江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

第1頁(yè)/共1頁(yè)高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第二冊(cè)第一章至第四章第二節(jié)．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在平行四邊形ABCD中，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)平面向量加減法規(guī)則求解.【詳解】如圖，根據(jù)平面向量的加法規(guī)則有：；故選：D.2.下列函數(shù)為偶函數(shù)且在上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，是偶函數(shù)，并且在時(shí)是減函數(shù)；對(duì)于D，是偶函數(shù)，但在時(shí)是增函數(shù)；故選：C.3.已知、、三點(diǎn)共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出、，可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?、、，則，，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，則，所以，即．故選：C.4.已知一扇形的面積為8，所在圓的半徑為2，則扇形的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式求弧長(zhǎng)，進(jìn)而求扇形的周長(zhǎng).【詳解】由題知：由扇形的面積，且，為弧長(zhǎng)，所以弧長(zhǎng)，則扇形的周長(zhǎng)為12．故選：D5.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋?，所以為鈍角三角形.故選：D.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值即可比較大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即故選：A7.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上．1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（注：）（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】B【解析】【分析】借助正弦定理求解三角形.【詳解】由題意得，在中，，，．由正弦定理有，代入數(shù)據(jù)得，解得．因?yàn)?，所以，（海里）．故選：B8.彝族圖案作為人類社會(huì)發(fā)展的一種物質(zhì)文化，有著燦爛的歷史．按照?qǐng)D案的載體大致分為彝族服飾圖案、彝族漆器圖案、彝族銀器圖案等，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化．如圖1所示的漆器圖案中出現(xiàn)的“阿基米德螺線”，該曲線是由一動(dòng)點(diǎn)沿一條射線以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的軌跡，這些螺線均勻分布，將其簡(jiǎn)化抽象為圖2所示，若以為始邊，射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，終邊與重合時(shí)的角為，終邊與重合時(shí)的角為，終邊與重合時(shí)的角為，則的值為（）A.1 B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后結(jié)合余弦的和差角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知得，，，所以．故選:D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用余弦型函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)?，，A錯(cuò)誤；，B正確；，所以是奇函數(shù)，C正確；易知，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：BC10.在△ABC中，，，，，E為AC的中點(diǎn)，則（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算可得AB選項(xiàng)正誤；利用向量的數(shù)量積公式可得CD選項(xiàng)正誤.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；由向量加法的三角形法則，可得，故B正確；由數(shù)量積公式得：

，故C錯(cuò)誤；

，故D正確．故選：BD11.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，，滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則x的值可能為（）A. B.2 C. D.3【答案】ABC【解析】【分析】由正弦定理及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判定結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則，又，且滿足條件的三角形只有一個(gè)，即x有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，所以，故．故選：ABC．12.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.既是周期函數(shù)又是奇函數(shù) D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，驗(yàn)證即可；對(duì)于B，驗(yàn)證即可；對(duì)于C，找反例即可判斷；對(duì)于D，令，則原函數(shù)可化為，分結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱．A正確．對(duì)于B，因，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確．對(duì)于C，，，則，所以不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)取得最大值，D正確．故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．【詳解】的最小正周期，最小值為－3.故答案為：；．14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則__________.【答案】##【解析】【分析】由正切函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱求解．【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：．15.已知M為線段AB上的任意一點(diǎn)，O為直線AB外一點(diǎn)，A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D，若，則________．【答案】【解析】【分析】以為基底，利用A，B，M三點(diǎn)共線求解.【詳解】因?yàn)锳關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以，，，又B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D，所以，又，所以，因?yàn)锳，B，M三點(diǎn)共線，所以，即；故答案為：16.如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，點(diǎn)處有一個(gè)路燈，，，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點(diǎn)和點(diǎn)，若對(duì)五邊形區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)和的長(zhǎng)，使的面積最小，即可使五邊形面積最大.【詳解】設(shè)，，（，），∵，，∴，∴的面積為，的面積為，∵的面積，∴，即∵，，∴由基本不等式得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的面積的最小值為，∴五邊形面積的最大值．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，的周長(zhǎng)為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；（2）由正弦定理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理可得，解得，因?yàn)镃是的一個(gè)內(nèi)角，故【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋闹荛L(zhǎng)為，所以，由正弦定理，可得解得18.已知平面向量，，，且．（1）求的坐標(biāo)；（2）求向量在向量上的投影向量的模．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，投影向量的定義和坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又，解得，，所以；【小?wèn)2詳解】，所以，則向量在向量上的投影向量的模為；綜上，，向量在向量上的投影向量的模為5.19.已知角的始邊為軸非負(fù)半軸,終邊過(guò)點(diǎn).（1）求的值.（2）已知角的始邊為軸非負(fù)半軸,角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱,求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義得值,然后由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算;（2）寫(xiě)出關(guān)系,求出的值,再代入兩角差的正弦公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知,則,所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榻呛偷慕K邊關(guān)于軸對(duì)稱,所以,,所以.20.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形．已知．（1）證明：F為AD的中點(diǎn)；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由得，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得，從而可得，繼而得出E為CF的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，從而得證.（2）設(shè)，由向量的線性運(yùn)算可得，分別求出的值，由向量與夾角的余弦值為得出結(jié)論.小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以由正弦定理得．又因?yàn)椋?，所以，即E為CF的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，所以，則，所以．又，所以向量與夾角的余弦值為．21.如圖，在平面四邊形ABCD中，，．（1）若，，，求△ACD的面積；（2）若，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用余弦定理求出，再利用面積公式求解；（2）設(shè)，運(yùn)用正弦定理分別表示出，再利用恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)?，所以，所以的面積；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，．在中，，則，在中，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值；綜上，的面積為，的最大值.22.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求正數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖中的點(diǎn)的坐標(biāo)求出參數(shù)值即