浦東王牌暑假班上海數(shù)學(xué)暑假班晉s數(shù)列概念與簡(jiǎn)單表示法

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法【知識(shí)點(diǎn)講解】一、數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列，數(shù)列中每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)（也稱為首項(xiàng)），依此下去，通常記為Aa2,a3,…,a，…簡(jiǎn)記為｛aj.二、數(shù)列的通項(xiàng)公式1、定義：如果數(shù)列｛aj的第n項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f（n）（nEN）來(lái)表示，我們把這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.3、注意事項(xiàng)通項(xiàng)公式是數(shù)列的一種重要表示方法，但并不是所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式，并且有些數(shù)列的通項(xiàng)公1+（-1）n 〃_J0，（n為奇數(shù)）a- a-5式并非唯一.例如：81，0，1，…的通項(xiàng)公式可寫為n2，還可以寫成n〔1,（n為偶數(shù)）若已知通項(xiàng)公式，可將1，2,3,…代入，求出數(shù)列各項(xiàng)，還可以判斷某數(shù)是否為該數(shù)列的項(xiàng)及哪一項(xiàng).三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系在數(shù)列｛an｝中，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n（nGN*）都有一個(gè)數(shù)a與之對(duì)應(yīng)，因此，在函數(shù)的意義下，數(shù)列可以看成是以正整數(shù)集N*（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)匕=f（n），當(dāng)自變量n從1開始依次取自然數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為f⑴,f（2），…,f（n），…，簡(jiǎn)記為｛f（n）｝.四、數(shù)列的分類（1）根據(jù)項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限來(lái)分有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.（2）根據(jù)項(xiàng)的增減規(guī)律來(lái)分遞增數(shù)列：從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)an+1-a.遞減數(shù)列：從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)an+1-a.常數(shù)列：各項(xiàng)均相等的數(shù)列an+1-a.擺動(dòng)數(shù)列：從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于前一項(xiàng)，如：1,-1,0,3,2遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列，非單調(diào)數(shù)列有擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列等.

（3）根據(jù)任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都小于某一正數(shù)來(lái)分有界數(shù)列：若VnGN*，1a』M（M為常數(shù)）無(wú)界數(shù)列：若VMGR+，3nGN*使得1anl>M五、數(shù)列的表示法（1）列舉法：如2，4，6，8，（2）圖像法：用（n,an）表示函數(shù)》二八x）圖像上一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的，也可是有限的.（3）解析法：用通項(xiàng)公式表示，如an=3n-2（4）遞推公式法：用表示數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)（前幾項(xiàng)）關(guān)系的式子來(lái)表示數(shù)列.如a1=1，C1 1 1aC1 1 1a—1,a—1+—1 n+1 aa—1,an； 1=2,a=3a-2a(n>2)n+1nn-1六、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:—a+a六、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:—a+a+…+a12（1）前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)a七、數(shù)列的單調(diào)性an的基本關(guān)系為:S-S,(n>2)nS,1n-1(n—1)（1（1）根據(jù)定義：若a+1>an，則｛aj為遞增數(shù)列U；若an+1-an，則｛aj為遞減數(shù)列;（2）作商比較：（前提是各項(xiàng)均為正數(shù)，（2）作商比較：（前提是各項(xiàng)均為正數(shù)，an>0）an>1(或<1)an+1 ，則｛a?遞增（或減）.八、數(shù)列的最值la八、數(shù)列的最值la>a Ia-ajn n+1_a <nm=a/1\zfcla-an4，且__PT右zfc〔a-an(1)若n n+1 為最大項(xiàng)；若n n+1為最小項(xiàng).（2）構(gòu)造函數(shù)，【例題】1例（2）構(gòu)造函數(shù)，【例題】1例1.數(shù)列1，先確定單調(diào)性，再求最值.24,9 16310,417，L的一個(gè)通項(xiàng)公式是n2n2+1.提示：觀察和對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)111—=111—=1+—2 2442-=2+-=2+22 9 9 32 ,3—=3+——3+ ，…，22+110 10 32+1一般地，an一般地，an2=n+ n2+12 3~9~934n4——,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是,—(—1)n+1?。提示：這類題應(yīng)解決兩個(gè)問題，2 3~9~934n4——,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是,—(—1)n+1?。提示：這類題應(yīng)解決兩個(gè)問題，日4K口是符可考慮（1或（），二是分式，n例3將.正偶數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224……2826則2006在第一行，第一—列。83．第251行，第4列.提示：由題意知每列4個(gè)數(shù)，又由奇數(shù)行的特點(diǎn)知應(yīng)該是第4列。故+32,00在6第25行1。100義已知0｝是遞增數(shù)列，且對(duì)任意neN+,都有an=n故+32,00在6第25行1。100義4.（-3，+8）。提示：常見的錯(cuò)解：a是一個(gè)特殊的n二次函數(shù)，要保證在n取自然數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，只須-5<1即x>-2。本題錯(cuò)誤的原因在于機(jī)械地套用了函數(shù)的性質(zhì)，忽略了數(shù)列的離散性的特點(diǎn)。，例5觀.察下列不等式：1>1,1+1+1>1,1+1+1，例5觀.察下列不等式：1>1,1+1+1>1,1+1+1+2， 23 ， 2313+—>一721+1+1+23+1?>2，1+1+1++1>531…，由此猜想第n個(gè)不等式為… ▲1n+--7>-。提示：本題是歸納推理問題，注意到2n—1 24 11 1n，=，故猜想：1+萬(wàn)+a++^~~^>5。2 23 2n—12點(diǎn)評(píng)：歸納推理的關(guān)鍵是找到式子變化的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。例6若.數(shù)列滿足(0<an<2)的值是<1)?例6若.數(shù)列滿足(0<an<2)的值是<1)?7提示：6 65=—na—2?——1=—na

72773；?數(shù)列｛”是周期為的數(shù)列，二aJa18+2-a27_5一7=2a=63 7例已知數(shù)列中，n—15.6eN）,求數(shù)列 的最大項(xiàng)x- 15.6 一一解考察函數(shù)>=——=x- 15.6 一一解考察函數(shù)>=——=1+——-因?yàn)橹本€x=15.6為函數(shù)圖象的漸近線且函數(shù)在x-15.6 x-15.6(t,15.6)上單調(diào)遞減，在(15.6,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)n>15.6且n最接近且ngN*時(shí)!最大故%最大即第項(xiàng)最大例設(shè)向量(x,2)，(x+n,2x-1)(ngN+)，函數(shù)y=值與最大值的和為a，又?jǐn)?shù)列n上的最小滿足：nb+(n-1)b+???+2b +b1 2 n-1 n/9、 /9、 9 ,-(—)n-1+(—)n-2+...+ +110 10 10 .()求證：a-n+1；n()求b的表達(dá)式;()c--a()c--a?b，試問數(shù)列cn nn n中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有cWc成立？證明你的結(jié)論nkn+4證明：y-? =2+(n+4)x—2，因?yàn)閷?duì)稱軸x=一所以在， 上為增函數(shù)，，a-(-2)+(n+3)=n+1。n99 9解：由nb+(n-1)b+…+2b +b=(—)n-1+(—)n-2+…+—+1解：1 2 n-1 n '10/ '10/ 10得(得(n-1)b+(n-2)b+ +b1 2 n-199 9-(—)n-2+(—)n-3+….+ +1\o"CurrentDocument"10 10 109兩式相減得b+b+ +b+b=()n-1=S,1 2 n-1 n10 n當(dāng)n=1時(shí)，b=S=11 1當(dāng)n三時(shí)，b=S-Snnn-1-2n-21010()解：由()——a?b=<nn設(shè)存在正整數(shù)k使得對(duì)于任意的正整數(shù)n-2 n=1n+1/9 (—)n-2n>2[1010n-2都有cWc成立，nk當(dāng)n當(dāng)n-1,2時(shí)，c-c21當(dāng)n三時(shí)，c-cn+1n

23八———>0nc>cTOC\o"1-5"\h\z10 2 1—、 8-n=()n-2?10 100所以當(dāng)n<8時(shí)，c>c,n+1n當(dāng)n=8時(shí)，c=c,n+1 n當(dāng)n>8時(shí)，c<cn+1 n所以存在正整數(shù)k=9,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有cWc成立.nk19199199919999例9數(shù)列一,——,——, ，…的通項(xiàng)公式是10100100010000提示19 9上=1提示19 9上=1+—=1+10 10二,三=1+里=1+10221

10 100 100 102吧9吧9=1+吧=1+103211000 1000 103因此,例10數(shù)列｛an｝滿足a例10數(shù)列｛an｝滿足a1=2,1a尸； n+1 1+an，求a200812.解由a =--一n+1 1+an得aQn+21+an+1111+an1+a nan1ac= 1ac= n+3 1+an+21 i-； =a，1+an1- na故a2008=a669x3+1=a1=2?！眷柟叹毩?xí)】一．填空題（本大題共小題，每小題5分，共【鞏固練習(xí)】一．填空題（本大題共小題，每小題5分，共40分?jǐn)?shù)列1,—1,1,—1,1，的通項(xiàng)公式的是.a=(—1)n+1n或an=—］：為奇數(shù)數(shù)。提示：寫成兩種形式都對(duì)，不能省掉。1,23,12255,2的一個(gè)通項(xiàng)公式是為：an+12;提示：若把-換成一，同時(shí)首項(xiàng)換成-，規(guī)律就明顯了。其一個(gè)通項(xiàng)應(yīng)該nn+1.已知數(shù)列{a},ann(n+2)那么不1萬(wàn)是這個(gè)數(shù)列的第JL項(xiàng).提示：令a_—_n(n+2)120即口2.已知數(shù)列{a},ann(n+2)那么不1萬(wàn)是這個(gè)數(shù)列的第JL項(xiàng).提示：令a_—_n(n+2)120即口2+26120=0,解得n=10.1.已知數(shù)列風(fēng)｝的圖像是函數(shù)y=-圖像上，當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)的點(diǎn)列，則其通項(xiàng)公式為1.an=n.提示：數(shù)列｛aj對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列為（n,an）,即有1a=-

nn.已知數(shù)列U｛a｝na=2n2—10n+3，它的最小項(xiàng)是n6.2或3項(xiàng)。提示：a=2n2—10n+3=2(nn-）2--.故當(dāng)n—2或3時(shí)，a最小。22 n.已知數(shù)列｛a｝滿足an=—2，a=2+1 n+12a

n1—a27.—5。提示:a=2+

22x(-2)=21+2 32x2a=2+ 3=63 1—23a=2+"n+1 1—68.如圖，圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)年齡（歲）303540455055 6065收縮壓（水銀柱毫米）110115120125130135(—_)145舒張壓（水銀柱毫米）707375788083 (—_)883.140,85。提示：觀察上表規(guī)律，收縮壓每次增加5，舒張壓相應(yīng)增加3或2，且是間隔出現(xiàn)的，故應(yīng)填140,85。會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)“福娃迎迎”，則f(f(n+1)—f(n)=.（答案用n的解析式表示）X28.X提示： Xf(n+1)-f(n)Hn.二．解答題(本大題共X28.X提示： Xf(n+1)-f(n)Hn.二．解答題(本大題共4小題，共54分X……3猜想已知"滿足V3a=2a+1,試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并用觀察法寫出這個(gè)數(shù)列的n+1 n一個(gè)通項(xiàng)公式解a—3a—2a+1a—7a—151 n+1 n 2 3a—31,a—6345注意到：,???猜得a―2n+1—1。n已知數(shù)列｛a｝中，na—31a—21，10通項(xiàng)a是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)，nkn+b,則k+b=310k+b—21①求｛a〃｝的通項(xiàng)公式，并求a2005；n 2468②若｛b｝是由a,a,a,a,,組成，試歸納｛b｝的一個(gè)通項(xiàng)公式.n 2468...a=2n+1(ngN*)...a=4011n 2005又?.?aaaa,?即為 ????b=4n+12468 n11如.果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列。已知等和數(shù)列｛a｝的第一項(xiàng)為2,公和為7,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a。nn解：???｛a｝是等和數(shù)列，公和為7,ai=2,Aa=5,a=2,ad=5,?…??,n 1 234一般地，a2n-1=2,a2n=5，^、［2,n為正奇數(shù)，???通項(xiàng)公式an=5，n為正偶數(shù)。

111 112.已知不等式。1+E+。3+……+2Ta對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n都成立求實(shí)數(shù)a的取值范圍。1--->0.2n+2解令f(n1--->0.2n+2則f（n+1）-f（n）=2nrr+2nT2f(n+1f(n+1)>f(n),?二f（n）7是遞增數(shù)列，..?[f(n)K二f⑵=五.二a<1.12【作業(yè)】一、選擇題1.數(shù)列3,8,15，24，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）11A.a=. 1 B.a=℃n2n＋1 nn＋211TOC\o"1-5"\h\zC.a=/ °、D.a=~ ~nn（n十2） n2n—1答案C解析觀察知 an□（n口1）211。n（n口2）.2.在數(shù)歹列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中，x應(yīng)?。?）A.19B.20C.21D.22解析答案Ca1。1，a2。1，an＋2。an＋1＋an解析□x□8113121,故選 C..已知數(shù)列｛an｝中，a1=2,an+1=an+2n（n￡N*）,則a100的值是（A.9900B.9902C.9904 D.11000答案B解析a100口（a1001a99M（a991a98M…口（a2]a1Ma1□2（99口98口…1211）1299?99?（99口□2?一1）—□219902.已知數(shù)列｛an｝滿足a0=1,an=a0+a1H 十a(chǎn)n_1（n三1）,則當(dāng)n三1時(shí),an=（ ）n1 n n— nA.2n B.2n（n+1） C.2n—1 D.2n—1答案C解析方法一由已知 an□ a01 aJ …口 an 1（n三1）且a0。1,得到 a1。a0。1。21o1,a2。a01a1。2。22口1,a3。a0＋a1＋a2。4。23－1,a4。a0＋a1＋a2＋a3。8。24－1.□□□□□ an□2nn1（n三1）口方法二由an□a01a1口…口an01（n三1）,得an01。a01a1口…口an011an.

□□□□□□□an□1口2a.□

n-^0-an112(n三1)口□該數(shù)列□當(dāng)(n三□□□□□□□an□1口2a.□

n-^0-an112(n三1)口□該數(shù)列□當(dāng)(n三1),其中 a1Qa0Q1.5．n已知數(shù)列｛an｝中，A．2n－1B．2n＋1aan+1_1+2a'n1C.2n-1則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an為()1D.2n+1答案解析□an＋a U 112an11〕I為等差數(shù)列，公差為an1—□11(n□1>2]an二、填空題1——□an□12,首項(xiàng)1□2an2n－1,1 an□—□1a112n□16.已知數(shù)列｛〃“｝對(duì)于任意p,q￡N*-有ap+aq=apq，若a1=1，則a36—答案解析1解析89.989.89M4.Iq,a□a□a□x,a□a□a□J 乙 乙 J O 89M4.□a361a181a1812a1812(a9]a9)14a914(a1]a8)口7.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an—1),則a2等于—答案4解當(dāng)n□1時(shí)，由 S11a112(a111),得a112；當(dāng) n□2時(shí)，由□1),得 a214.8.(2010.南京質(zhì)檢)如圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊.(用含n的代數(shù)式表示)⑶則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊.(用含n的代數(shù)式表示)⑶…個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)依次為:(n)□□□□□□□□□：答案4n+8解析第(1)、(2)、□15120；…由此可猜測(cè)第9.已知：f(x)=x2+3x+2,數(shù)歹列｛an｝滿足數(shù)列的通項(xiàng)公式an為1513112；2418116；3512口(n□1)X414n□8.a1=a，且an+1=f'(an)(n￡N*),則該解析f(x)□x213x□2□f(x)□2x□3□□□□□

□□an＋an＋11f(an)□2an□3.11312an□3)D{an□3}是公比為 2,首項(xiàng)為31a□□□□□an□3口(31a>2n□1an□⑶a>2n□113

10.已知｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,滿足log2(Sn+1)=n+1,則an= .解析□Sn^112n01 n nSn□2n01Q1n□1時(shí)，a113n三2時(shí)，a1QSn□Sn1Q2nf3,n□1an°[2n,n三211.一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個(gè)數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個(gè)數(shù)x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是一x,另一個(gè)是x+3.設(shè)第n次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為a,則數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=；若x=1,前n次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為Tn,則T4=.答案2n—110依次生成的數(shù)字個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為1，公比為2依次生成的數(shù)字個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故2nSn 1口2口2濁L當(dāng)x當(dāng)x□1時(shí)，第1□□□□□□ 1,第為1、2，－4、7，第 4次生成的數(shù)為－ 1、12.(2011福州質(zhì)檢)數(shù)歹列｛an｝滿足an2次生成的數(shù)為－ 1、4,第 3次生成的數(shù)4,12、5,4、11,17、10.故T4110.2an,0WanW21=< 1 a1=5,則數(shù)列2an,,2"nv,,的第2011項(xiàng)為 2答案5?1-5_u?1-5_u1n^l4-5-a2nuw2aa_unu3-5田2一5a.□2a.□11三，a,□2a.□11下…，5 4 56 5 5□□□□□□□T4.2口a20111a31513.若數(shù)歹列｛a/的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,且對(duì)于任意大于1的整數(shù)n,點(diǎn)(區(qū),VS匚)在直線x—y-2==上上，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為. n-答案a=4n—2n三、解答題14.已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=n2—5n+4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？ n(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.解析(1)由n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.□n□N*,1n□2,3.1數(shù)列有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)口(2)口 an□ n21 5n□ 4口 (n□ 2)21 4的對(duì)稱軸方程為 n□ 2,又 n□ N*,1 n□ 2或3

時(shí)，anDDDDDDDDDDa21a3QQ 2.15.時(shí)，anDDDDDDDDDDa21a3QQ 2.15.2009年10月1日的國(guó)慶60周年閱兵式上，有n(n三2)行、生方陣．n+1列的大學(xué)⑴寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)n分別為2,3,4,5,6,…時(shí)方陣中的大學(xué)生人數(shù);(2)說(shuō)出(1)題中數(shù)列的第5、6項(xiàng)，并用a5,a6表示；⑶把⑴中的數(shù)列記為｛an｝,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n);(4)已知

⑸畫ana=9900,問a是第幾項(xiàng)？此時(shí)大學(xué)生方陣有多少行、多少列？=f(n)的圖象，并利用圖象說(shuō)明方陣中大學(xué)生人數(shù)有可能是56,28嗎?605040J 1->67八解析(1)該數(shù)列為 6,12,20,30,42，…；(2)a5D42,a6156；(3)anD(n11)(n12)(n口N*)；(4)由“9900口(n11)(n12)解得 n198,anDD 981，0D000D0 990,100列；(5f(n)Dn213n12,如圖，圖象是分布在函數(shù) f(x)Dx213x12上的孤立的點(diǎn)，由圖可知,人數(shù)可能是 56,不可能是2816.(2010?江