DF-EF.

其中正確的是.

47.如圖，把兩個(gè)全等的矩形ABC。和矩形CEFG拼成如圖所示的圖案，連接AF交CG于

點(diǎn)何，將CG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡交于點(diǎn)從若8C=2AB=4.有

以下四個(gè)結(jié)論：①/C”=/C￡4；②△A8CS/\MGF；③tan/M4O=東④陰影部分

的面積為：兀-20.其中一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

48.如圖，在矩形ABC￡＞中，NA3C的平分線與AB交于E,點(diǎn)尸在OE的延長(zhǎng)線上，NBFE

=90°,連接AF、CF,CF與A8交于G.有以下結(jié)論:

?AE=BC

?AF=CF

③BF2=FG,FC

?EG-AE=BG'AB

D.4

49.如圖，在菱形ABC。中，ZB=60°,BC=6,E為BC中點(diǎn),尸是A8上一點(diǎn)，G為

AD上一點(diǎn),且B尸=2,ZF￡G=60°,EG交AC于點(diǎn)”，關(guān)于下列結(jié)論，正確序號(hào)的

選項(xiàng)是（）

①ABEFsACHE,@AG=1,③EH=W，?S^BEF=3S^AGH

A.①②B.①②③C.①②④D.①?@

七.練習(xí)（共11小題）

50.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,BE=EC,將正方形邊CD沿QE折疊到DF,

延長(zhǎng)EF交AB于G,連接DG,現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①△ADG絲△FDG；②GB=2AG；

③AGDESBEF；④S&BE尸號(hào)在以上4個(gè)結(jié)論中，其中一定成立的是（把所

有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

51.如圖，在矩形ABCD中，AD=V2AB,NBA。的平分線交BC于點(diǎn)E,￡>"_LAE于點(diǎn)

連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交所于點(diǎn)O,證明下列結(jié)論①乙4E￡>=ACED,

②△ABEgZVl“。，③”尸=A8,?H是BF中點(diǎn)，@BC-CF=2HE.其中正確的結(jié)論

有.

52.在矩形A8C。中，P為CD邊上一點(diǎn)（DP<CP）,ZAPB=90°.將△AOP沿4P翻折

得到△AQ'P,PD的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BN//MP交DC于點(diǎn)N,連接AC,

分別交PM,PB于點(diǎn)E,F.現(xiàn)有以下結(jié)論：

①連接則AP垂直平分￡>。；

②四邊形尸MBN是菱形；

@AD2=DP'PC；

EF5

④若AO=2OP,則不=一；其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

AE9---------

53.如圖，正方形4BC。和正方形CEFG中，點(diǎn)。在CG上，8c=1,CE=3,CH_LAF于

點(diǎn)H,那么CH的長(zhǎng)是（）

C|也D-|歷

54.如圖，正方形ABCQ的邊長(zhǎng)是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點(diǎn)O,并分別與邊CD,

BC交于點(diǎn)F,E,連接4E,下列結(jié)論：?AQ.LDP；?OA2=OE^OP；③SAAOD=S四邊形

OECF；④當(dāng)3P=1時(shí)，tan/Q4E=^其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

55.如圖，已知正方形ABC￡>,點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4重合），且AM<

AB,ACBE由△D4M平移得到，若過(guò)點(diǎn)E作即，AC,，為垂足，則有以下結(jié)論：

①在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形CEMD可能成為菱形；

②連接無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有。加=近”仞；

③點(diǎn)M位置變化，連接，。，使得NDHC=60°時(shí)，2BE=DM；

④無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，一定大于135°；

以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.

56.如圖，菱形ABCO中，AB=AC,點(diǎn)￡、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且4E=B尸，連接

CE、AF交于點(diǎn)H,連接。H交AC于點(diǎn)0.則下列結(jié)論①4AB尸也△C4E,②/AHC=

120°,@AH+CH=DH,④4￡>2=。。.。，中，正確的是,

'H

B

57.如圖，在矩形A8CD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形4BC。，使8點(diǎn)落在點(diǎn)P

處，折痕為EC,連接AP并延長(zhǎng)AP交CO于F點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)CP交A。于Q點(diǎn).給

出以下結(jié)論:

①四邊形AEC尸為平行四邊形;

③△FPC為等腰三角形；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

C.3D.4

58.如圖，在正方形ABC。中，。是對(duì)角線AC與B。的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M

不與點(diǎn)B,C重合），過(guò)點(diǎn)C作CN_L。例交AB于點(diǎn)N,連接0例、ON,MN.下列五個(gè)

結(jié)論：①ACNBgADMC；②ON=OM；③ON_LOM；④若AB=2,則SAOMN的最小值

是1；⑤AM+CM2=MN2.其中正確結(jié)論是；（只填序號(hào)）

59.已知：如圖，在菱形4BCO中，尸為邊AB的中點(diǎn)，。尸與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G,過(guò)G

作GELA。于點(diǎn)E,若AB=2,且N1=N2,則下列結(jié)論中一定成立的是（把

所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

@DF1.AB-,②CG=2GA；?CG=DF+GE；④S四邊形BFGC=6一1.

60.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)P是A8上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、F,交A。、BC

于點(diǎn)M、N.下列結(jié)論：

?/\APE^/\AME；②PM+PN=AC；@PE2+PF2=PO2；@/^POF^/\BNF；⑤當(dāng)APMN

s/vlM尸時(shí)，點(diǎn)p是48的中點(diǎn).

其中正確的結(jié)論有.

念￥________

BN'C

相似應(yīng)用

參考答案與試題解析

中考真題（共4小題）

1.如圖，在矩形紙片ABC。中，A￡>=10,48=8,將A2沿AE翻折，使點(diǎn)8落在B'處，

AE為折痕；再將EC沿E尸翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)C處，E尸為折痕，連

接AC.若CF=3,貝iJtan/BZC'=".

4-

【解答】解：連接4凡設(shè)CE=x,則C'E=CE=x,BE=B'E=\O-x,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=S,A￡>=BC=10,ZB=ZC=ZD=90°,

：.AE1=AB2+BE1=S2+(10-X)2=164-20x+),

EF1=C￡2+CF2=?+32=7+9,

由折疊知，NAEB=NAEB',ZCEF=ZCEF,

'：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC/EF=180°,

：./AEF=NAEB'+NC'EF=90°,

：.AF2=AE1+EF1=\64-20x+/+/+9=2?-20x+173,

,：AF2=AD1+DF2=102+(8-3)2=125,

A2?-20x+173=125,

解得，x=4或6,

當(dāng)x=6時(shí)，EC=EC=6,BE=B'E=\0-6=4,EC'>B'E,不合題意，應(yīng)舍去,

：.CE=C'E=4,

：.B'C'=B'E-CE=(10-4)-4=2,

,:NB'=/8=90°,AB'=A8=8,

：.tanZB,AC=籍=|=*

另一解法：由折疊知，/AEB=NAEB',NCEF=NC'EF,

VZAEB-^ZAEBf+ZCEF+ZC1EF=180°,

AZAEF=ZAEBr+NC'EF=90°,

:?NAEB+/CEF=90°,

???四邊形A8CD是矩形，

：.ZB=ZC=90°,3c=40=10,

AZBAE+ZA￡B=90°,

???NBAE=/CEF,

：.AABE^AECF,

.ABBE

??~~=~~,

ECCF

設(shè)則3E=8E=x,CE=CE=iO-xf

*8x

??,

10-x3

解得，x=4或6,

：.BE=B'E=4,CE=CE=6,

或BE=8'E=6,CE=CE=4,

"：B'E>CE,

:.BE=B'E=6,CE=CE=4,

CE=6-4=2,

由折疊知，AB'=AB=8,/B'=/B=90°,

./C"，B'C21

..tanZBAC=7^=百=中

解法三：設(shè)BE=a,EC=b,則“+6=10.由于△AB'EsZ\￡C凡

所以AB'：EC=EB'：CF,即8：b=a：3,而=24.B'C=a-b,

因?yàn)?a-b)2=(a+b)2-4ah=100-96=4.

所以EC'=2.

所以tan/B/C'=1.

故答案為

4

2.如圖，在矩形紙片A8CQ中，將AB沿8M翻折，使點(diǎn)A落在8c上的點(diǎn)N處，8M為折

痕，連接MN；再將C。沿CE翻折，使點(diǎn)。恰好落在MN上的點(diǎn)尸處，CE為折痕，連

20

接E尸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，若AO=8,43=5,則線段PE的長(zhǎng)等于；.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PG_LFN,PHLBN,垂足為G、H,

由折疊得：ABMW是正方形，AB=BN=NM=MA=5,

CD=CF=5,ND=NCFE=90°,ED=EF,

.?.NC=MZ)=8-5=3,

在Rtz^FNC中，F(xiàn)N=[52_32=4,

/.MF=5-4=1,

在RtZ\MEF中，設(shè)EF=x,則ME=3-x,由勾股定理得，

12+(3-x)2=x2.

解得：x=l，

■:NCFN+NPFG=90°,NPFG+NFPG=90°,

:.NCFN=NFPG,

又4FGP=ZCNF=90°

：./\FNCs叢PGF,

：.FGtPG：PF=NC：FN：FC=3：4：5,

設(shè)FG=3m,則PG=4m,PF=5m,

:.GN=PH=BH=4-3m,HN=5-(4-3/M)=\+3m=PG=4m,

解得：m—1,

；?PF=5/n=5,

：.PE=PF+FE=5+^5=手20,

故答案為：g.

3.如圖，矩形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的各條邊上,AB=EF,FG=2,GC=3.有

以下四個(gè)結(jié)論：①NBGF=NCHG；②△BFG絲△￡>"￡：；?tanZBFG=|；④矩形EFGH

的面積是4百.其中一定成立的是①②④.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

【解答】解：VZFG/7=90°,：.ZBGF+ZCGH=90°.

又,：NCGH+NCHG=9Q°,

：.ZBGF=ZCHG,故①正確.

同理可得/C”G.

：.NBGF=NDEH.

又，F(xiàn)G=EH,

:.△BFG妾XDHE,故②正確.

同理可得△AFE絲△CHG.

：.AF=CH.

易得ABFGSACGH.

設(shè)GH、EF為a,

BFFGBF2

CGGH3a

：,AF=AB-

：,CH=AF^.

在RtACG”中,

■:CG/CH2=GH'

A32+(?-1)2=?2.解得a=2技:.GH=2遮.:.BF=a-/瓜

在RtZ\BFG中，?.?cos/BFG=^=孚，:"BFG=30°.

.".tanZBFG=tan30°=空，故③錯(cuò)誤.

矩形EFGH的面積=FGXG"=2X2b=473,故④正確.

故答案為：①②④

4.如圖，在菱形ABC3中，AB=6,ND4B=60°,AE分別交BC、BD于點(diǎn)E、F,CE=

2,連接CF,以下結(jié)論:①△ABF且△CBF；②點(diǎn)E到A8的距離是28；③tanNDCF=享；

④△ABF的面積為其中一定成立的是①②③(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填

在橫線上).

【解答】解：：菱形ABCD,

：.AB=BC=6,

VZDAB=60°,

：.AB=AD=DB,ZABD=ZDBC=60°,

在△ABF與aCB尸中,

AB=BC

乙ABF=乙FBC,

、BF=BF

:.△ABF/XCBF(SAS),

???①正確；

過(guò)點(diǎn)E作EGLA5,過(guò)點(diǎn)F作MHLAB,如圖:

■:CE=2,8C=6,ZABC=\20°,

：.BE=6-2=4f

EGLAB,

：.EG=2V3,

??.點(diǎn)E到A8的距離是2次，

故②正確；

?：BE=4,EC=2,

:?5ABFE：S△尸EC=4：2=2：1,

?,SAABF：S/\FBE~3：2,

/.AABF的面積為=|SAABE=|X|X6X2V3=當(dāng)饗

故④錯(cuò)誤；

1

TS—DB=2x6x3V3=9V3,

?c_cc-afo18-_27x^3

??dADFC=^^ADB-、2ABF=3-----g—―1'

??01,27/3

?S&DFC=2x6xFM=-g—

.9乃

??2/W——g-,

MF竿9

：?DM-二k弓，

921

：.CM=DC-DM=6-^=甘,

?,/八二萬(wàn)_時(shí)?_等_3乃

..tanZDCF=兩=互=—

~5

故③正確；

故答案為：①②③

相似性質(zhì)(共8小題)

5.將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B',

折痕為EF,已知A8=AC=3,8c=4,若以點(diǎn)B',F,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相

似，那么8尸的長(zhǎng)度是()

D.—或2

7

【解答】解：設(shè)則FC=4-x,

：AB=AC=3,

:.NB=/C,

「△ABC按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,

當(dāng)NB'FC=NB,而NC公共，則AB'FC^/\ABC,

當(dāng)/FB'C=/B,則△FB'3XAB3所以NFB'C=NC,

：.FB'=FC,即x=4-x,解得x=2,

12

即若以點(diǎn)次，F(xiàn),C為頂點(diǎn)的三角形與△4?C相似，8尸的長(zhǎng)度為2或

故選：D.

6.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E(-4,2),尸(-1,-1),以原點(diǎn)0為位似中心，把

縮小為F'0,且△&F'。與△EFO的相似比為1：2,則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐

標(biāo)為()

A.(2,-1)B.(8,-4)

C.(2,-1)或(-2,1)D.(8,-4)或(-8,4)

【解答】解：?.?點(diǎn)E(-4,2),以0為位似中心，按2：1的相似比把△EF。縮小為△

E'F'0,

；.點(diǎn)E'的坐標(biāo)是：(-X(-4),-x2),[-1x(-4),-1x2],

222Z

即（-2,1）或（2,-1）.

故選：C.

1例SADOE1

7.如圖，在△ABC中，中線相交于點(diǎn)0,連接。E,下列結(jié)論:=亍②不；=5；

③祭=:④靄其中正確的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：???5七、CD是aABC的中線，即。、E是AB和AC的中點(diǎn),

：.DE是△ABC的中位線,

1DE1

DE=fBC,即—=一,

2BC2

DE//BC,

ADDE0E1

?.△DOEsXCOB,—=—

ABBC0B~2

S^DOEDE、i

?-----------=(——)2=

?SACOBBC4'

故①正確，②錯(cuò)誤，③正確;

設(shè)△OO石的面積為x,則△BOC的面積為4%

?DE〃BC,

DEOD1

9BC~OC~2

S〉BOD_￡￡_1

S&BOC°C2

.△80。的面積為2x,

.△BCD的面積為6x,

.AD=BDf

?S^ACD—SABCD—6x,

故④正確.

S〉A(chǔ)DC6%6

故選：C.

8.如圖，在△4BC中，NB4c=90°,AB=AC=<2,點(diǎn)、D、E分別在BC、AC上（點(diǎn)。

不與點(diǎn)B、C重合），且NAOE=45°,若是等腰三角形，則CE=2-近最邑.

【解答】解：：點(diǎn)。不能與B點(diǎn)重合，

.*.AO=AE不能成立，

（或：：/A￡>E=45°,AD=AE,

則N4ED=AOE=45°,從而NZME=90°,

即8與。重合，這與已知條件矛盾）.

①當(dāng)AE、OE為腰，即AE=OE時(shí)（如圖1）,

圖1

ZEAD^ZEDA=45°,此時(shí)，A。平分NR4C,

二。為8c邊的中點(diǎn)（“三線合一”性質(zhì)），

且E也為AC邊的中點(diǎn)，

/.CE=AE=孝；

②當(dāng)AO、QE為腰，即AQ=OE時(shí)（如圖2）,

圖2

VZBAC=90°,AB=AC=2,

/.ZB=ZC=45°.

VZ/ADE=45°,

：.ZB=ZC=ZADE.

VZADB=ZC+ZDACfZDEC=ZADE+ZDAC,

???NADB=/DEC.

?.,NA￡)C+NB+N8AO=180,N￡)￡C+NC+NCDE=180°,

JZADC+ZB+ZBAD=/DEC+NC+/CDE,

：.ZEDC=ZBADf

：.AABDsADCE

此時(shí)AD與DE為對(duì)應(yīng)邊,

:.△ABDQ&DCE,DC=AB=V2,

CE=BD=BC-CD=2-y[2.

因此CE的長(zhǎng)為2—或或立.

2

故答案為：2-夜或日.

9.如圖，菱形A8CO中，EFLAC,垂足為點(diǎn)”，分別交A￡＞、AB及C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、

則AH：AC的值為（）

1121

A.-B.-C.-D.-

4655

【解答】解:連接BO,如圖,

???四邊形A8CO為菱形,

：.ACLBD,AD=BC,AD//BC,

VEF1AC,

：.EF//BD,

而DE//BF.

???四邊形BDEF為平行四邊形,

:.DE=BF,

由AE：FB=1：2,設(shè)4E=x,FB=DE=2x,BC=3x,

：.AE：CF=x：5x=\：5,

9：AE//CF,

：.XAEHsRCFH,

：.AH：HC=AE：CF=1：5,

：.AH：AC=l：6.

故選：B.

產(chǎn)En

尸^c

10.如圖，BD=CD,AE：DE=1：2,延長(zhǎng)BE交AC于F，,且AF=4cm,則AC的長(zhǎng)為()

A

Bnc

A.24cmB.20cmC.12ctnD.Scm

【解答】解：過(guò)。作。G〃B/交AC于G,貝IJZXAEFS/XAQG,

■:BD=CD,

:?CG=GF,AF：FG=AE：ED=\：2,

'：AF=4ctnf

：.FG=2AF=Scm=CG,

：.AC=AF^-FG+CG=20cm.

故選：B.

Jk

BDC

II.如圖，在直角三角形45。中(NC=90°),放置邊長(zhǎng)分別3,4,尤的三個(gè)正方形，則

x的值為7

【解答】解：如圖???在RIA48C中NC=90°,放置邊長(zhǎng)分別3,4,x的三個(gè)正方形,

J△CEF^△OME^/\PFN,

：.OE：PN=OM：PF,

VEF=x,M0=3,PN=4,

I.OE=x-3,PF=x-4,

J(x-3)：4=3：(x-4),

/.(x-3)(x-4)=12,

Axi=O(不符合題意，舍去)，X2=7.

故答案為：7.

12.如圖，各邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，設(shè)△歷。1。面積為S],△

,,.2018A/3

B3D2c2的面積為S2，…，△&019。2018c2018的面積為§2018，則S2018=

2019

【解答】解：邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則以，B?,B3,…8〃在一

條直線上，作出直線312.

]

，SA4B1G=2x2xV3=V3,

VZBICIB2=60°,

：.AB\//BiC\,

是等邊△，且邊長(zhǎng)=2,

??D\C\=1：1,

，S|=字,

同理:B2B3：4c2=1：2,

/.B2D2：D2c2=1：2,

.C273

..S2=.，

同理：BnBn+\:ACn=l：〃，

??B〃Dn:DnQn=1:〃，

?c_九點(diǎn)

n+l,

.2018V3

,.3c2018——2019-,

13.如圖，在RtZXABC中，/C=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，BC

「8V3

=4,AB=8,當(dāng)△4BC和△AE0相似時(shí)，AE的長(zhǎng)為2g或一.

-------------3-----

【解答】解：VZC=90°,AB=8,BC=4,

：.AC=7AB2—BC2=V82-42=4百，

為A8的中點(diǎn)，

：.AD^98=4,

...以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似,

40AE

①若△ADEs/\ABC,則一=一,

ABEC

4AE

即一=-產(chǎn),

8473

解得AE=2b，

AEAD

②若△AE￡)S2\ABC,則一=一,

ABAC

AE4

即一=-p，

84遮

解得AE=竽,

綜上所述，AE的長(zhǎng)為2百或-

故答案為：2b或-

1

14.已知：如圖，￡(-4,2),F(-1,-1)?以O(shè)為位似中心，相似比為3，把△EF0

的坐標(biāo)為（)

B.(8,-4)或(-8,4)

C.(2,-1)D.(2,-1)或(-2,1)

【解答】解：（-4,2）,位似比為1：2,

.?.點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐標(biāo)為（2,-1）或（-2,1）.

故選：D.

15.如圖，在△ABC中，中線BE,C￡＞相交于點(diǎn)0,連接?！?下列結(jié)論:

^DE1_nnr1OE_1

①一=一;@-=—;@

BC27sAeOB2ABOBS“OE3

其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)