第5節(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在性研究-GeoGebra高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究與應(yīng)用教程

第5節(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在性研究函數(shù)零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象，在教材中，定義函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．這給研究函數(shù)零點(diǎn)提供了兩種常見的可能研究途徑：一，要研究函數(shù)零點(diǎn)的存在性和個(gè)數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為研究方程根的存在性和根的個(gè)數(shù)；二，可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的存在性和交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【實(shí)驗(yàn)1】研究二次函數(shù)在特定范圍的零點(diǎn)求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【方案1】作出函數(shù)在圖象，通過觀察圖象與軸交點(diǎn)的情況，直接給出答案．【探究步驟】1．在指令欄輸入“函數(shù)”，在彈出的對話框中設(shè)定參數(shù)的范圍為，作出函數(shù)在上的圖象；2.拉動(dòng)滑桿，通過觀察得到：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有唯一一個(gè)零點(diǎn)．【說明】這種方式較為直觀，但如果參數(shù)的分界點(diǎn)不是一些特殊值，要得到準(zhǔn)確結(jié)論比較困難．【方案2】把研究在零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為研究方程在根的個(gè)數(shù)．對方程作以下變形：由得，從而從而只需研究在交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【探究步驟】1．在指令欄分別輸入“”與“函數(shù)”，在彈出的對話框中設(shè)定參數(shù)的范圍為，得到直線與函數(shù)的函數(shù)圖象，作定點(diǎn)，并設(shè)置為空心點(diǎn)；2.拉動(dòng)滑桿，通過觀察得到和【方案1】相同的結(jié)論．【說明】【方案2】是研究函數(shù)零點(diǎn)較為常用的方式，經(jīng)過變形，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在某個(gè)范圍上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．這種思路兼具直觀性和可操作性，并且通過分離參數(shù)后，其中一個(gè)函數(shù)化為，其圖象是一條與軸垂直的直線，此時(shí)觀察兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，比較容易操作，因而這是求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一種常用方法．【方案3】在【方案2】的基礎(chǔ)上，分別作出的圖象，然后通過觀察兩圖象交點(diǎn)的情況，得出結(jié)論．此方法和【方案2】類似，但操作難度比【方案2】大，并且在一些情況下（如直線恰好與曲線段相切時(shí)），很難通過觀察得到準(zhǔn)確結(jié)論，故只給出思路．感興趣的讀者可根據(jù)本書給出的課件自行觀察，并在此基礎(chǔ)上給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解．【實(shí)驗(yàn)2】探究分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)已知函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【分析】函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，如果仿照【實(shí)驗(yàn)1】，由，得，而后研究交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則的圖象較難作出，解題受阻．但的圖象容易作出，本題可考慮通過研究的位置關(guān)系求解．【探究步驟】1．在指令欄輸入“如果”，得到分段函數(shù)的圖象，設(shè)置顏色為紅色；圖3.5-12.在圖象上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)和點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）作直線，如圖3.5-1；圖3.5-13.測量直線的斜率，即為本題的參數(shù)；4.拉動(dòng)點(diǎn)，觀察圖象交點(diǎn)及對應(yīng)的的取值范圍．可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，兩圖象恒有２個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有３個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，得，故相切時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有５個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有４個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有３個(gè)交點(diǎn)．【實(shí)驗(yàn)3】函數(shù)零點(diǎn)綜合探究已知函數(shù)，若方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】從數(shù)學(xué)求解角度看，本題具有較大難度，原因在于無法直接作出函數(shù)的圖象，但這個(gè)問題在GGB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中卻不成為難題，只要能給出函數(shù)解析式，GGB通常都能作出對應(yīng)的函數(shù)圖象．【探究步驟】1.在GGB指令欄內(nèi)輸入“”，作出圖象，設(shè)置顏色為綠色；2.在指令欄輸入“如果”，得到的圖象，設(shè)置顏色為藍(lán)色；3.在指令欄輸入“”，得到的圖象，設(shè)置顏色為紅色，并適當(dāng)加粗；4.作直線，設(shè)置顏色為黃色，并適當(dāng)加粗；5.拉動(dòng)滑桿，觀察直線與的圖象交點(diǎn)的情況．可以得到大致答案：當(dāng)時(shí)，兩圖象只有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)．下面給出數(shù)學(xué)求解：考慮到如果沒有借助數(shù)學(xué)軟件，人工無法直接做出圖象，對這個(gè)問題采用變通處理．令，則有，根據(jù)函數(shù)圖象為開口向下的拋物線這一特點(diǎn)，得到：任意的，都對應(yīng)著兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)；，只對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，沒有實(shí)數(shù)與之對應(yīng)．因而，要使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即是要求方程要有兩個(gè)小于1的實(shí)數(shù)解，