北師大數(shù)學(xué)必修二講義第一章立體幾何初步11

1.1簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)實(shí)物操作，增強(qiáng)直觀感知．2.能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對(duì)空間物體進(jìn)行分類(lèi)．3.會(huì)用語(yǔ)言概述球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．4.會(huì)表示有關(guān)幾何體以及柱、錐、臺(tái)的分類(lèi).【主干自填】幾種簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體【即時(shí)小測(cè)】1．思考下列問(wèn)題(1)鉛球和乒乓球都是球嗎？提示：鉛球是球，乒乓球不是球，鉛球是實(shí)心球，符合球的定義，乒乓球是空心球，不符合球的定義．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓嗎？提示：它們的底面都不是圓，而是圓面．2．用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺(tái)提示：C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得截面都是圓面．3．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是()A．①② B．②③C．①③ D．②④提示：D依據(jù)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知，②④正確，①③錯(cuò)誤．例1有下列說(shuō)法：①球是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓；④空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球．其中正確的序號(hào)是________．[解析]球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的，因此①正確；如果球面上的兩點(diǎn)連線經(jīng)過(guò)球心，則這條線段就是球的直徑，因此②錯(cuò)誤；球是一個(gè)幾何體，平面截它應(yīng)得到一個(gè)面而不是一條曲線，所以③錯(cuò)誤；空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是一個(gè)球面，而不是一個(gè)球體，所以④錯(cuò)誤．[答案]①類(lèi)題通法透析球的概念(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體，球體與球面是兩個(gè)不同的概念，用一個(gè)平面截球得到的是圓面而不是圓．(2)根據(jù)球的定義，籃球、排球等雖然它們的名字中都有一個(gè)“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])下列命題：①球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；②球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；③空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成球面．其中正確的命題序號(hào)為_(kāi)_______．答案③解析①中作球的截面，在截面圓周上任取四點(diǎn)，則這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，所以①錯(cuò)；②球面上任意三點(diǎn)一定不能共線，所以②錯(cuò)；③由球的定義可知③正確.例2下列命題：①用一個(gè)平面去截圓錐得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱的任意兩條母線平行；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體叫圓錐．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3[解析]本題主要考查圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念，關(guān)鍵理解它們的形成過(guò)程．①用平行于圓錐底面的平面去截圓錐才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；②以直角梯形垂直于底邊的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；③、④顯然都正確．[答案]C類(lèi)題通法透析幾種旋轉(zhuǎn)體的概念解決此類(lèi)問(wèn)題一般是利用有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的定義，所以必須對(duì)各種旋轉(zhuǎn)體的概念在理解的基礎(chǔ)上熟記．圓柱、圓錐、圓臺(tái)它們都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的，圓柱和圓臺(tái)有兩個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面是半徑相等的圓面，圓臺(tái)的兩個(gè)底面是半徑不等的圓面，圓錐只有一個(gè)底面．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])下列命題中：①圓臺(tái)的母線有無(wú)數(shù)條，且它們長(zhǎng)度相同；②圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)后一定相交于一點(diǎn)；③圓臺(tái)可以看作直角梯形以其垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體；④圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面圍成的幾何體是球．正確命題的序號(hào)是________．答案①②③④解析由圓臺(tái)與球的定義可知①②③④都對(duì).例3如下圖，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是1∶4，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．[解]如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為ycm，截得的圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是xcm,4xcm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3＋y)＝eq\f(x,4x)，解此方程得y＝9，因此，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.類(lèi)題通法處理旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問(wèn)題一般要作出其軸截面，在軸截面中去尋找各元素的關(guān)系，常利用相似三角形去尋找等量關(guān)系.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是eq\r(3)，則圓錐的高與母線的長(zhǎng)分別為_(kāi)_______．答案eq\r(3)，2解析設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a＝2.由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(3)，圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長(zhǎng)為2.易錯(cuò)點(diǎn)?空間位置關(guān)系考慮不全導(dǎo)致漏解[典例]已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別是12π和16π，試求這兩個(gè)截面間的距離．[錯(cuò)解]如圖(1)，設(shè)球的球心為O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)C，O，D的球的直徑，由題意知兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，OC＝eq\r(102－62)＝8.在Rt△DOF中，OD＝eq\r(102－82)＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.故這兩個(gè)截面間的距離為2.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中由于考慮問(wèn)題不全面而導(dǎo)致錯(cuò)誤．事實(shí)上，兩個(gè)截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè)．[正解]如圖(1)(2)，設(shè)球的球心為O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)C，O，D的球的直徑，由題意知兩截面圓的半徑分別為6和8.當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，CD＝OC－OD＝eq\r(102－62)－eq\r(102－82)＝2.當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，CD＝OC＋OD＝eq\r(102－62)＋eq\r(102－82)＝14.所以這兩個(gè)截面間的距離為2或14.課堂小結(jié)1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示.2.處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想.3.重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想.1．圖1是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()答案D解析圖中給出的組合體是一個(gè)圓臺(tái)上接一個(gè)圓錐，因此平面圖形應(yīng)由一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形構(gòu)成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形．2．將一個(gè)等腰梯形繞著它較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體由下面哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成()A．一個(gè)圓臺(tái)和兩個(gè)圓錐B．兩個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓錐C．兩個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐D．一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐答案D解析把等腰梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，由旋轉(zhuǎn)體的定義可知所得幾何體．3．給出下列四個(gè)命題：①夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體；②圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)；③通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線．其中正確命題的序號(hào)是________．答案②解析①錯(cuò)誤，沒(méi)有說(shuō)明這兩個(gè)平行截面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，其他情況則結(jié)論是錯(cuò)誤的，如圖(1)；②正確，如圖(2)；③錯(cuò)誤，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線，如圖(3)．4．圓臺(tái)上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓臺(tái)，該平面自上而下分圓臺(tái)的高的比為2∶1，則這個(gè)截面的面積為_(kāi)_______．答案9π解析如下圖，把圓臺(tái)還原成圓錐，設(shè)截面⊙O1的半徑為r，因?yàn)閳A臺(tái)上底面面積為π，下底面面積為16π，所